Théorème de Minkowski, J–Paul Tsasa Laboratoire d`Analyse

Théorème de Minkowski, J–Paul Tsasa
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Janvier 2013
Vol. 5 – Num. 004
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Théorème de Minkowski
Convexité, Hyperplan, Enveloppe Affine et Intérieur Algébrique
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu1
« Beaucoup de gens expriment un refus passionné de l’abstraction, principalement, je pense, en
raison de sa difficulté intellectuelle ; mais comme ils ne souhaitent pas avancer cette raison,
ils en inventent toutes sortes d’autres qui apparaissent plus nobles. Ils affirment que toute
abstraction est une falsification et que, dès lors que vous négligez quelque aspect que ce soit
de la réalité, vous vous exposez, en argumentant à partir des seuls aspects de la réalité que
vous conservez, à développer de simples illusions. Ceux qui argumentent de cette manière sont en
fait intéressés par des sujets qui n’ont rien à voir avec la science. »
Bertrand Russell
Résumé
Ce papier présente le théorème de séparation stricte, formalisé à l’origine par le mathématicien
allemand Hermann Minkowski. Une attention particulière sera également accordée à son corollaire
qui trouve plusieurs applications en économie et d’après lequel un ensemble convexe peut
toujours être séparé par un hyperplan.
Mots – clé : Hyperplan, convexité, Enveloppe affine, Intérieur algébrique.
Abstract
The object of this paper is the Minkowski's separation theorem. For its economic application, it
is also advantageous to present its corollary, according to which a convex set can always be
separated by a hyperplane.
Introduction
S’inscrivant dans la suite de Nshue – Tsasa (2013), Tsasa (2013a, 2013b), ce papier se propose de
présenter le théorème de séparation stricte de Minkowski et son corollaire. En effet, l’objectif poursuivi
par le Laboratoire, dans cette série de présentation pédagogique de différents théorèmes fondamentaux
de « la » mathématique, est triple : (i) permettre une appréhension rigoureuse des résultats majeurs en
sciences économiques que nous projetons présenter dans les publications ultérieures ; (ii) disponibliser,
à la communauté universitaire locale, les matériels nécessaires permettant de mener une recherche sur
la frontière de connaissances et donc, accroître les possibilités de découvrir de choses nouvelles ; (iii)
renforcer le degré d’abstraction dans le raisonnement de jeunes chercheurs, prix à payer, dans de
nombreuses circonstances, afin de voir plus clairement les réalités et faits qui nous environnent.
Le théorème que nous dérivons dans ce papier trouve plusieurs applications en analyse économique,
notamment dans l’appréhension des résultats économiques suivants : le second théorème de l’économie
du bien – être, le théorème de convergence du noyau de Debreu – Scarf (1964), le théorème de
représentation numérique de von Neumann – Morgenstern ou encore le théorème des méthodes de vote
par pondération de Young (1975). Il s’agit en réalité des résultats d’existence. Cependant, remarquons,
1
Université de Montréal (Ph.D. student) et Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative (Chercheur).
Mail : [email protected].
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au passage, que la question de l’existence d’un équilibre concurrentiel ou d’un équilibre de Nash sera
plutôt traitée à l’aide des résultats qui seront extraits des théorèmes de point fixe de Brouwer (1912) et
de Kakutani (1941).
Ce papier s’organise comme suit. Nous présentons dans la section première les ingrédients
mathématiques qu’exige une démonstration plus aisée (dans la section deuxième) du théorème en cause
et de son corollaire.
I. Convexité, Hyperplan, Enveloppe affine et Intérieur algébrique
Cette section présente parcimonieusement les principales définitions qui servent de soubassement à la
démonstration du théorème de Minkowski. A cet effet, considérons un espace vectoriel fini et un
ensemble tels que
Par définition l’ensemble
est convexe si :
Regardons, à présent, une collection finie d’éléments dans
Le vecteur
est une combinaison convexe de vecteurs
telle que :
s’il existe
telle que :
Remarquons donc qu’une combinaison convexe est une combinaison linéaire particulière telle que, pour
tout
et
Nous notons l’enveloppe convexe de l’ensemble
par :
Pour l’illustrer, considérons le simplexe d’ordre 2 suivant.
Figure 1 : Simplex de dimension 2
L’enveloppe convexe, au regard de la figure 1, est la combinaison convexe de :
et
Nous pouvons également envisager le cas d’une pyramide dans un espace de
nous pouvons montrer
que si
Partant,
alors :
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In fine, précisons que si
est convexe, alors sa fermeture l’est aussi.
Avant d’envisager la démonstration du théorème de Minkowski, introduisons le concept d’hyperplan.
Dans l’espace
un hyperplan est la translation d’un sous – espace de dimension
En considérant le sous – espace
on a
:
et
un vecteur. Par
translation, on obtient la figure suivante.
Figure 2 : Hyperplan
Si
Définissons,
alors
En supposant
et
le complément orthogonal de
on a :
par
est un espace vectoriel de dimension
hyperplan, une translatée d’un vecteur de dimension
Et si
alors
et inversement. Par conséquent, si
il existe alors
et
est un
tels que :
Nous retenons cette notation de l’hyperplan dans la suite du papier. In fine, éclaircissons les concepts
d’enveloppe affine et d’intérieur algébrique relatif, utilisés dans la dérivation de la version faible du
théorème de séparation stricte.
Alors que l’enveloppe affine d’un ensemble
l’intérieur algébrique relatif de
dans l’espace
est définie par l’expression :
est l’ensemble :
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II. Théorème de Minkowski
Soit
Dans
un ensemble convexe et fermé, et un point
se trouvant en dehors de l’ensemble
:
le théorème de séparation stricte s’illustre comme suit.
Figure 3 : Séparation stricte
Soit
fermé, convexe et
identifiant un point
Trouvons un point de l’ensemble
qui minimise la distance à
en
tel que
Figure 4 : Fonction distance
Nous avons considéré une boule fermée
fonction distance
de centre
de Weierstrass , on peut donc toujours trouver un point
2
et
tel que
la
étant continue, dans un ensemble non vide et compact, en vertu du théorème
2
tout
intersectant
Où
et
dans
tel que
pour
implique que
Cf. Tsasa (2013, One Pager, vol. 5, num. 002).
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Figure 4 : Dérivation du théorème de Minkowski
Montrons à présent que pour
tel que
Trouvons, à cet effet, un hyperplan orthogonal à
On note que pour
Par convexité de
le vecteur
:
on a
passant par
et par
forme un angle obtus avec
Ainsi :
Et donc,
En calculant, on a :
Ainsi, on a :
Puisque l’inégalité faible tient pour
on a :
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Puisque
on a ainsi :
Admettons que
se trouve en dehors de
mais dans sa fermeture et abandonnons l’hypothèse de
fermeture de l’ensemble
Soit
un ensemble convexe et un point
se trouvant en dehors de l’ensemble
:
Pour démontrer le corollaire du théorème de Minkowski, nous intégrons, pour ce faire, deux concepts
supplémentaires : (i) l’enveloppe affine et (ii) l’intérieur algébrique relatif. Il est supposé que
trouve en dehors de l’ensemble
consiste à trouver une suite
Ainsi, par définition de
Soit
se
mais sur sa clôture. Pour procéder à la démonstration, l’astuce
qui converge vers
il existe
:
tel que pour tout
définissons une suite
On a
Pour tout
et
Pour chaque
on note par le théorème de séparation stricte que :
A la limite, si
et que
alors
On peut également montrer une autre version de ce théorème pour deux ensembles convexes dont
l’intersection est vide. Soit
: soit
aussi ; d’autre part,
deux ensembles convexes et
D’une part, puisque
alors il existe
sont convexes, donc
tel que
l’est
Par le théorème de séparation :
In fine, notons que le théorème de Minkowski et son corollaire s’appliquent dans la résolution de
problèmes économiques pouvant être exprimés sous forme des systèmes d’inéquation. Ainsi, dans un
papier ultérieur, nous envisagerons de mettre en évidence telles applications. S’inscrivant dans cette
perspective, il s’agira notamment d’une présentation parcimonieuse du lemme de Farkas – Minkowski,
des théorèmes de l’alternative et de Bondareva – Shapley.
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Bibliographie

