Multiplication de nombres décimaux au quotidien

Transcription

6
Au cours de cette activité, l’élève résout des problèmes de multiplication.
Pistes d’observation
L’élève :
– utilise des nombres décimaux et des nombres repères pour estimer le produit;
– résout des problèmes de multiplication :
• en simulant la situation à l’aide de matériel concret;
• en utilisant des stratégies de calcul;
– détermine des produits :
• en décomposant les nombres décimaux pour déterminer des produits partiels;
• en renommant un nombre décimal sous la forme d’une fraction décimale ou de mots;
• en utilisant la relation d’ordre de grandeur entre des multiplications apparentées;
• en utilisant une addition répétée;
• en utilisant la compensation;
– organise ses calculs au moyen de modèles visuels (p. ex., matériel concret ou illustré, disposition
rectangulaire), de mots ou de symboles (fractions décimales, algorithmes de multiplication);
– évalue des expressions numériques en tenant compte de la priorité des opérations.
Matériel requis
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
calculatrices
crayons-feutres
crayons-feutres à encre effaçable
feuilles grand format
matériel concret varié (p. ex., ensembles de matériel de base 10, billets et pièces de monnaie
factices)
rétroprojecteur
feuilles Grilles des dixièmes (Annexe 2), Grilles des centièmes (Annexe 3) et Grilles des millièmes
(Annexe 4)
feuilles Problèmes d’argent (une copie par élève)
transparents des feuilles Problèmes d’argent
fiche Des nombres décimaux tous les jours (une copie par élève)
Numération et sens du nombre/Mesure
Module 2 – Série 1 147
Activité
Multiplication de nombres décimaux
au quotidien
6
Activité
Voici des exemples de calculs qu’utilisent les élèves pour déterminer le produit de 4 × 1,2.
L’élève détermine le produit en représentant la multiplication à l’aide d’une représentation visuelle,
en simulant la situation, puis en comptant le nombre de dixièmes en tout.
1,2
1,2
=1
1
1,2
0,2
= 0,1
40 dixièmes
ou 4
1,2
0
1,2
2,4
3,6
4,8
4 bonds de 1 et 2 dixièmes = 4,8
4,8
1
0,2
1
0,2
1
0,2
0,8
4 groupes de 1,2 = 4,8
L’élève détermine le produit en utilisant une addition répétée.
4 × 1,2 = 1,2 + 1,2 + 1,2 + 1,2
= 1 + 1 + 1 + 1 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2
= 4 + 0,8
= 4,8
4×
12
12
12
12
12
=
+
+
+
10
10
10
10
10
=
48
ou 4 8
10
10
= 4,8
Elle ou il exprime le nombre décimal sous la
forme d’une fraction décimale.
L’élève détermine le produit :
– en décomposant le nombre décimal;
– en effectuant des produits partiels;
– en additionnant les produits partiels.
4 × 1,2 = 4 × 1 + 4 × 0,2
= 4 + 0,8
= 4,8
4
1
0,2
4
0,8
4 × 1, 2 = (4 × 1) + (4 × 0, 2)
= 4 + 0, 8
= 4, 8
Elle ou il utilise une disposition rectangulaire
pour représenter la multiplication.
L’élève détermine le produit en
utilisant des mots pour
représenter le nombre décimal.
L’élève détermine le produit en utilisant la relation d’ordre de
grandeur.
4 fois 12 dixièmes
= 48 dixièmes
= 4,8
4 × 12 = 48
4 × 1,2 = 4,8
10 fois
plus petit
4 × 1, 2 = 4 × 12 × 0, 1
= 48 × 0,1
= 4,8
Elle ou il utilise la relation d’ordre
de grandeur entre deux
multiplications apparentées.
148 Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie!
8e année
6
– en estimant;
– en multipliant des nombres
naturels;
– en utilisant l’estimation
pour savoir où placer la
virgule dans le produit.
L’élève détermine le produit en utilisant la propriété de
commutativité de la multiplication.
Estimation :
0,15 × 25 = 25 × 0,15
= 25 × 0,10 + 25 × 0,05
= 2,50 + 1,25
= 3,75
0, 15 × 25 = 25 × 0, 15
Elle ou il détermine des produits
partiels en décomposant le
nombre décimal.
Elle ou il utilise des mots
pour représenter le nombre
décimal.
0, 15 × 25 5 0, 10 × 25
5 2, 50
= 25 × 15 centièmes
= 375 centièmes
= 3, 75
15 × 25 = ?
25
10
250
5
125
15 × 25 = 250 + 125
= 375
D’après l’estimation, la
réponse est 3,75.
– en décomposant le nombre décimal;
– en effectuant des produits partiels.
0, 15 × 25 = ?
20
5
0,10
2,00
0,50
0,05
1,00
0,25
0, 15 × 25 = (0, 10 × 20) + (0, 10 × 5) + (0, 05 × 20) + (0, 05 × 5)
= 2, 00 + 0, 50 + 1, 00 + 0, 25
= 3, 75
Elle ou il utilise une disposition rectangulaire
pour représenter la multiplication et
additionne les produits partiels.
0, 15 × 25 = (0, 10 + 0, 05) × 25
10
5
=
× 25 +
× 25
100
100
250 125
=
+
100 100
375
=
100
= 3, 75
Elle ou il exprime le
nombre décimal sous la
forme d’une fraction
décimale et additionne
les produits partiels.
0, 15 × 25
= 15 × 0,01× 25
= 15 × 25 × 0,01
= 375 × 0,01
= 3, 75
Elle ou il relocalise les
facteurs pour simplifier
le calcul.
Activité
Voici des exemples de calculs qu’utilisent les élèves pour déterminer le produit de 0,15 × 25.
6
Activité
L’élève détermine le produit en utilisant la relation d’ordre de grandeur.
15 × 25 = 375
0,15 × 25 = 3,75
100 fois
plus petit
Elle ou il utilise la relation d’ordre de grandeur
entre deux multiplications apparentées.
15 × 25 = ?
0, 15 × 25
= 15 × 0, 01× 25
= 15 × 25 × 0, 01
= (200 + 50 + 100 + 25) × 0, 01
= 375 × 0, 01
= 3, 75
20
5
10
200
50
5
100
25
Elle ou il relocalise les facteurs pour simplifier le
calcul et utilise une disposition rectangulaire pour
représenter la multiplication à l’aide de nombres
naturels.
Déroulement
Dire aux élèves qu’au cours des deux prochaines activités elles et ils développeront et utiliseront
des algorithmes leur permettant de résoudre des problèmes de multiplication, d’addition et de
soustraction comportant des nombres décimaux.
Grouper les élèves en équipes de deux.
Remettre à chaque élève les feuilles Problèmes d’argent.
Mettre à la disposition des élèves le matériel suivant :
• un ensemble de matériel de base 10;
• des billets et des pièces de monnaie factices;
• une calculatrice.
Lire les problèmes avec les élèves.
Dire aux élèves :
• d’estimer le résultat de chaque problème;
• de résoudre chaque problème au moyen d’une représentation visuelle ou d’un calcul;
• de laisser des traces de leur travail sur les feuilles Problèmes d’argent;
• de vérifier leurs réponses à l’aide d’une calculatrice.
Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail.
Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions.
Observer les élèves en vue de relever les différentes stratégies utilisées pour résoudre les
problèmes.
En circulant dans la salle de classe, choisir quelques équipes qui utilisent des stratégies que l’on
veut mettre en évidence au cours de l’échange mathématique.
8e année
6
Animer un échange mathématique en consultant les feuilles Problèmes d’argent – Corrigé.
Note : Au cours de l’échange mathématique, faire ressortir les différentes stratégies et les
différents calculs utilisés, de manière à établir le lien entre la représentation visuelle et le
développement d’algorithmes personnels. Au besoin, laisser des traces écrites de sorte
que tous les élèves peuvent voir des traces organisées des différents calculs.
Faire ressortir :
• que, de temps à autre, les calculs comprenant des nombres décimaux peuvent être compliqués;
dans de tel cas, on peut effectuer les calculs à l’aide :
– de nombres naturels, et placer la virgule dans le nombre en tenant compte de l’estimation;
– d’une disposition rectangulaire;
– de la relation d’ordre de grandeur entre deux multiplications apparentées;
– de la décomposition de nombres décimaux;
– de la relocalisation de facteurs;
– d’une calculatrice;
• que, lorsqu’on résout des problèmes d’argent, il arrive que l’on doit arrondir la réponse au
centième près, puisque la pièce de monnaie ayant la plus petite valeur, le cent (1 ¢), est
équivalente à un centième de un dollar.
Remettre à chaque élève la fiche Des nombres décimaux tous les jours et choisir les exercices
à réaliser individuellement.
Lien journal
Dire aux élèves d’écrire, dans le journal de mathématiques, deux exemples
d’algorithmes de multiplication.
Activité
Lorsque les élèves ont terminé, demander à certaines équipes de transposer leur travail, sur des
feuilles grand format ou au tableau, de manière à pouvoir animer un échange mathématique.
6
Activité
Problèmes d’argent
Nom : __________________________________________________
A. Confiserie
M. Ducharme achète trois sacs de sucre d’érable. Un sac coûte 9,95 $. Quel
est le coût total des trois sacs de sucre d’érable?
