Énoncer - L`UTES

LP 111
Examen de première session
13/12/2011
Durée : deux heures
Les documents et l’utilisation de calculatrices sont interdits. Les téléphones doivent être éteints
et rangés dans les sacs.
De nombreuses questions sont indépendantes et des résultats intermédiaires sont donnés, vous
êtes donc encouragé(e) à lire l’ensemble du sujet avant de commencer à le traiter. De plus, il vous est
fortement conseillé d’écrire dans vos réponses une expression littérale avant de donner un résultat
chiffré.
Un gratte-ciel dans le vent
Les nouveaux matériaux de construction permettent aux gratte-ciel d’avoir une structure plus
légère, ils peuvent ainsi gagner en hauteur. Cependant, ils deviennent en contrepartie plus flexibles.
À titre d’exemple, le problème se pose pour la tour Taipei 101 de Taïwan. En effet, cette tour qui
culmine à 508 m et qui a été un temps la plus haute du monde, est construite dans une région
régulièrement soumise aux typhons et aux tremblements de terre. Or, un coup de vent de l’ordre de
100 km/h peut infliger au sommet de la tour un déplacement de plusieurs dizaines de centimètres.
Afin de ménager la structure du bâtiment, ainsi que le confort des occupants, ces mouvements
doivent être atténués.
a.
b.
câbles
sphère
amortisseurs
Figure 1 – a. Tour Taipei 101. b. Représentation schématique des derniers étages de la tour avec
le dispositif d’amortissement. Celui-ci est un pendule constitué d’une sphère d’acier suspendue par
des câbles. La sphère est aussi reliée à la structure du bâtiment par des amortisseurs.
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I
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Examen du 13/12/2011
Mouvements de la tour
Après une rafale de vent, la tour se met à osciller. Le déplacement horizontal x de son sommet
suit un mouvement périodique d’équation horaire x(t) = x0 cos ωt.
1. Quelle est la dimension de ω ? Quel est le lien entre ω et la période T du mouvement ?
2. Déterminer l’expression de la vitesse horizontale vx (t) du sommet de la tour, ainsi que de
l’accélération ax (t). En déduire l’accélération maximale.
3. L’amplitude des oscillations de la tour est x0 = 30 cm, leur période T est de 6,3 s. Sachant
qu’un occupant de la tour ressent une gêne pour des accélérations de l’ordre de g/100, où g est
l’accélération de pesanteur (g = 10 m · s−2 ), justifier la nécessité d’atténuer ces oscillations.
II
Dispositif de réduction des oscillations
La figure 1.b présente le dispositif destiné à réduire les oscillations de la tour. Celui-ci est
constitué d’une sphère d’acier, dont la masse m vaut 600 tonnes, suspendue par des câbles de
longueur l = 10 m. L’ensemble peut être traité comme un pendule pesant simple, repéré par son
angle θ par rapport à un axe vertical (figure 2, feuille jointe).
Indication : Dans tout ce problème, l’angle θ est petit. On pourra utiliser les approximations
suivantes.
sin θ ≈ θ
et
cos θ ≈ 1 −
θ2
2
Attention, dans ces relations θ est exprimé en radian.
Oscillations libres
Dans cette partie, les frottements ne sont pas pris en compte.
1. Donner l’ensemble des forces qui s’exercent sur la sphère. Sur la figure 2, représenter schématiquement ces forces et #‰
a le vecteur accélération de la sphère.
2. Justifier que l’énergie mécanique Em du pendule pesant est conservée au cours de son mouvement.
3. Donner l’énergie potentielle Ep du pendule dans le champ de pesanteur en fonction de l’altitude
z. On prendra Ep = 0 à z = 0 (voir figure 2).
4. En déduire l’expression de Ep (θ) en fonction de l’angle θ.
5. Montrer que si θ est petit, l’énergie potentielle s’écrit sous la forme
Ep (θ) = Aθ2 ,
où A est une constante à déterminer et dont on vérifiera que la valeur est 3 · 107 J · rad−2 .
Jusqu’à la fin de la partie II, on utilisera cette expression de l’énergie potentielle.
Celle-ci est représentée sur la figure 3, feuille jointe.
À la suite d’une bourrasque, au bout d’un certain temps (après un régime transitoire qui ne
sera pas étudié dans ce problème), le dispositif se trouve dans l’état suivant : la tour est immobile
(et le restera), mais la sphère est éloignée de sa position d’équilibre d’un déplacement horizontal
xi = 30 cm, l’angle θ correspondant ayant une valeur θi . À cet instant, t = 0, la vitesse de la sphère
est nulle.
6. Vérifier que θi = 3 · 10−2 rad.
7. Donner l’expression de l’énergie mécanique de la sphère dans le champ de pesanteur à t = 0.
Faire l’application numérique.
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8. Décrire le mouvement de la sphère. En particulier, préciser à quelles positions sa vitesse est
nulle.
