Cahier de textes Spécialité Ts2-Ts5

Terminales S2-S5
2008-2009
Cahier de textes Spécialité Mathématiques
Livre: Pixel de Bordas
01 avril 2009
15:50:35
Mardi 9 septembre 2008 (2h):
Chapitre 1 du livre: Divisibilité et congruences dans
1. Divisibilité dans
ℤ
ℕ
1.1 Définition
1.2 Ensembles des diviseurs positifs d'un entier naturel.
1.3 Propriétés, exemples.
Exercices
A faire Numéros 3-9-10-14-15
Mardi 16 septembre 2008 (2h):
Correction des exercices
2. Division euclidienne dans ℕ
2.1 Introduction
2.2 ℕ est archimédien
2.3 Dans ℕ toute partie non vide admet un plus petit élément
2.4 Théorème et définition
Démonstration de l’existence du couple (q,r)
Démonstration Unicité du couple (q,r)
2.5 Extension à ℤ
Exercices à faire: 13-38-39-42-45
Mardi 23 septembre 2008 (2h):
Correction des exercices
Divisibilité par 3 et 9: Démonstration
Divisibilité par 4: Démonstration
3. Congruences dans ℤ
3.1 Exemple d'introduction
3.2 Théorème et définition
3.3 Compatibilité avec les opérations
3.4 Exercices
Reste de la division de 2341 par 7.
Reste de la division de 165335143137 par 11. ( à finir)
A faire: 60-62-63
Mardi 30 septembre 2008 (2h):
Correction des exercices
Lycée Antonin Artaud; http://mathartaud.free.fr
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4. Nombres premiers
4.1 Définition
4.2 Recherche des nombres premiers:
4.2.1 Si n est plus petit que 100: Crible d’Eratosthène
4.2.2 Si n est plus grand que 100
Théorème: Tout entier naturel supérieur ou égal à deux admet au moins un diviseur premier.
Conséquence 1: Avec n2 et n non premier, on a, en rangeant les diviseurs de n par
ordre croissant, D n={1; d ; ... ; n} et d est un nombre premier.
Conséquence 2:Tout entier naturel n, avec n2 , NON PREMIER, admet au moins un diviseur
premier d tel que d2n .
Application: 491 et 493 sont-ils premiers?
Exercices
A faire: 24-76-88
Mardi 7 octobre 2008 (2h):
4.3 L'ensemble des nombres premiers est infini
Démonstration
4.4 Décomposition en produit de facteurs premiers
4.4.1 Démonstration
4.4.2 Technique
4.4.3 Décomposition et divisibilité.
4.4.4 Nombre et somme des diviseurs
4.5 Entiers premiers entre eux.
4.5.1 Définition.
4.5.2 Propriété
Exercices
DM 1 pour le lundi 13 octobre:
Chapitre
Numéros
1
67-73-80-85-98-120
Mardi 14 octobre 2008 (2h):
Correction du DM 1
Exercices de révision
Mardi 21 octobre 2008 (2h):
DS 1
2 heures
Mardi 18 novembre 2008 (2h):
Correction du DS ( 1 heure)
Chapitre 2 du livre
1 PGCD
1.1. Définition.
1.2. Recherche à la main
1.3. Lemme d’Euclide ( Démontré)
1.4. Algorithme d’Euclide
Mardi 25 novembre 2008 (2h):
1.5. Propriétés du PGCD:
1.5.1 PGCD(ka,kb)=k *PGCD(a,b)
Lycée Antonin Artaud; http://mathartaud.free.fr
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1.5.2 Dire que PGCD(a,b)= équivaut à dire qu'il existe deux entiers naturels a' et b' tels que
PGCD(a',b')=1 et a=a' et b=b'
1.5.3 L'ensemble des diviseurs du Pgcd est l'ensemble des diviseurs communs à a et à b.
1.5.4 Le pgcd divise toute combinaison linéaire de a et de b.
Exercices
A finir: 8 page 57
Mardi 2 décembre 2008 (2h):
2 : Théorème de Bézout et de Gauss; équation diophantiennes: ax+by=c
2.1. Approche du problème
Comment faire cuire un oeuf dur ( 3 mn) en ne disposant que de deux sabliers: un de durée 5mn et
un de durée 11 mn?