Estimation
Calculs
8e année
6
Activité
B. Épicerie
Voici le prix de quelques aliments, selon leur masse, vendus au
supermarché.
Poitrines de poulet
Côtelettes de porc
Darnes de flétan
8,80 $/kg
4,39 $/kg
19,82 $/kg
a) Estime et calcule le coût total de 950 g de poitrines de poulet, de 600 g de côtelettes de porc et de
300 g de darnes de flétan. Laisse des traces de ton travail et vérifie tes réponses à l’aide de la
calculatrice.
b) Si tu remets 25 $ au caissier, quelles pièces de monnaie te rendra-t-il?
Estimation
Calculs
6
Activité
C. Restaurant
Nicole choisit une assiette de nachos de 6,99 $ et une assiette de
cannellonis de 11,95 $.
a) La somme des taxes de vente (TPS et TVP) en Ontario est de 13 %.
Détermine le total de l’addition (repas et taxes de vente). Laisse des
traces de ton travail.
b) Combien d’argent en tout Nicole doit-elle laisser au serveur si elle désire régler (payer) l’addition
et lui donner un pourboire qui représente 18 % du total de l’addition? Laisse des traces de ton
travail.
Estimation
Calculs
8e année
6
Activité
Problèmes d’argent – Corrigé
A. Confiserie
M. Ducharme achète trois sacs de sucre d’érable. Un sac coûte 9,95 $. Quel
est le coût total des trois sacs de sucre d’érable?
Estimation
3 × 9, 95 ≈ 3 × 10
≈ 30 $
Le coût total des trois sacs de sucre d’érable est d’environ 30 $.
Calculs
Voici des exemples de solutions possibles :
Exemple 1
Exemple 2
3 × 9, 95 = ?
3 × 9, 95 = 3 × 995 × 0, 01
= (3 × 900 + 3 × 90 + 3 × 5) × 0, 01
= (2 700 + 270 + 15) × 0, 01
= 2 985 × 0, 01
= 29, 85 $
3
900
90
5
2 700
270
15
3 × 995 = 2 700 + 270 + 15
= 2 985
Je sais que le coût total des trois sacs de sucre
d’érable est de 29,85 $, puisque, selon
l’estimation, la réponse est près de 30 $.
Le coût total des trois sacs de sucre d’érable
est de 29,85 $.
B. Épicerie
Voici le prix de quelques aliments, selon leur masse, vendus au
supermarché.
Poitrines de poulet
Côtelettes de porc
Darnes de flétan
8,80 $/kg
4,39 $/kg
19,82 $/kg
a) Estime et calcule le coût total de 950 g de poitrines de poulet, de 600 g de côtelettes de porc et de
300 g de darnes de flétan. Laisse des traces de ton travail et vérifie tes réponses à l’aide de la
calculatrice.
b) Si tu remets 25 $ au caissier, quelles pièces de monnaie te rendra-t-il?
Estimation
a)
0,950 × 8,80 + 0,600 × 4,39 + 0,300 × 19,82
≈ 1 × 9 + 0,5 × 4 + 0,5 × 20
≈ 9 + 2 + 10
≈ 21 $
Le coût total est d’environ 21 $.
b) 25 – 21= 4 $
Le caissier me rendra 2 pièces de deux
dollars.
6
Activité
Calculs
a) Poitrines de poulet :
0, 950 × 8, 80
= 0, 95 × 8, 8
= 95 × 0, 01× 88 × 0, 1
= 95 × 88 × 0, 01× 0, 1
= (100 × 88 < 5 × 88) × 0, 001
= (8 800 < 440) × 0, 001
= 8 360 × 0, 001
= 8, 36 $
Côtelettes de porc :
0, 600 × 4, 39 = ?
6 × 439 = ?
6
400
2 400
30
180
9
54
6 × 439 = 2 400 + 180 + 54
= 2 634
Le coût des côtelettes de
porc est d’environ 2,63 $,
puisque, selon
l’estimation, la réponse est
près de 2 $.
Coût total :
Darnes de flétan :
0, 300 × 19, 82 = ?
0,3
10
3
9
2,7
0,8
0,24
0,02
0,006
0, 300 × 19, 82
= 3 + 2, 7 + 0, 24 + 0, 006
= 5, 7 + 0, 246
= 5, 946
≈ 5, 95 $
8, 36
+ 2, 63
+ 5, 95
15
1,8
+ 0, 14
16, 94 $
Le coût total des aliments est de 16,94 $.
b) 25 < 16, 94 = ?
16, 94 + 0, 06 = 17
= 20
17 + 3
= 25
20 + 5
0,06 + 3 + 5 = 8,06 $
Le caissier me rendra un billet de 5 $, une pièce de 2 $, une pièce de 1 $, une pièce de 5 ¢ et
une pièce de 1 ¢.
C. Restaurant
Nicole choisit une assiette de nachos de 6,99 $ et une assiette de
cannellonis de 11,95 $.
a) La somme des taxes de vente (TPS et TVP) en Ontario est de 13 %.
Détermine le total de l’addition (repas et taxes de vente). Laisse des
b) Combien d’argent en tout Nicole doit-elle laisser au serveur si elle désire régler (payer) l’addition
et lui donner un pourboire qui représente 18 % du total de l’addition? Laisse des traces de ton
travail.
8e année
6
a) Taxes de vente :
0, 13 × (6, 99 + 11, 95) 5 0, 1× (7 + 12)
5 0, 1× 19
5 1, 90 $
Total de l’addition :
6, 99 + 11, 95 + 1, 90 5 7 + 12 + 2
5 19 + 2
5 21 $
Activité
Estimation
b) Pourboire :
0, 18 × 21 5 0, 2 × 21
5 2 × 0, 1× 21
5 2 × 21× 0, 1
5 42 × 0, 1
5 4, 20 $
Addition et pourboire :
21 + 4,20 = 25,20$
Calculs
b) Pourboire :
a) Prix du repas :
6, 99 + 11, 95 = 7 − 0, 01 + 11, 95
= 7 + 11, 95 − 0, 01
= 18, 95 − 0, 01
= 18, 94 $
Taxes de vente :
0, 13 × (6, 99 + 11, 95) = 0, 13 × 18, 94
13 × 1894 = ?
10
3
1 000
10 000
3 000
800
8 000
2 400
90
900
270
4
40
12
13 × 1894
= 10 000 + 3 000 + 8 000 + 2 400 + 900 + 270 + 40 + 12
= 10 000 + 11 000 + 2 400 + 1 170 + 52
= 23 400 + 1 222
= 24 622
Le montant des taxes de vente est d’environ
2,46 $, puisque, selon l’estimation, la
réponse est près de 1,90 $.
0, 18 × 21, 40 = ?
18 × 2 140 = ?
10
8
2 000
20 000
16 000
100
1 000
800
40
400
320
18 × 2 140
= 20 000 + 16 000 + 1000 + 800 + 400 + 320
= 37 000 + 1 500 + 20
= 38 520
Nicole devrait donner au serveur un pourboire
d’environ 3,85 $, puisque, selon l’estimation, la
réponse est près de 4,20 $.
Addition et pourboire :
21,40 + 3,85 = 25,25 $
Nicole devrait remettre 25,25 $ au serveur en
vue de régler l’addition et de lui donner un
pourboire.
Total de l’addition (repas et taxes de vente) :
6, 99 + 11, 95 + 2, 46
= 18, 94 + 2, 46
= 18 + 0, 90 + 0, 04 + 2 + 0, 40 + 0, 06
= 20 + 1, 3 + 0, 1
= 21, 4 $
Le total de l’addition (repas et taxes de
vente) est de 21,40 $.
6
Activité
Des nombres décimaux tous les jours
Nom : __________________________________________________
Section A
1. William a économisé 200 $ pour s’acheter un jeans, un chandail, un t-shirt et une paire de chaussures
de sport. Il voit les offres ci-dessous dans un encart publicitaire.
Articles
Magasin A
Magasin B
Jeans
29,99 $
29,99 $
T-shirt
14,99 $
11,99 $
Chandail
29,99 $
39,99 $
Chaussures de sport
(une paire)
89,99 $
79,99 $
a) À combien s’élèvera chacune des factures si William achète les quatre articles dans chaque
magasin? Laisse des traces de ton travail.
Note : Le total des taxes de vente est de 13 %.
b) Lorsque tu compares les deux factures, quel magasin offre les meilleurs prix?
c) Quelle économie William réalisera-t-il s’il achète les quatre articles dans ce magasin? Laisse des
2. Les formes et les dimensions de deux jardins ornementaux sont les suivantes :
– un rectangle dont la base est de 13 m et la largeur, de 6,9 m;
– un parallélogramme dont la base est de 14,6 m et la hauteur, de 7 m.
Quel jardin a la plus grande surface? Laisse des traces de ton travail.
3. Les nombres décimaux ci-contre sont tous multipliés par le
nombre 0,34 situé au centre de la figure. Écris, sur chacun des
côtés correspondant de la figure, les résultats des
multiplications.
