CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLÉ N° 2 TERMINALE

CORRIGÉ
DEVOIR SURVEILLÉ N° 2
TERMINALE ES spé
EXERCICE 1 : On considère le graphe ci-contre.
1. L'ordre du graphe est 7 puisqu'il a 7 sommets.
Les degrés des sommets :
sommets 1
2
3
4
5
6
7
degrés
4
2
2
2
3
3
4
2. Le nombre d'arêtes du graphe est la moitié de la somme des degrés, soit
(4 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4)/2 = 10.
3. Le graphe est connexe puisqu'il existe une chaîne reliant chaque
sommet à tous les autres.
4. Le graphe n'est pas complet puisque certains sommets ne sont pas relié par une arête.
5. Il existe une chaîne de longueur 5 reliant le sommet (1) au sommet (5) : par exemple : 1 – 2 – 6 – 1 – 7 – 5.
6. La matrice d'adjacence M du graphe :
Cette matrice est symétrique par rapport à la diagonale puisque le graphe est
0 1 1 0 0 1 1
non orienté et les termes de la diagonale sont tous nuls puisqu'il n'y a pas de
1 0 0 0 0 1 0
boucles.
1 0 0 0 0 0 1
7. M6 = 197 104 116 104 153 125 161
M= 0 0 0 0 1 0 1
104 66 70 58 82 82 104
0 0 0 1 0 1 1
116 70 80 70 92 92 116
1 1 0 0 1 0 0
104 58 70 66 82 82 104
1 0 1 1 1 0 0
153 82 92 82 127 91 125
125 82 92 82 91 127 153
161 104 116 104 125 153 197
(
)
(
)
8. Le nombre de chaînes de longueur 6 reliant le sommet (1) au sommet (7) est le terme a17 de la matrice M6 = 161.
9. Tous les sommets de ce graphe peuvent être relié par une chaîne de longueur 6, car la matrice M6 ne contient
pas de terme nul.
EXERCICE 2 :
1. Il n'est pas possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié avec exactement trois autres,
car dans ce cas, la somme des degrés serait égale à 15×3 = 45 qui n'est pas pair.
2. Il n'est pas possible de relier 15 ordinateurs avec exactement quatre autres, car dans ce cas, la somme des
degrés serait égale à 15×4 = 60, ce qui donne 30 arêtes.
EXERCICE 3 :
Dans une ville, on s'intéresse aux principales rues permettant de relier certains
lieux ouverts au public, à savoir la mairie (M), le centre commercial (C), la
bibliothèque (B), la piscine (P) et le lycée (L).
Le tableau ci-contre donne les rues existant entre ces
lieux.
1. Un graphe représentant la situation :
Les degrés des sommets :
sommets B
C
L
M P
degrés
3
2
2
3
B
B
C
C
✓
✓
L
M
P
✓
✓
✓
✓
M ✓
P
L
✓
✓
✓
✓
✓
2
2. D'après le théorème d'Euler, il existe un trajet empruntant une et une seule fois toutes les rues de ce plan, car le
nombre de sommets de degré impair est 2. Un tel trajet : B – P – M – L – C – B – M.
3. D'après le théorème d'Euler, il n'existe pas de trajet partant et arrivant du même lieu
0 1 0 1 1
et empruntant une et une seule fois toutes les rues, car les sommets ne sont pas tous de
1 0 1 0 0
degré pair.
M
=
4. La matrice M associée au graphe :
0 1 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 0 1 0
(
)
5. Pour savoir s'il existe des chaînes de longueur 3 joignant deux sommets
quelconques du graphe, on regarde si certains termes de la matrice M 3 sont nuls ;
on a a22 = a33 = 0. Donc il n'existe pas de chaîne fermée de longueur 3
d'extrémité C ou L.
(
2 5
5 0
M3 = 1 4
6 1
4 2
1
4
0
5
2
6
1
5
2
4
4
2
2
4
2
)
EXERCICE 4 :
Quatre couples se rencontrent dans une réunion. Les huit personnes présentent se serrent la main de la façon
suivante : chaque personne serre la main à chacun des conjoints des trois autres couples, et ne serrent pas la main
de son conjoint.
On considère le graphe dont les sommets sont les personnes, et les arcs les poignées de main.
Chaque personne serre la main de 6 personnes, donc le degré de chaque sommet est 6, donc le nombre de poignées
de mains (nombre d'arêtes du graphe) est égal à 6×8/2 = 24.