Correction du bac blanc février 2016

Correction du bac blanc février 2016
TES
Exercice 1 : (4 points) Commun à tous les candidats
1. S est la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 2 donc on peut utiliser la formule
suivante :
S = 1er terme de la somme
La bonne réponse est donc la réponse b)
.
.
2. On compte les unités d’aires qui sont comprises entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les
droites d’équation x = 0 et x = 3. On trouve la réponse d)
.
3. D’après la représentation graphique de la fonction g  , on a le tableau de signes suivant :
x

1

0
+

Signe de g   x 
Ainsi, la fonction g est strictement décroissante sur ; 1 et est strictement croissante sur  1;  . Seule la
courbe
convient. La bonne réponse est la réponse c)
4. La bonne réponse est la réponse c)
.
Exercice 2 : (5 points) Commun à tous les candidats
I
0,7
1)
2) 630 élèves sur 2000 sont des élèves de premières qui
utilisent régulièrement Internet donc
T
0,3
I
0,25
De plus,
I
3) D’après la formule des probabilités totales :
donc
.
De plus,
d’après l’énoncé et
0,35
Donc
0,4
.
De plus,
0,9
E
0,1
I
donc la probabilité que le
questionnaire soit celui d’un élève utilisant régulièrement
Internet sachant qu’il est en seconde est de
.
4)
I
0,95
S
0,05
I
Concrètement, la probabilité que le questionnaire soit celui d’un
élève de Terminale sachant qu’il s’agit d’un élève qui utilise régulièrement Internet est d’environ
.
5)
a. On choisit un questionnaire au hasard et on considère l’épreuve de Bernouilli dont le succès est « L’élève
utilise régulièrement Internet ». La probabilité du succès est donc
. On répète cette expérience 5 fois de manière
identique et indépendante. Le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres
et
.
b.
Exercice 3 : (5 points) Commun à tous les candidats
Partie A : Etude d’une fonction
1. a) f est de la forme u  v , où : u  x   20 x  20 et v  x   e0,5x
u  x   20
v  x   0,5e0,5 x
f   uv  uv donc f   x   20  e0,5 x   20 x  20    0,5e0,5 x 
f   x   e0,5 x  20   20 x  20   0,5   e0,5 x  20  10 x  10   e0,5 x  30  10 x 
On a bien le résultat annoncé.
b) signe de e0,5x : e0,5x est strictement positif sur [0,5 ;8] car e x est strictement positif pour tout réel x.
signe de 30  10x : c’est une fonction affine.
30  10x s’annule pour x 
x
Signe de f   x 
30
 3 et est positif avant 3 puis négatif.
10
0,5
3
0
+
40e
Variations de f