7
4
0,34
1,3
5,5
4. Évalue les expressions numériques suivantes.
a) 0,5 × 0,5
b) 0,15 × 3,1
c) 1,6 + 8 × 1,3
d) 3 × 0,6 – (0,4)2
8e année
6
Activité
Section B
1. Estime le résultat des expressions numériques suivantes.
a) 1,2 × 0,27
b) 79,3 ÷ 9
2. Utilise la relocalisation pour évaluer chaque expression numérique.
a) 27 × 18 ÷ 15 ÷ 3 ÷ 32 × 15
b) 24 × 33 ÷ 16 ÷ 3 ÷ 9 × 2
3. Évalue les expressions numériques ci-dessous au moyen d’une disposition rectangulaire. Laisse des
a) 1,2 × 0,27 = ?
b) 8 × 0,61 = ?
0,2
0,01
0,07
1
8
0,2
4. Complète les expressions numériques et évalue-les.
a) 12, 03 × 2 =
=
=
×2+
+
×2
b) 12, 32 ÷ 4 =
=
=
÷4+
+
÷4
6
Activité
Des nombres décimaux tous les jours – Corrigé
Section A
1. William a économisé 200 $ pour s’acheter un jeans, un chandail, un t-shirt et une paire de chaussures
de sport. Il voit les offres ci-dessous dans un encart publicitaire.
Articles
Magasin A
Magasin B
Jeans
29,99 $
29,99 $
T-shirt
14,99 $
11,99 $
Chandail
29,99 $
39,99 $
Chaussures de sport
(une paire)
89,99 $
79,99 $
a) À combien s’élèvera chacune des factures si William achète les quatre articles dans chaque
magasin? Laisse des traces de ton travail.
Note : Le total des taxes de vente est de 13 %.
Voici un exemple de solution possible :
Facture du magasin A
Facture du magasin B
Coût des
quatre
articles
29, 99 + 14, 99 + 29, 99 + 89, 99
= 30 − 0, 01 + 15 − 0, 01 + 30 − 0, 01 + 90 − 0, 01
= 30 + 15 + 30 + 90 − 0, 04
= 165 − 0, 04
= 164, 96 $
29, 99 + 11, 99 + 39, 99 + 79, 99
= 30 − 0, 01 + 12 − 0, 01 + 40 − 0, 01 + 80 − 0, 01
= 30 + 12 + 40 + 80 − 0, 04
= 162 − 0, 04
= 161, 96 $
Montant
des
taxes de
vente
(13 %)
0, 13 × 164, 96 = ?
0, 13 × 161, 96 = ?
Estimation : 0, 13 × 164, 96 ≈ 0,1× 165
≈ 16, 50 $
Estimation : 0, 13 × 161, 96 ≈ 0, 1× 162
≈ 16, 20 $
13 × 16 496 = ?
13 × 16 196 = ?
10
3
10 000
100 000
30 000
6 000
60 000
400
10
3
10 000
100 000
30 000
18 000
6 000
60 000
18 000
4 000
1 200
100
1 000
300
90
900
270
90
900
270
6
60
18
6
60
18
= 164 960 + 49 488
= 161 960 + 48 588
13 × 16 496
= 164 960 + 49 488
= 214 448
13 × 16 196
= 161 960 + 48 588
= 210 548
La réponse est d’environ 21,44 $,
puisque l’estimation est de 16,50 $.
La réponse est d’environ 21,05 $,
puisque l’estimation est de 16,20 $.
8e année
6
Total de
chaque
facture
Facture du magasin B
164, 96
+ 21, 44
161, 96
+ 21, 05
185,00
+ 1,30
+ 0,10
182,90
+ 0,11
Activité
Facture du magasin A
183, 01 $
186, 40 $
b) Lorsque tu compares les deux factures, quel magasin offre les meilleurs prix?
En comparant les deux factures, je remarque que le magasin B offre les meilleurs prix.
c) Quelle économie William réalisera-t-il s’il achète les quatre articles dans ce magasin? Laisse des
186, 40 < 183, 01 = ?
186,40
< 183,01
3,39
William réalisera une économie de 3,39 $ s’il achète les quatre articles au magasin B.
2. Les formes et les dimensions de deux jardins ornementaux sont les suivantes :
– un rectangle dont la base est de 13 m et la largeur, de 6,9 m;
– un parallélogramme dont la base est de 14,6 m et la hauteur, de 7 m.
Quel jardin a la plus grande surface? Laisse des traces de ton travail.
Aire du rectangle
A = b ×h
A = 13 × 6, 9
A
A
A
A
= 13 × 69 × 0, 1
= (10 × 69 + 3 × 69) × 0, 1
= (690 + 207) × 0, 1
= 897 × 0, 1
A = 89, 7 m2
Aire du parallélogramme
A
A
A
A
A
A
A
= b ×h
= 14, 6 × 7
= 146 × 0, 1× 7
= 146 × 7 × 0, 1
= (100 × 7 + 40 × 7 + 6 × 7) × 0, 1
= (700 + 280 + 42) × 0, 1
= 1022 × 0, 1
A = 102, 2 m2
Le jardin qui a la plus grande surface est celui dont la forme est un parallélogramme.
3. Les nombres décimaux ci-contre sont tous multipliés par le
nombre 0,34 situé au centre de la figure. Écris, sur chacun des
côtés correspondant de la figure, les résultats des
multiplications.
2,38
7
1,36
4
0,34
1,3 0,442
5,5
1,870 ou 1,87
6
Activité
4. Évalue les expressions numériques suivantes.
a) 0,5 × 0,5
b) 0,15 × 3,1
Exemple 1
0, 5 × 0, 5
= 5 × 0, 1× 5 × 0, 1
= 5 × 5 × 0, 1× 0, 1
= 25 × 0, 01
= 0, 25
Exemple 1
0, 15 × 3, 1
= 15 × 0, 01× 31× 0, 1
= 15 × 31× 0, 01× 0, 1
= (15 × 30 + 15 × 1) × 0, 001
= (450 + 15) × 0, 001
= 465 × 0, 001
= 0, 465
Exemple 2
5 × 5 = 25
5 × 0, 5 = 2, 5
0, 5 × 0, 5 = 0, 25
Exemple 2
0, 15 × 3, 1 = ?
100 fois
plus petit
0,1
0,05
3
0,3
0,15
0,1
0,01
0,005
0, 15 × 3, 1 = 0, 3 + 0, 15 + 0, 01 + 0, 005
= 0, 45 + 0, 015
= 0, 465
c) 1,6 + 8 × 1,3
Exemple 1
1, 6 + 8 × 1, 3
= 1, 6 + 8 × 1 + 8 × 0, 3
= 1, 6 + 8 + 2, 4
= 12
d) 3 × 0,6 – (0,4)2
Exemple 1
3 × 0, 6 < (0, 4)2
= 3 × 6 × 0, 1 < 0, 4 × 0, 4
= 18 × 0, 1 < 4 × 0, 1× 4 × 0, 1
= 1, 8 < 16 × 0,0
01
= 1, 8 < 0, 16
= 1, 79 + 0, 01 < 0, 16
= 1, 79 < 0, 16 + 0, 01
= 1, 63 + 0, 01
= 1, 64
Exemple 2
1, 6 + 8 × 1, 3
= 1, 6 + 8 × 13 × 0, 1
= 1, 6 + (8 × 10 + 8 × 3) × 0, 1
= 1, 6 + (80 + 24) × 0, 1
= 1, 6 + 104 × 0, 1
= 1, 6 + 10, 4
= 12
Exemple 2
3 × 0, 6 < (0, 4)2
= 1, 8 < (4 × 0, 1)2
= 1, 8 < 4 × 0, 1× 4 × 0, 1
= 1, 8 < 16 × 0, 01
= 1, 8 < 0, 16
0,16 + 0,04 = 0,20
0,2 + 0,8 = 1
1 + 0,8 = 1,8
0,04 + 0,8 + 0,8 = 1,64
3 × 0, 6 < (0, 4)2 = 1, 64
8e année
6
Activité
Section B
Voici des exemples d’estimations possibles :
a) 1,2 × 0,27
b) 79,3 ÷ 9
Exemple 1
1, 2 × 0, 27 5 1× 0, 27
5 0, 27
Exemple 1
79, 3 ÷ 9 5 81 ÷ 9
Exemple 2
1, 2 × 0, 27 5 1, 2 × 0, 2
5 0, 24
Exemple 2
79, 3 ÷ 9 5 80 ÷ 8
59
5 10
a) 27 × 18 ÷ 15 ÷ 3 ÷ 32 × 15
b) 24 × 33 ÷ 16 ÷ 3 ÷ 9 × 2
= 27 × 18 ÷ 15 ÷ 3 ÷ 9 × 15
= 16 × 27 ÷ 16 ÷ 3 ÷ 9 × 2
= 16 ÷ 16 × 27 ÷ 3 ÷ 9 × 2
= 27 ÷ 9 × 18 ÷ 3 × 15 ÷ 15
= 3 × 6 ×1
= 1× 9 ÷ 9 × 2
= 1× 1× 2
=2
= 18
3. Évalue les expressions numériques ci-dessous au moyen d’une disposition rectangulaire. Laisse des
a) 1,2 × 0,27 = ?
b) 8 × 0,61 = ?
0,2
0,07
1
0,2
0,07
0,2
0,04
0,014
8
0,6
0,01
4,8
0,08
8 × 0,61 = 4,8 + 0,08
= 4,88
1,2 × 0,27 = 0,2 + 0,07 + 0,04 + 0,014
= 0,324
a) 12, 03 × 2 = 12 × 2 + 0, 03 × 2
b) 12, 32 ÷ 4 = 12 ÷ 4 + 0, 32 ÷ 4
= 24 + 0, 06
= 3 + 0, 08
= 24, 06
= 3, 08
7
Activité
Multiplication de deux nombres décimaux
supérieurs à 1
Au cours de cette activité, l’élève multiplie deux nombres décimaux supérieurs à 1 en utilisant
des représentations et des stratégies variées.