BROUWER Luitzen E. J., 1912, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Mathematische Annalen, vol.
71, num. 4, 97 – 115.

ICHIISHI Tatsuro, 1983, Game Theory for Economic Analysis, Academic Press, Tokyo, 164p.

KAKUTANI
Shizuo,
1941,
«A
Generalization
of
Brouwer’s
Fixed
Point
Theorem »,
Duke
Mathematical Journal, vol. 8, num. 3, 457 – 459.

LEININGER Wolfgang, 1984, “A Generalisation of the ‘Maximum Theorem’.” Economics Letters, 15:
309 – 13.

NSHUE Alexandre et Jean – Paul TSASA, (janvier) 2013, « Dérivation du Coefficient d’Aversion au
Risque de Arrow – Pratt », One Pager Laréq, vol. 5, num. 002, 1 – 7.

OK Efe A., 2007,Real Analysis with Economic Applications, Princeton University Press, Princeton,
802p.

SPRUMONT Yves, 2012, Méthodes quantitatives A : Eléments de Mathématiques utilizes en Théorie
économique, Notes ECN 7070, Université de Montréal, Montréal, 46p.

STOCKEY Nancy L. and Robert E. LUCAS, Jr., with Edward C. PRESCOTT, 1989, Recursive Methods
in Economic Dynamics, Harvard University Press, Massachusetts, 588p.

SUNDARAM Rangarajan K., 2011, A First Course in Optimization Theory, Cambridge University
press, Cambridge, 357p.

TSASA Jean – Paul, (janvier) 2013, « Théorème de Berge : Correspondance, Hémicontinuité et
Caractérisation séquentielle », One Pager Laréq, vol. 5, num. 003, 13 – 17.

TSASA Jean – Paul, (janvier) 2013, « Théorème de Weierstrass : Compacité, Continuité et Existence
d’un Elément Maximum », One Pager Laréq, vol. 5, num. 002, 8 – 12.
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