9. Quelle est l’énergie cinétique Ec (θ = 0) de la sphère quand elle passe à la position θ = 0 ? En
déduire la vitesse correspondante v(θ = 0) et faire l’application numérique.
Oscillations amorties
Des amortisseurs lient la sphère à la structure de la tour. Ils introduisent une force de frot# ‰
tement de type visqueux proportionnelle à la vitesse #‰
v de la sphère, Fvisc = −α #‰
v , qui permet
l’amortissement des oscillations de la sphère.
# ‰
10. Représenter schématiquement Fvisc sur la figure 2 en supposant que θ est en train de croître.
11. Donner dans la base (u#‰, u#‰) l’expression de la vitesse #‰
v de la sphère et de son accélération #‰
a
r
θ
dθ
d2 θ
en fonction des quantités l,
et 2 . Dans cette même base, donner les expressions du poids
dt
dt
et de la force de frottement.
12. En projetant le principe fondamental de la dynamique sur l’axe porté par u#‰θ , montrer que θ
obéit à une équation différentielle de la même forme que celle d’un oscillateur harmonique amorti
(on ne cherchera pas à résoudre cette équation). On se place toujours dans l’approximation où
θ est petit.
13. À t = 0, la sphère est en θ = θi = 3 · 10−2 rad, sans vitesse initiale. Après un aller-retour,
# ‰
la sphère ne rebrousse chemin qu’en θ = θi /2. Quel a été le travail WAR (Fvisc ) de la force de
frottement sur cet aller-retour ?
14. Au bout d’un temps suffisamment long, la sphère s’arrête à sa position d’équilibre. Quel aura
# ‰
alors été le travail total Wtotal (Fvisc ) de la force de frottement ?
15. Représenter qualitativement sur la figure 3 l’évolution de Em (θ) sur l’ensemble du mouvement
de la sphère.
Pour résumer, le fonctionnement du dispositif est le suivant : les oscillations de la tour mettent
en mouvement le pendule, l’énergie mécanique de la tour est ainsi transmise au pendule. Cette
énergie est au final dissipée par les frottements fluides dus aux amortisseurs.
III
Dispositif d’amortissement liquide
Pour d’autres tours, les concepteurs ont choisi d’utiliser un dispositif d’amortissement différent.
Ce dispositif est constitué de deux bassins identiques remplis d’eau, placés au dernier étage du
bâtiment. Ils communiquent par une canalisation contrôlée par une vanne (figure 4). On note S la
section horizontale des bassins et σ la section verticale de la canalisation, on supposera que σ S.
La tour au repos, les niveaux des deux bassins sont à la même cote z = h. À la suite d’un mouvement
de la tour, de l’eau passe d’un bassin à l’autre : un bassin voit son niveau s’élever d’une hauteur
∆h, et l’autre descendre de la même hauteur.
Pour les applications numériques, on prendra les valeurs suivantes : S = 20 m2 , σ = 0,5 m2 ,
h = 1 m, ∆h = 0,2 m. On notera ρ = 1000 kg · m−3 la masse volumique de l’eau et on prendra la
pression atmosphérique égale à Patm = 1,00 · 105 Pa.
1. La canalisation entre les bassins est fermée et le liquide est statique dans la configuration
présentée sur la figure 4. Calculer les pressions aux points A, B et C.
La vanne est maintenant ouverte. On cherchera à déterminer les vitesses dans le fluide juste
après l’ouverture de la vanne, l’eau étant encore dans la configuration de la figure 4.
2. En considérant l’eau comme un fluide incompressible, écrire la relation qui lie vA , la vitesse du
liquide au point A, vC , la vitesse en C et les sections S et σ. Comparer vA et vC . En déduire
une approximation pour la suite du problème.
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Examen du 13/12/2011
z
A
Δh
h
0
Δh
B
C
vanne
Figure 4 – Dispositif d’amortissement liquide. Deux bassins communiquent par une canalisation.
Ceux-ci étant ouverts, la surface du liquide est donc en contact avec l’atmosphère.
3. On admet que la pression au point C reste celle de la question 1, et que le théorème de Bernoulli
s’applique le long de la ligne de courant qui va du point A au point C. Énoncer le théorème de
Bernoulli et en déduire la vitesse du liquide dans la canalisation.
4. Quel est alors le débit volumique Dv dans la canalisation ? Faire l’application numérique.
Dans ce dispositif, ce sont les pertes d’énergie dans l’écoulement de l’eau, qui n’est en réalité
pas un fluide parfait, qui permettent la dissipation de l’énergie mécanique de la tour.
Examen du 13/12/2011, feuille jointe à rendre avec la copie
Section :
Numéro d’anonymat :
z
uθ
l
g
ur
θ
m
O
x
Figure 2 – Représentation simplifiée du dispositif sous la forme d’un pendule pesant simple. Quand
θ = 0, le centre de masse de la sphère est à l’origine du repère (O, x, z).
Ep
Aθ 2
θi
θ
Figure 3 – Énergie potentielle de la sphère dans le champ de pesanteur en fonction de l’angle θ.