L’élève :
– utilise des nombres décimaux et des nombres repères pour estimer le produit;
– résout des problèmes de multiplication :
• en simulant la situation à l’aide de matériel concret;
• en utilisant des stratégies de calcul;
– détermine des produits :
• en décomposant les nombres décimaux pour déterminer des produits partiels;
• en renommant un nombre décimal sous la forme d’une fraction décimale ou de mots;
• en utilisant la relation d’ordre de grandeur entre des multiplications apparentées;
• en utilisant une addition répétée;
• en utilisant la compensation;
– organise ses calculs au moyen de modèles visuels (p. ex., matériel concret ou illustré, disposition
rectangulaire), de mots ou de symboles (fractions décimales, algorithmes de multiplication).
Matériel requis
3
3
3
3
3
3
3
3
calculatrices
crayons-feutres
feuilles grand format
rétroprojecteur
transparent Dispositions rectangulaires
feuilles Des nombres décimaux sur mesure (une copie par élève)
fiche Au quotidien (une copie par élève)
Déroulement
Au cours de cette activité, l’élève utilise différentes stratégies, dont la disposition
rectangulaire vide, en vue de déterminer des produits de nombres comprenant deux
nombres décimaux supérieurs à 1. Les élèves utilisent la disposition rectangulaire vide
depuis la 5e année pour multiplier des nombres naturels et des nombres décimaux.
Cette stratégie sera également utilisée en 9e et en 10e année pour manipuler des
expressions algébriques.
Exemple 1
6 × 12 = ?
10
2
4
40
8
2
20
4
6 × 12 = (4 × 10) + (4 × 2) + ( 2 × 10 ) + ( 2 × 2)
= 40 + 8 + 20 + 4
= 48 + 24
= 72
8e année
7
1
4
4
Activité
Exemple 2
4 × 1,2 = ?
0,2
0,8
4 × 1, 2 = (4 × 1) + (4 × 0, 2)
= 4 + 0, 8
= 4, 8
Cette stratégie de calcul est très efficace, puisqu’elle permet à l’élève de déterminer des
produits :
– en décomposant les facteurs;
– en effectuant des produits partiels (permet d’éviter d’omettre certains produits);
– en additionnant les produits partiels.
Étape 1
Dire aux élèves qu’au cours de cette activité elles et ils multiplieront des nombres décimaux
supérieurs à 1.
Projeter le transparent Dispositions rectangulaires.
Dire aux élèves :
• que l’on a utilisé des dispositions rectangulaires pour effectuer des multiplications comprenant
des nombres naturels et des nombres décimaux;
• que l’on a décomposé des facteurs pour obtenir des produits partiels.
Éléments à faire ressortir sur le
transparent
Questions à poser
Comment a-t-on décomposé les facteurs 35 et 6 dans la
multiplication 6 × 35?
On a décomposé le nombre 35 en 30 + 5 et le nombre 6 en
3 + 3.
Écrire les nombres 35 et 6.
35
30
5
3
6
3
Quels produits partiels obtient-on si l’on effectue toutes
les multiplications?
3 × 30 = 90
3 × 5 = 15
3 × 30 = 90
3 × 5 = 15
Ajouter, aux endroits appropriés,
dans la disposition rectangulaire,
les valeurs manquantes.
35
30
5
3
90
15
3
90
15
6
7
Activité
Que doit-on faire maintenant pour obtenir le produit de
6 × 35?
On doit additionner 90, 90, 15 et 15 pour obtenir le produit
de 6 × 35.
Écrire les sommes sous la
disposition rectangulaire.
35
90 + 90 + 15 + 15
= 180 + 30
= 210
30
5
3
90
15
3
90
15
6
180 + 30 = 210
Comment peut-on représenter les calculs à l’aide d’une
égalité?
On peut écrire :
6 × 35 = 90 + 90 + 15 + 15
= 180 + 30
= 210
Écrire l’égalité.
6 × 35 = 90 + 90 + 15 + 15
= 180 + 30
= 210
Reprendre la même démarche pour les dispositions rectangulaires représentant 6 × 3,5; 0,6 × 3,5 et
1,6 × 3,5.
6 × 3,5
3
0,5
3
9
1,5
3
9
1,5
6 × 3, 5 = 9 + 9 + 1, 5 + 1, 5
= 18 + 3
= 21
0,6 × 3,5
3
0,5
0,3
0,9
0,15
0,3
0,9
0,15
0, 6 × 3, 5 = 0, 9 + 0, 9 + 0, 15 + 0, 15
= 1, 8 + 0, 3
= 2, 1
1,6 × 3,5
3
1
3
0,5
0,5
1, 6 × 3, 5 = 3 + 1, 8 + 0, 5 + 0, 3
= 4 + 0, 8 + 0, 8
= 4 + 1, 6
= 5, 6
0,6
1,8
0,3
8e année
7
Étape 2
Remettre à chaque élève les feuilles Des nombres décimaux sur mesure et une calculatrice.
Lire les problèmes avec les élèves.
Demander aux élèves :
• d’estimer le résultat de chaque problème;
• de résoudre chaque problème au moyen d’une représentation visuelle ou d’un calcul;
• de laisser des traces de leur travail sur les feuilles Des nombres décimaux sur mesure;
• de vérifier leurs réponses à l’aide d’une calculatrice.
Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions.
Observer les élèves en vue de relever les différentes stratégies utilisées pour résoudre les
problèmes.
En circulant dans la salle de classe, choisir quelques équipes qui utilisent des stratégies que l’on
veut mettre en évidence au cours de l’échange mathématique.
Lorsque les élèves ont terminé, demander à certaines équipes de transposer leur travail, sur des
feuilles grand format ou au tableau, de manière à pouvoir animer un échange mathématique.
Animer un échange mathématique en consultant les feuilles Nombres décimaux sur mesure –
Corrigé.
Remettre à chaque élève la fiche Au quotidien et choisir les exercices à réaliser individuellement.
Lien journal
Dire aux élèves d’expliquer, dans le journal de mathématiques, la façon dont
on peut déterminer le produit de deux nombres décimaux supérieurs à 1.
Activité
Faire ressortir :
– que l’on peut décomposer un nombre décimal et utiliser une disposition rectangulaire pour
déterminer des produits partiels;
– que l’on doit ensuite évaluer la somme des produits partiels pour déterminer le produit de la
multiplication.
7
Activité
Dispositions rectangulaires
6 × 35
30
5
3
3
6 × 3,5
3
3
1,5
1,5
0,6 × 3,5
1,6 × 3,5
8e année
7
Activité
Des nombres décimaux sur mesure
Nom : __________________________________________________
A. Des rectangles
a) Détermine l’aire du rectangle ABCD si sa base mesure 3,4 cm et sa hauteur, 6,25 cm.
b) Détermine l’aire du rectangle EFGH si les longueurs de ses côtés sont 2,4 fois plus grandes que
les longueurs des côtés du rectangle ABCD.
Estimation
Calculs
B. Un triangle rectangle
Observe les dimensions du triangle ci-contre.
Est-ce un triangle rectangle? Justifie ta réponse.
2,1 cm
4 cm
3,4 cm
Estimation
Calculs
7
Activité
C. Des nombres décimaux
Évalue les expressions suivantes.
a) 2,3 × 4,4
b) 2,9 × 2,06
Estimation
Estimation
Calculs
Calculs
8e année
7
A. Des rectangles
a) Détermine l’aire du rectangle ABCD si sa base mesure 3,4 cm et sa hauteur, 6,25 cm.
b) Détermine l’aire du rectangle EFGH si les longueurs de ses côtés sont 2,4 fois plus grandes que
les longueurs des côtés du rectangle ABCD.
Estimation
a) Rectangle ABCD
3,4 × 6,25 ≈ 3 × 6
≈ 18 cm2
b) Rectangle EFGH
Base
2, 4 × 3, 4 5 2 × 3, 5
5 7 cm
L’aire du rectangle ABCD est d’environ
18 cm2.
Hauteur
2, 4 × 6, 25 5 6 × 2, 5
5 15 cm
Aire du rectangle EFGH
A EFGH 5 7 × 15
A EFGH 5 7 × 10 + 7 × 5
A EFGH 5 70 + 35
A EFGH 5 105 cm2
L’aire du rectangle EFGH est d’environ 105 cm2.
Calculs
a) Rectangle ABCD
Exemple 1
Exemple 2
3,4 × 6,25 = ?
A = b ×h
A = 3, 4 × 6, 25
A = 34 × 0, 1× 625 × 0, 01
6
0,25
3
18
0,75
0,4
2,4
0,1
A
A
A
A
A
A = 18 + 2,4 + 0,75 + 0,1
A = 20,5 + 0,75
A = 21,25 cm2
= 34 × 625 × 0, 001
= (30 × 600 + 30 × 25 + 4 × 600 + 4 × 25) × 0, 001
= (18 000 + 750 + 2 400 + 100) × 0, 001
= (18 750 + 2 500) × 0, 001
= 21250 × 0, 001
A = 21, 25 cm2
L’aire du rectangle ABCD est de 21,25 cm2.