8
f (0,5)  (10  20)e0,25  10e0,25  7, 79
f (3)  (60  20)e1,5  40e1,5  8,93
1,5
f (8)  (160  20)e4  140e4  2,56
10e0,25
140e4
2. a) Sur [0,5 ;3], f est continue car dérivable et strictement croissante.
f (0,5)  7,79 et f (3)  8,93 donc 2 est compris entre f (0,5) et f (3) .
Ainsi, d’après la propriété des valeurs intermédiaires, l’équation f ( x)  2 admet une et une seule solution sur
[0,5 ;3].
b) Grâce à la calculatrice, on trouve   1,18
Partie B : Application économique
0,52,2
 24e1,1
1. f (2, 2)  (20  2, 2  20)e
f (2, 2) 1000  24e1,1 1000  7989 .
Si l’entreprise produit 220 bicyclettes, le bénéfice réalisé à l’euro près est 7989 euros.
2. D’après le tableau de variations précédent, le bénéfice est maximum pour x = 3.
Il faut donc produire 300 bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum.
f (3) 1000  40e1,5 1000  8925 . Ce bénéfice maximum est 8925 euros, à l’euro près.
3. D’après la partie A, on a le tableau de variations suivant :
x
  1,18
0,5
3
8
 8,93
Variations de f
 7,79
2
 2,56
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 2000 euros, on doit avoir f ( x)  2 . D’après le tableau, f ( x)  2 pour x
dans l’intervalle [ ;8] . Il faut donc produire entre118 et 800 bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à
2000 euros.
4. a) f ( x)  0  (20 x  20)e
Ainsi, f ( x)  0  x 
0,5 x
 0  20 x  20  0 car e0,5x ne s’annule jamais.
20
 1 . S  1 .
20
b) Pour ne pas travailler à perte, le bénéfice de l’entreprise doit être positif ou nul. On doit donc avoir f ( x)  0.
On a le tableau suivant :
x
0,5
1
3
8
 8,93
Variations de f
0
 7,79
 2,56
D’après le tableau, f ( x)  0 pour x dans l’intervalle [1 ;8]. L’entreprise doit produire entre 100 et 800
bicyclettes pour ne pas travailler à perte.
Exercice 4 : (6 points) Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la
série L
1)
a. Réduire les déchets de
revient à multiplier par
b. Comme indiqué à la question précédent, diminuer de
déchets augmentent de
tonnes chaque année. On a donc bien
2)
a. Pour tout entier naturel :
Donc
revient à multiplier par
et ensuite les
pour tout entier naturel .
et de 1er terme
.
est bien une suite géométrique de raison
b. Pour tout entier naturel ,
De plus,
.
.
.
c. Pour tout entier naturel ,
Donc
ce qui montre que la suite
est décroissante.
La quantité de déchets rejetée diminue donc d’une année sur l’autre.
d.
donc la limite de
quand tend vers
est égale à . On a donc aussi
Concrètement, la quantité de déchets rejetée par l’entreprise va se rapprocher de
tonnes par an au bout d’un grand
nombre d’années.
e. 2018=2014+4 donc la quantité de déchets rejetée par l’entreprise en
correspond à .
Or
donc la quantité de déchets rejetée par l’entreprise en
est d’environ
tonnes.
3)
a. Algorithme 1 : il ne convient pas car le test du Tant que est «
» qui n’est jamais vérifié donc
la boucle ne s’effectue jamais.
Algorithme 2 : il ne convient pas car il affiche la valeur de qui correspond à un nombre d’années écoulées et non à
l’année à partir de laquelle l’entreprise respectera son engagement.
C’est donc l’algorithme 3 qui convient.
b.
et
donc, comme la suite
est décroissante, c’est à partir de l’année
soit de
que l’entreprise respectera son engagement.
Exercice 4 : (6 points) Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A :
1. Dans le graphe G :
a) Les sommets B et C ne sont pas reliés par une arête donc le graphe G n'est pas complet.
b)
2.
sommet
degré
Il existe une chaîne reliant deux sommets quelconques du graphe G, donc il est connexe.
A
3
B
2
C
4
D
3
E
4
F
2
G
4
26
La somme des degrés est égale à : 3+2+4+3+4+2+4+4=26 donc le nombre d'arêtes est égal à :
=13.
2
H
4
3. a) Il y a exactement 2 sommets de degré impair, A et D, donc le graphe G admet une chaîne eulérienne, c'est-àdire un chemin partant d'un de ces sommets de degré impair, passant une fois et une seule par chaque arête et
arrivant à l'autre sommet de degré impair. Le fournisseur peut donc organiser sa tournée en partant de l'entrepôt et
passer au moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute.
b) Exemple d’un tel trajet :
A-E-C-A-B-D-E-G-C-H-G-F-H-D.
c) D'après 3.a., ce graphe n'admet pas de cycle eulérien, (un graphe admet un cycle eulérien lorsqu'il n'a aucun
sommet de degré impair), donc le fournisseur ne peut organiser sa tournée et revenir à l'entrepôt en passant au
moins une fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaque tronçon d'autoroute.
4. a) Matrice d'adjacence
b) La matrice
donne le nombre de chemins de longueur 3 entre tous les sommets. Le nombre de chemins de
longueur 3 reliant E à H est le nombre situé à l'intersection de la 5ème ligne et de la 8ème colonne soit 4. Il y a donc
4 chemins de longueur 3 reliant E à H.
Ces chemins sont : E-A-C-H; E-C-G-H; E-G-F-H; E-G-C-H.
c)
On cherche l'élément situé à l'intersection de la 4ème ligne et de la 5ème colonne de
1
0
1
1
×
0
0
1
0
= (2 5 4 0 9 2 3 8)
= 2×1+5×0+4×1+0×1+9×0+2×0+3×1+8×0=9
Il y a 9 chemins de longueur 4 reliant D à E.





Partie B
A
B
õ
0
400(A)
C
õ
600(A)
600(A)
D
õ
õ
800(B)
800(B)
800(B)





E
õ
700(A)
700(A)
700(A)
F
õ
õ
õ
õ
õ
õ
1450(H)
1350(G)
G
õ
õ
õ
1150(C)
1150(C)
1150(C)
1150(C)
H
õ
õ
õ
1050(C)
1050(C)
1050(C)
Le trajet autoroutier le plus court pour aller de A à F est A-C-G-F de longueur 1 350 km.
Sommet sélectionné
A(0)
B(400)
C(600)
E(700)
D(800)
H(1050)
G(1150)
F(1350)