L’aire du rectangle ABCD est de 21,25 cm .
2
Activité
Des nombres décimaux sur mesure – Corrigé
7
Activité
b) Rectangle EFGH
Exemple 1
Base du rectangle EFGH
2, 4 × 3, 4 = ?
2 × 3, 4 = 6, 8
Hauteur du rectangle EFGH
2, 4 × 6, 25 = 24 × 0, 1× 625 × 0, 01
= 24 × 625 × 0, 001
= ( 20 × 625 + 4 × 625 ) × 0, 001
4 × 0, 1× 3, 4 = 4 × 0, 34
= 1, 36
= (12 500 + 2 500 ) × 0, 001
6, 8 + 1, 36 = 7 + 1, 1 + 0, 06
= 15 000 × 0, 001
= 15 cm
= 8, 16 cm
A = b ×h
A = 8, 16 × 15
A = 15 × 816 × 0, 01
A = (10 × 816 + 5 × 816 ) × 0, 01
A = ( 8 160 + 4 080 ) × 0 ,01
A = 12 240 × 0, 01
A = 122, 4 cm2
Exemple 2
Base du rectangle EFGH
2,4 × 3,4 = ?
3
0,4
Hauteur du rectangle EFGH
2,4 × 6,25 = ?
2
0,4
6
1,2
0,8
0,16
A = 15 × 8,16
2
0,4
6
12
2,4
0,25
0,5
0,1
8
0,1
0,06
10
80
1
0,6
5
40
0,5
0,3
6 + 1, 2 + 0, 8 + 0, 16 = 7, 2 + 0, 96
= 8, 16 cm
12 + 2, 4 + 0, 5 + 0, 1 = 14, 5 + 0, 5
= 15 cm
A = 80 + 40 + 1 + 0, 5 + 0, 6 + 0, 3
A = 120 + 1, 5 + 0, 9
A = 120 + 1, 4 + 1
La base du rectangle EFGH
est de 8,16 cm.
La hauteur du rectangle EFGH
est de 15 cm.
A = 122, 4 cm2
L’aire du rectangle EFGH est
de 122,4 cm2.
B. Un triangle rectangle
Observe les dimensions du triangle ci-contre.
Est-ce un triangle rectangle? Justifie ta réponse.
2,1 cm
4 cm
3,4 cm
Estimation
Voici un exemple d’estimation possible :
Si le triangle est rectangle, alors...
2, 12 + 3, 42 5 22 + 32
5 4 +9
5 13
13 5 3, 6
C’est peut-être un triangle rectangle.
8e année
7
Activité
Calculs
Exemple 1
Si c’est un triangle rectangle, alors 2,12 + 3,42 = 42.
2, 12 + 3, 42 = ?
2,1 × 2,1 = ?
2,1 × 2,1 = 21 × 0,1 × 21 × 0,1
= ( 20 × 21 + 1× 21) × 0, 01
3,4 × 3,4 = ?
3, 4 × 3, 4 = 34 × 0, 1× 34 × 0, 1
= 34 × 34 × 0, 01
= ( 30 × 30 + 30 × 4 + 4 × 34 ) × 0, 01
= (900 + 120 + 136) × 0, 01
= 1 156 × 0, 01
= 11, 56 cm
= (420 + 21) × 0, 01
= 441× 0, 01
= 4, 41 cm
4, 41 + 11, 56 = 4, 97 + 11
= 15, 97 cm
15, 97 5 4 cm
C’est un triangle rectangle, car 2,12 + 3,42 = 42.
Exemple 2
Si c’est un triangle rectangle, alors 2,12 + 3,42 = 42.
2, 12 + 3, 42 = ?
2,1 × 2,1 = ?
2
0,1
3,4 × 3,4 = ?
2
0,1
4
0,2
3
0,2
0,01
0,4
2, 1× 2, 1 = 4 + 0, 2 + 0, 2 + 0, 01
= 4, 41 cm
3
0,4
9
1,2
1,2
0,16
3, 4 × 3, 4 = 9 + 1, 2 + 1, 2 + 0, 16
= 11, 56 cm
4, 41 + 11, 56 = 4 + 11 + 0, 41 + 0, 56
= 15 + 0, 97
= 15, 97 cm
15, 97 = 3, 99 cm
C’est un triangle rectangle, car 2,12 + 3,42 = 42.
7
Activité
C. Des nombres décimaux
Évalue les expressions suivantes.
a) 2,3 × 4,4
b) 2,9 × 2,06
Estimation
Estimation
2, 3 × 4, 4 ≈ 2 × 4, 5
≈9
2, 9 × 2, 06 ≈ 3 × 2
≈6
Calculs
2,3 × 4,4 = ?
2
Calculs
2,9 × 2,06 = ?
4
0,4
0,3
8
1,2
2
0,8
0,12
0,06
2, 3 × 4, 4 = 8 + 1, 2 + 0, 8 + 0, 12
= 9 + 1 + 0, 12
= 10, 12
2
0,9
4
1,8
0,12
0,054
2, 9 × 2, 06 = 4 + 1, 8 + 0, 12 + 0, 054
= 5, 9 + 0, 02 + 0, 054
= 5, 974
8e année
7
Activité
Au quotidien
Nom : __________________________________________________
3 calculatrice
Section A
1. Voici le prix de quelques aliments, selon leur masse, vendus au supermarché.
Filets de truite
Poulet entier
Rôti de palette de bœuf
15,40 $/kg
7,69 $/kg
4,39 $/kg
a) Estime et calcule le coût total de 250 g de filets de truite, de 1,8 kg de poulet entier et de 1,5 kg de
rôti de palette de bœuf. Laisse des traces de ton travail et vérifie tes réponses à l’aide d’une
calculatrice.
b) Si tu remets un billet de 50 $ à la caissière, quels billets et quelles pièces de monnaie te rendra-t-elle?
2. Le coût du repas de Didier est de 13,95 $. À ce coût sont ajoutés les taxes de vente et le pourboire.
Didier paie 18,76 $. Si les taxes de vente (TPS et TVP) en Ontario sont de 13 %, combien de
pourboire Didier a-t-il laissé à la serveuse?
3. Compare les expressions ci-dessous à l’aide du symbole <, > ou =.
2,1 + 5,6 × 3,8
30 – 2,4 × 2
4. Évalue les expressions suivantes.
a) 5,6 × 3,4
b) 14,6 × 6,36
Section B
a) 36,578 × 9,98
b) 36,578 ÷ 9,98
a) 45 × 10 ÷ 5 ÷ 3 ÷ 15 × 5
b) 44 × 36 ÷ 3 ÷ 4 × 3 ÷ 12
3. Estime les quotients et calcule-les.
a) 336 ÷ 7
b) 92 ÷ 4
a) 275 ÷ 25 =
=
=
÷ 25 +
+
÷ 25
b) 42, 35 ÷ 7 =
=
=
÷7+
+
÷7
7
Activité
Au quotidien – Corrigé
Section A
1. Voici le prix de quelques aliments, selon leur masse, vendus au supermarché.
Filets de truite
Poulet entier
15,40 $/kg
7,69 $/kg
4,39 $/kg
a) Estime et calcule le coût total de 250 g de filets de truite, de 1,8 kg de poulet entier et de 1,5 kg de
rôti de palette de bœuf. Laisse des traces de ton travail et vérifie tes réponses à l’aide d’une
calculatrice.
Voici un exemple d’estimation et de solution possible :
Estimation :
0, 250 × 15, 40 + 1, 8 × 7, 69 + 1, 5 × 4, 39
5 0, 1× 15 + 2 × 8 + 2 × 4
5 1, 5 + 16 + 8
5 25 , 5
Le coût total est d’environ 25,50 $.
Calculs :
Filets de truite
0,250 × 15,40 = ?
15
0,40
0,1
1,5
0,04
0,1
1,5
0,04
0,05
0,75
0,02
0, 250 × 15, 40
= 1, 5 + 1, 5 + 0, 75 + 0, 04 + 0, 04 + 0, 02
= 3 + 0, 75 + 0, 1
= 3 + 0, 85
= 3, 85 $
250 g de filets de truite coûtent 3,85 $
Poulet entier
1,8 × 7,69 = ?
1
0,8
7
0,6
0,09
7
0,6
0,09
5,6
0,48
0,072
1, 8 × 7, 69
= 7 + 5, 6 + 0, 6 + 0, 48 + 0, 09 + 0, 072
= 12, 6 + 1, 08 + 0, 162
= 13, 68 + 0, 162
= 13, 842
1,8 kg de poulet entier coûte environ 13,84 $
8e année
7
Activité
1,5 × 4,39 = ?
4
0,3
0,09
1
4
0,3
0,09
0,5
2
0,15
0,045
1, 5 × 4, 39
= 4 + 2 + 0, 3 + 0, 15 + 0, 09 + 0, 045
= 6 + 0, 45 + 0, 135
= 6 + 0, 585
= 6, 585
1,5 kg de rôti de palette de bœuf coûte
environ 6,59 $
Coût total
6,59 + 13,84 + 3,85
= 6,60 + 13,83 + 3,85
= 7 + 13,43 + 3,85
= 10,85 + 13,43
= 23 + 1,20 + 0,08
= 24,28
Le coût total est de 24,28 $.
b) Si tu remets un billet de 50 $ à la caissière, quels billets et quelles pièces de monnaie te rendra-t-elle?
Voici un exemple d’estimation et de solution possible :
Estimation :
50 – 25,5 = 24,50
Elle me rendra un billet de 20 $, deux pièces de 2 $ et deux pièces de 0,25 $.
Calculs :
50 < 24, 28 = ?
49,99 + 0,01
< 24,28
25,71 + 0,01
La caissière me rendra un billet de 20 $, un billet
de 5 $, deux pièces de 0,25 $, deux pièces de 0,10 $ et
deux pièces de 0,01 $.
25,72
2. Le coût du repas de Didier est de 13,95 $. À ce coût sont ajoutés les taxes de vente et le pourboire.
Didier paie 18,76 $. Si les taxes de vente (TPS et TVP) en Ontario sont de 13 %, combien de
pourboire Didier a-t-il laissé à la serveuse?
Voici un exemple d’estimation possible :
Estimation :
Taxes de vente
0, 13 × 13, 95 5 0, 1× 13, 95
5 1, 395
Le montant des taxes de vente
est d’environ 1,40 $.
Total de l’addition (repas et
taxes de vente)
Pourboire
13, 95 + 1, 40 5 14 + 1, 40
53$
Didier a laissé un pourboire
d’environ 3 $ à la serveuse.
5 15, 40 $
Le total de l’addition (repas
et taxes de vente) est
d’environ 15,40 $.
18, 76 < 15, 40 5 18 < 15
7
Activité
Calculs :
Taxes de vente
13 × 1 395 = ?
1 000
300
90
5
10
10 000
3 000
900
50
3
3 000
900
270
15
Total de l’addition (repas et taxes de
vente)
13, 95 + 1, 81 = 14 + 1, 76
= 15, 76 $
Le total de l’addition (repas et taxes de
vente) est de 15,76 $.
13 × 1 395
= 10 000 + 3 000 + 3 000 + 900 + 900 + 270 + 50 + 15
= 16 000 + 1 800 + 335
= 16 000 + 2 135
= 18 135
Le montant des taxes de vente est d’environ 1,81 $,
puisque, selon l’estimation, la réponse est près de 1,40 $.
Pourboire
18, 76 < 15, 76 = ?
15, 76 + 0, 24 = 16
16
+ 2, 76 = 18, 76
3$
Didier a laissé un pourboire de 3 $ à la serveuse.
3. Compare les expressions ci-dessous à l’aide du symbole <, > ou =.
2,1 + 5,6 × 3,8 < 30 – 2,4 × 2
Voici un exemple de solution possible :
2, 1 + 5, 6 × 3, 8 = 2, 1 + 56 × 0, 1× 38 × 0, 1
= 2, 1 + 56 × 38 × 0, 1× 0, 1
= 2, 1 + (56 × 30 + 56 × 8) × 0, 01
= 2, 1 + (1680 + 448) × 0, 01
= 2, 1 + 2 128 × 0, 01
= 2, 1 + 21, 28
= 2 3 , 38
30 < 2, 4 × 2 = 30 < 24 × 0, 1× 2
= 30 < 24 × 2 × 0, 1
= 30 < 48 × 0, 1
= 30 < 4, 8
= 29, 9 + 0, 1 < 4, 8
= 29, 9 < 4, 8 + 0, 1
= 25, 1 + 0, 1
= 25, 2
a) 5,6 × 3,4
5
0,6
b) 14,6 × 6,36
10
3
15
1,8
6
60
24
3,6
0,4
2
0,24
0,3
3
1,2
0,18
0,06
0,6
0,24
0,036
17 + 2,04
5, 6 × 3, 4 = 17 + 2, 04
= 19, 04
4
0,6
63,6 + 25,44 + 3,816 = 92,856
14,6 × 6,36 = 92,856
8e année
7
Activité
Section B
a) 36, 578 × 9, 98 5 37 × 10
5 370
b) 36, 578 ÷ 9, 98 5 37 ÷ 10
5 3, 7
a) 45 × 10 ÷ 5 ÷ 3 ÷ 15 × 5
b) 44 × 36 ÷ 3 ÷ 4 × 3 ÷ 12
45 × 10 ÷ 5 ÷ 3 ÷ 15 × 5
= 45 ÷ 3 × 5 ÷ 5 × 10 ÷ 15
= 15 × 1× 10 ÷ 15
= 15 ÷ 15 × 10
= 10
44 × 36 ÷ 3 ÷ 4 × 3 ÷ 12
= 44 ÷ 4 × 36 ÷ 12 × 3 ÷ 3
= 11× 3 × 1
= 33
3. Estime les quotients et calcule-les.
a) 336 ÷ 7
Estimation :
b) 92 ÷ 4
Estimation :
336 ÷ 7 5 350 ÷ 7
92 ÷ 4 5 100 ÷ 4
5 50
5 25
Calculs :
Exemple 1
336 ÷ 7 = ?
Calculs :
Exemple 1
92 ÷ 4 = ?
7 × ? = 336
4
7 × 50 = 350
7 × 2 = 14
92
− 80 20
12
− 12 + 3
0 23
336 ÷ 7 = 50 − 2
= 48
92 ÷ 4 = 23
Exemple 2
Exemple 2
92 ÷ 4
= 80 ÷ 4 + 12 ÷ 4
336 ÷ 7
= 350 ÷ 7 < 14 ÷ 7
= 20 + 3
= 23
= 50 < 2
= 48
a) 275 ÷ 25 = 200 ÷ 25 + 75 ÷ 25
=8+3
= 11
b) 42, 35 ÷ 7 = 42 ÷ 7 + 0, 35 ÷ 7
= 6 + 0, 05
= 6, 05
3
Activité
Aire totale
Au cours de cette activité, l’élève détermine l’aire totale de prismes droits.
L’élève :
– détermine l’aire de figures planes;
– utilise le théorème de Pythagore pour déterminer la mesure manquante d’un des côtés d’un
triangle rectangle;
– établit la relation entre l’aire totale de prismes droits et la somme des aires de leurs faces;
– estime et calcule l’aire totale de divers prismes droits.
Matériel requis
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
calculatrices scientifiques (une pour élève)
ensemble de solides géométriques
paires de ciseaux (une par élève)
petite boîte rectangulaire
règles graduées en millimètres (une par élève)
rétroprojecteur
ruban adhésif
feuille Aire de prismes droits (une copie par élève)
feuille Prisme à base rectangulaire (une copie par élève)
feuille Prisme à base triangulaire (une copie par élève)
feuilles Des prismes droits (une copie par élève)
transparents des feuilles Des prismes droits
fiche Calculons l’aire! (une copie par élève)
Déroulement
Étape 1
Dire aux élèves qu’au cours de cette activité elles et ils calculeront l’aire de prismes droits ayant des
bases de différentes formes.
Montrer aux élèves quelques prismes droits d’un ensemble de solides géométriques et leur
demander de les nommer.
Voici des exemples de prismes possibles :
Exemple 1
Exemple 2
Exemple 3
prisme à base rectangulaire
prisme à base triangulaire
cube
3
Activité
Poser les questions suivantes.
• Selon toi, est-ce que l’on peut calculer le volume d’un prisme droit?
• Selon toi, est-ce que l’on peut calculer le périmètre d’un prisme droit?
• Selon toi, est-ce que l’on peut calculer l’aire d’un prisme droit?
Allouer aux élèves quelques minutes pour discuter avec un ou une partenaire des réponses possibles.
Dire aux élèves qu’elles et ils savent déjà qu’il est possible de déterminer le volume de prismes
droits, puisque le concept de volume a été vu en 6e année et en 7e année. Elles et ils vont
maintenant déterminer s’il est possible de calculer le périmètre et l’aire de divers prismes droits.
Remettre à chaque équipe :
• deux copies de la feuille Aire de prismes droits;
• deux copies de la feuille Prisme à base rectangulaire;
• deux copies de la feuille Prisme à base triangulaire;
• deux paires de ciseaux;
• du ruban adhésif;
• deux règles graduées en millimètres;
• une calculatrice scientifique.
Demander aux élèves de faire la partie A puis la partie B de la feuille Aire de prismes droits.
Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue
de les amener à verbaliser leur compréhension du concept lié à l’aire d’un prisme droit.
Lorsque les élèves ont terminé, animer un échange mathématique en vue de discuter de l’aire des
deux prismes.
Voici des exemples de réponses possibles :
Partie A : Prisme à base rectangulaire
5 cm
C
3 cm
2,8 cm
5 cm
12 cm
3,5 cm
A
B
5 cm
12 cm
A
B
D
6 cm
5 cm
12 cm
Partie B : Prisme à base triangulaire
C
B
A
10 cm
12 cm
10 cm
10 cm
6 cm
3 cm
3 cm
2,8 cm
D
3 cm
C
5 cm
8e année
3
Exemple 1
Atotale = AireA + AireB + AireC + AireD + AireD
Atotale = 2 × b × h + 2 × b × h + 2 × b × h
Atotale = b × h + b × h + b × h + b × h ÷ 2 + b × h ÷ 2
Atotale = 2 × 5 × 12 + 2 × 3 × 12 + 2 × 5 × 3
Atotale = 3, 5 × 10 + 6 × 10 + 5 × 10 + 6 × 2, 8 ÷ 2 + 6 × 2, 8 ÷ 2
Atotale = 2 × 60 + 2 × 36 + 2 × 15
Atotale = 35 + 60 + 50 + 8, 4 + 8, 4
Atotale = 120 + 72 + 30
Atotale = 145 + 16, 8
Atotale = 222 cm
Atotale = 161, 8 cm2
2
Exemple 2
Exemple 2
Atotale = AireA + AireA + Aire B + Aire B + Aire C + Aire C Atotale = AireA + AireB + AireC + 2 × AireD
Atotale = b × h + b × h + b × h + 2 (b × h ÷ 2)
Atotale = b × h + b × h + b × h + b × h + b × h + b × h
Atotale = 5 × 12 + 5 × 12 + 3 × 12 + 3 × 12 + 5 × 3 + 5 × 3
Atotale = 60 + 60 + 36 + 36 + 15 + 15
Atotale = 120 + 72 + 30
Atotale = 222 cm2
Atotale = 3, 5 × 10 + 6 × 10 + 5 × 10 + 2 ( 6 × 2, 8 ÷ 2)
Atotale = 35 + 60 + 50 + 2 ( 8, 4 )
Atotale = 145 + 16, 8
Faire ressortir :
• que l’on peut déterminer l’aire totale de prismes droits;
• qu’il y a une relation entre l’aire totale d’un prisme droit et la somme des aires de ses faces;
• qu’il est utile de tracer le développement d’un prisme droit pour déterminer son aire totale,
puisque, de cette façon, on voit toutes les faces latérales ainsi que les deux bases du prisme;
• que l’on écrit les mesures des côtés de chaque polygone sur les faces du développement;
• que l’on écrit le plan de la solution;
• qu’il y a différents plans de solution pour un même prisme droit;
• que l’on attribue à chaque variable la valeur appropriée;
• que l’on répond clairement à la question posée en utilisant les mesures appropriées.
Poser la question suivante : « Selon la définition du périmètre que tu connais, penses-tu qu’il est
possible de calculer le périmètre d’un prisme droit? »
Non, il n’est pas possible de déterminer le périmètre d’un prisme droit, car le périmètre est le
contour d’une figure plane, et le prisme est un solide.
Étape 2
Remettre à chaque élève les feuilles Des prismes droits.
Demander aux élèves de réaliser le travail.
Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions en vue
de les amener à verbaliser leur compréhension du concept lié à l’aire d’un prisme
droit.
Lorsque les élèves ont terminé, projeter les transparents des feuilles Des prismes droits et animer
un échange mathématique en vue de discuter des problèmes.
Faire ressortir les différentes stratégies utilisées pour déterminer l’aire de chaque prisme, en
consultant les feuilles Des prismes droits – Corrigé.
Remettre à chaque élève la fiche Calculons l’aire! et choisir les exercices à réaliser individuellement.
Activité
Exemple 1
Atotale = 2 × AireA + 2 × AireB + 2 × AireC
3
Activité
Aire de prismes droits
Nom : __________________________________________________
3
3
3
3
3
3
calculatrice scientifique
paire de ciseaux
règle graduée en millimètres
ruban adhésif
feuille Prisme à base rectangulaire
feuille Prisme à base triangulaire
Partie A – Prisme à base rectangulaire
1. Mesure tous les côtés des polygones qui forment le développement du prisme à base rectangulaire
et écris les mesures sur les faces du développement.
2. Désigne chaque face au moyen d’une lettre majuscule. Utilise les mêmes lettres si certaines faces
sont congruentes.
3. Découpe le développement du prisme à base rectangulaire.
4. Construis la coquille du prisme à base rectangulaire.
5. Détermine l’aire de ce prisme en écrivant le plan de la solution et en organisant tes calculs.
Partie B – Prisme à base triangulaire
1. Mesure tous les côtés des polygones qui forment le développement du prisme à base triangulaire et
écris les mesures sur les faces du développement. N’oublie pas de mesurer la hauteur du triangle.
2. Désigne chaque face au moyen d’une lettre majuscule. Utilise les mêmes lettres si certaines faces
sont congruentes.
3. Découpe le développement du prisme à base triangulaire.
4. Construis la coquille du prisme à base triangulaire.
5. Détermine l’aire de ce prisme en écrivant le plan de la solution et en organisant tes calculs.
8e année
3
Activité
Prisme à base rectangulaire
3
Activité
Prisme à base triangulaire
8e année
3
Activité
Des prismes droits
Nom : __________________________________________________
a) Trace le développement de chacun des prismes droits ci-dessous. Écris, sur les faces du
développement, les mesures des côtés de tous les polygones qui forment le développement.
b) Détermine l’aire totale de chacun des prismes.
Prisme rectangulaire A
Développement
10 cm
A
2 cm
4 cm
C
B
C
A
B
Calculs
Prisme rectangulaire B
Développement
5m
2m
1,5 m
Calculs
3
Activité
Prisme triangulaire A
Développement
La base du prisme
est un triangle scalène.
5 cm
2,5 cm
2,2 cm
7,6 cm
5,7 cm
Calculs
Prisme triangulaire B
Développement
La base du prisme
est un triangle isocèle.
2,4 cm
3,5 cm
7,7 cm
Calculs
8e année
3
Activité
Des prismes droits – Corrigé
a) Trace le développement de chacun des prismes droits ci-dessous. Écris, sur les faces du
Prisme rectangulaire A
Développement
10 cm
A
4 cm
2 cm
2 cm
C
4 cm
B
C
4 cm
4 cm
4 cm
A
2 cm
B
10 cm
Calculs
Exemple 1
Exemple 2
Atotale = AireA + AireA + AireB + AireB + AireC + AireC
Atotale = 2 × b × h + 2 × b × h + 2 × b × h
Atotale = 10 × 4 + 10 × 4 + 10 × 2 + 10 × 2 + 4 × 2 + 4 × 2
Atotale = 2 × 10 × 4 + 2 × 10 × 2 + 2 × 2 × 4
Atotale = 40 + 40 + 20 + 20 + 8 + 8
Atotale = 2 × 40 + 2 × 20 + 2 × 8
Atotale = 80 + 40 + 16
Atotale = 80 + 40 + 16
Atotale = 136 cm
Atotale = 136 cm2
Prisme rectangulaire B
Développement
2
5m
2m
1,5 m
2m
C
5m
1,5 m
A
C
1,5 m
B
2m
C
1,5 m
B
2m
Calculs
Exemple 1
Exemple 2
Atotale = AA + AA + A B + A B + A C + A C
Atotale = 2 × b × h + 2 × b × h + 2 × b × h
Atotale = 2 × 5 + 2 × 5 + 5 × 1, 5 + 5 × 1, 5 + 1, 5 × 2 + 1, 5 × 2
Atotale = 2 × 2 × 5 + 2 × 1, 5 × 5 + 2 × 1, 5 × 2
Atotale = 10 + 10 + 7, 5 + 7, 5 + 3 + 3
Atotale = 2 × 10 + 2 × 7, 5 + 2 × 3
Atotale = 20 + 15 + 6
Atotale = 20 + 15 + 6
Atotale = 41 m
Atotale = 41 m2
2
3
Activité
Prisme triangulaire A
Développement
La base du prisme
est un triangle scalène.
2,5 cm
2,2 cm
5 cm
2,5 cm
7,6 cm
2,2 cm
5,0 cm
5,7 cm
B
C
D
7,6 cm
5,7 cm
A
Calculs
Exemple 1
Exemple 2
Atotale = 2 × Atriangle A + Arectangle B + Arectangle C + Arectangle D
Atotale = Atriangle A + Atriangle A + Arectangle B + Arectangle C + Arectangle D
Atotale
Atotale
Atotale
b ×h
= 2×
+ b ×h + b ×h + b ×h
2
5, 7 × 2, 2
= 2×
+ 2, 5 × 7, 6 + 5, 7 × 7, 6 + 5 × 7, 6
2
= 12, 54 + 19 + 43, 32 + 38
Atotale = b × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 + b × h + b × h + b × h
2 ÷ 2 + 5, 7 × 2, 2 ÷ 2 + 2, 5 × 7, 6 + 5, 7 × 7, 6 + 5 × 7, 6
Atotale = 5, 7 × 2,2
Atotale = 6, 27 + 6, 27 + 19 + 43, 32 + 3 8
Prisme triangulaire B
Développement
La base du prisme
est un triangle isocèle.
1,6 cm
A
2,4 cm
3,5 cm
2,4 cm
7,7 cm
3,5 cm
7,7 cm
B
C
B
A
Calculs
Hauteur du triangle A :
(Théorème de Pythagore)
h = 1,6 cm
2,4 cm
A
1,75 cm 1,75 cm
3,5 cm
2, 42 = 1, 752 + h 2
5, 76 = 3, 0625 + h 2
h 2 = 2, 6975
h = 2, 6975
h 5 1, 6
8e année
3
Exemple 2
Atotale = 2 × Atriangle A + 2 × Arectangle B + Arectangle C Atotale = Atriangle A + Atriangle A + Arectangle B + Arectangle B + Arectangle C
b ×h
+ 2×b ×h + b ×h
2
3, 5 × 1, 6
= 2×
+ 2 × 2, 4 × 7, 7 + 3, 5 × 7, 7
2
= 5, 6 + 36, 96 + 26, 95
Atotale = 2 ×
Atotale
Atotale
Atotale = b × h ÷ 2 + b × h ÷ 2 + b × h + b × h + b × h
Atotale = 3, 5 × 1,6
6 ÷ 2 + 3, 5 × 1, 6 ÷ 2 + 2, 4 × 7, 7 + 2, 4 × 7, 7 + 3, 5 × 7, 7
Atotale = 2, 8 + 2, 8 + 18, 48 + 18, 48 + 26, 95
Activité
Exemple 1
3
Activité
Calculons l’aire!
Nom : __________________________________________________
3 calculatrice scientifique
Section A
1. Voici les développements de prismes droits. Détermine l’aire totale de chaque prisme.
a)
b)
240 mm
100 mm
24 mm
33 cm
26 mm
5,2 cm
2. a) Trace le développement de chacun des prismes droits ci-dessous. Écris, sur les faces du
i)
ii)
2,7 cm
7 cm
7,9 cm
4 cm
2 cm
iii) 2,8 cm
2 cm
9 cm
iv)
4 cm
15 cm
3 cm 3 cm
3. a) Trace un prisme droit à base triangulaire ayant les caractéristiques suivantes :
– la base du prisme est un triangle isocèle dont les côtés mesurent 6 cm, 6 cm et 8 cm;
– la longueur du prisme est de 12 cm.
b) Trace le développement du prisme.
c) Détermine l’aire totale du prisme.
4. Détermine les mesures de la base et de la hauteur de trois triangles qui ont une aire de 21 cm2.
8e année
3
Activité
Section B
a) 2 × 51 + 3 × 192
c) 4 × 6,5 + 22
b) 2 × 125 – 2 × 45
d) 2 × 7 + 2 × 4 + 2 × 3
2. Calcule approximativement les valeurs des racines carrées ci-dessous. Arrondis les réponses au
dixième près.
a)
10
b)
27
c)
130
d)
79
e)
170
f)
10 025
3. Utilise des égalités pour représenter symboliquement les résultats illustrés sur les droites
numériques.
a)
3
−
7
b)
4
−
4
2
8
0
0
+
6
8
+
3
Activité
Calculons l’aire! – Corrigé
Section A
1. Voici les développements de prismes droits. Détermine l’aire totale de chaque prisme.
a) Exemple 1
Exemple 2
240 mm
24 cm
240 mm
10 cm
100 mm
33 cm
A
100 mm
C
B
A
330 mm
33 cm
B
A
C
B
A
B
C
C
100 mm = 10 cm et 240 mm = 24 cm
33 cm = 330 mm
Atotale = 2 × b × h + 2 × b × h + 2 × b × h
Atotale = 2 × b × h + 2 × b × h + 2 × b × h
Atotale = 2 × 10 × 33 + 2 × 24 × 33 + 2 × 24 × 10
Atotale = 2 × 100 × 330 + 2 × 240 × 330 + 2 × 240 × 100
Atotale = 2 × 330 + 2 × 792 + 2 × 240
Atotale = 2 × 33 000 + 2 × 79 200 + 2 × 24 000
Atotale = 660 + 1 584 + 480
Atotale = 66 000 + 158 400 + 48 000
Atotale = 2 724 cm
Atotale = 272 400 mm2
2
Exemple 2
b) Exemple 1
A
A
B
C
24 mm
2,4 cm
2,3 cm
24 mm
A
5,2 cm
5,2 cm
52 mm
6, 76 = 1, 44 + h2
h2 = 5, 32
h 5 2, 3
Atotale = 2 × Airerectangle A + Airerectangle B + 2 × Airetriangle C
Atotale = 2 × b × h + b × h + 2 × b × h ÷ 2
2, 4 × 2, 3
= 2 × 2, 6 × 5, 2 + 2, 4 × 5, 2 + 2 ×
2
= 27, 04 + 12, 48 + 5, 52
Atotale = 45,04 cm
2
23 mm
26 mm
A
2, 62 = 1, 22 + h2
Atotale
B
26 mm
2,6 cm
24 mm = 2,4 cm et 26 mm = 2,6 cm
Hauteur du triangle C :
Atotale
C
5,2 cm = 52 mm
Hauteur du triangle C :
262 = 12 2 + h2
676 = 144 + h2
h2 = 532
h 5 23
Atotale = 2 × Airerectangle A + Airerectangle B + 2 × Aire triangle C
Atotale = 2 × b × h + b × h + 2 × b × h ÷ 2
Atotale = 2 × 26 × 52 + 24 × 52 + 2 ×
Atotale = 2 704 + 1 248 + 552
24 × 23
2
Atotale = 4 504 mm2
8e année
3
i)
ii)
2,7 cm
7 cm
7,9 cm
4 cm
2 cm
4 cm
2 cm
2,3 cm
A
2,7 cm
2,7 cm
7 cm
B
C
B
C
7,9 cm
B
B
B
A
Atotale = 2 × b × h + 2 × b × h + 2 × b × h
Atotale = 2 × 4 × 2 + 2 × 2 × 7 + 2 × 4 × 7
Atotale = 2 × 8 + 2 × 14 + 2 × 28
Atotale = 16 + 28 + 56
Atotale = 100 cm
2
A
Hauteur du triangle A :
2, 72 = 1, 352 + h2
7, 29 = 1, 8225 + h2
h2 = 5, 4675
h 5 2, 3
Atotale = 2 × Aire triangle A + 3 × Airerectangle B
Atotale = 2 × b × h ÷ 2 + 3 × b × h
Atotale = 2 × 2, 7 × 2, 3 ÷ 2 + 3 × 2, 7 × 7, 9
Atotale = 2 × 3, 105 + 3 × 21, 33
Atotale = 6, 21 + 63, 99
Atotale = 70, 2 cm2
Activité
2. a) Trace le développement de chacun des prismes droits ci-dessous. Écris, sur les faces du
3
Activité
iii) 2,8 cm
iv)
2 cm
4 cm
9 cm
9 cm
15 cm
A
3 cm 3 cm
2,8 cm
B
C
A
C 2,8 cm
B
2 cm
5 cm
C
A
B
15 cm
Atotale = AA + AA + AB + AB + AC + AC
5 cm
A
Atotale = 9 × 2, 8 + 9 × 2, 8 + 9 × 2 + 9 × 2 + 2 × 2, 8 + 2 × 2, 8
6 cm
Atotale = 25, 2 + 25, 2 + 18 + 18 + 5, 6 + 5, 6
Atotale = 50, 4 + 36 + 11, 2
4 cm
Atotale = 97, 6 cm
2
5 cm
Longueur d’un côté du triangle C :
c 2 = 42 + 32
c 2 = 16 + 9
c 2 = 25
c =5
Atotale = Arectangle A + Arectangle A + Arectangle B + Atriangle C + Atriangle C
Atotale = b × h + b × h + b × h + b × h ÷ 2 + b × h ÷ 2
Atotale = 5 × 15 + 5 × 15 + 6 × 15 + 6 × 4 ÷ 2 + 6 × 4 ÷ 2
Atotale = 75 + 75 + 90 + 12 + 12
Atotale = 264 cm2
3. a) Trace un prisme droit à base triangulaire ayant les caractéristiques suivantes :
– la base du prisme est un triangle isocèle dont les côtés mesurent 6 cm, 6 cm et 8 cm;
– la longueur du prisme est de 12 cm.
b) Trace le développement du prisme.
c) Détermine l’aire totale du prisme.
a)
6 cm
6 cm
b)
4,5 cm
6 cm
6 cm
4 cm
6 cm
12 cm
8 cm
A
B
A
12 cm
8 cm
C
8e année
3
Aire du prisme :
Atotale = 2 × Arectangle A + Arectangle B + 2 × Atriangle C
h 2 + 4 2 = 62
b ×h
2
8 × 4, 5
= 2 × 6 × 12 + 8 × 12 + 2 ×
2
= 144 + 96 + 36
Atotale = 2 × b × h + b × h + 2 ×
h 2 + 16 = 36
h 2 = 20
h 5 4, 5
Atotale
Atotale
Atotale = 276 cm2
4. Détermine les mesures de la base et de la hauteur de trois triangles qui ont une aire de 21 cm2.
b (cm)
h (cm)
A (cm2)
1
42
21
2
21
21
3
14
21
6
7
21
Section B
a) 2 × 51 + 3 × 192
= 102 + 576
= 678
c) 4 × 6,5 + 22
= 4 × 6,5 + 4
= 26 + 4
= 30
b) 2 × 125 – 2 × 45
= 250 – 90
= 160
d) 2 × 7 + 2 × 4 + 2 × 3
= 14 + 8 + 6
= 28
2. Calcule approximativement les valeurs des racines carrées ci-dessous. Arrondis les réponses au
dixième près.
a)
10 ≈ 3, 2
b)
27 ≈ 5, 2
c)
130 ≈ 11, 4
d)
79 ≈ 8, 9
e)
170 ≈ 13, 0
f)
10 025 5 100, 1
3. Utilise des égalités pour représenter symboliquement les résultats illustrés sur les droites
numériques.
a)
3
−
7
b)
4
−
4
2
8
0
4 + –3 = –7
4 – 3 = –7
–
–
0
+
6
8
+
8–2=6
8 + –2 = 6
+
8 + –2 = +6
+
Activité
c) Hauteur du triangle C :

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Transcription

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