2.2. Identité de Bézout
2.2.1 Exemple
Appliquer l'algorithme d'Euclide de recherche du PGCD à : 2378 et 1769
En déduire deux entiers relatifs u et v tels que: 2378 u1769 v=29 .
2.2.2 Démonstration de l'identité de Bézout
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, et d =PGCDa ,b
alors il existe deux entiers relatifs u∈ℤ et v ∈ℤ tels que: aubv=d .
2.3. Conséquence: a ℤ+b ℤ=d ℤ; démonstration.
Application: L'équation 12u+8v=35 n'a pas de solutions entières; interprétation géométrique: la
droite d'équation 12x+8y=35 ne passe par aucun point à coordonnées entières.
2.4. Théorème de Bézout:
Dire que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux
équivaut à : il existe deux entiers relatifs u et v tels que aubv=1 .
Démonstration
2.5. Théorème de Gauss
Démonstration
Mardi 9 décembre 2008 (2h):
Lycée bloqué: 2 élèves
Exemple de raisonnements par équivalence et par analyse-synthèse.
Mardi 16 décembre 2008 (2h):
3: Équations Diophantiennes: ax by =c
Exercices
Exercice corrigé de la page 53
DM2: pour le 7 janvier 2009, exercices 43-47-65-79 du chapitre 2
Mardi 06 janvier 2009 (2h):
3: PPCM
1: Existence et définition
2: Recherche PPCM et du PGCD avec la décomposition.
3: Propriétés
4: Recherche du PPCM ( et du Pgcd!)
Méthode à partir de la décomposition en produits de facteurs premiers
5: Lien PGCD-PPCM:
PPCM(a,b)*PGCD(a,b)=a*b.
6: Petit Théorème de Fermat: Énoncé
Aide DM 2
Lundi 19 janvier 2009 ( 3h):
Le demi-groupe des spécialistes SVT étant absent ces lundi , mardi et mercredi, il ne reste en
classe que les spécialistes math d'où l'emploi du temps suivant:
Révision de DS de spécialité de demain: étude de 2 sujets complets:
Polynésie Juin 2006
Lycée Antonin Artaud; http://mathartaud.free.fr
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Nouvelle-Calédonie Novembre 2004
Mardi 20 janvier 2009:
DS 2
2 heures
Antilles-Guyane juin 2008
Nouvelle-Calédonie Mars 2008
Mercredi 21 janvier 2009 (1h):
En classe: Asie Juin 2008
Mardi 20 janvier 2009 (2h):
TP Info: découverte de Maple et des surfaces
Mardi 27 janvier 2009 (2h):
Révision du bac blanc:
Semaine du 2 au 7 février: Bac Blanc
Mardi 10 février 2009 (2h):
Chapitre 4 du livre:
Sections planes
1. Cylindre
1.1 Définition
1.2 Équation cartésienne
1.3 Coupe par des plans perpendiculaires aux axes
2. Cône
2.1 Définition
2.2 Équation cartésienne
2.3 Coupe par un plan perpendiculaire à (Oz)
2.4 Étude d'un exemple de coupe par un plan perpendiculaire à (Oy):
Intersection du cône d'équation : z 2 =x 2 y 2 par le plan d'équation y =2 .
Mardi 17 février 2009 (2h):
3. Surface d'équation z =x 2 y 2
4. Surface d'équation z =xy
Exercices
Mardi 10 mars 2009 (2h):
Aide DM sur les surfaces
Mardi 17 mars 2009 (2h):
Exercices récents d'annales du bac sur les surfaces.
Mardi 24 mars 2009 (2h):
SIMILITUDES
Chapitre 3 du livre
1. Transformations
2. Définition des similitudes
3. Caractérisation des similitudes
Rapport k 0 d'une similitude
Exemples
4. Composition de 2 similitudes
Lycée Antonin Artaud; http://mathartaud.free.fr
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Application réciproque
5. Conservation des angles géométriques
Classification: directes et indirectes
6. Étude des similitudes directes
6.1 Angle d'une similitude directe
6.2 Écriture sous la forme: z ' =azb avec a=ke i  où k est le rapport et  l'angle de la similitude
6.3 Recherche des points fixes ( ou invariants)
Si a=1 et b=0: tous les points du plan sont invariants et s est l'application identique.
Si a=1 et b≠0 , il n'y a pas de points invariants et s est une translation de vecteur 
u avec
z u =b .
b
Si a≠1 , alors s n'a qu'un seul point fixe  dont l'affixe  vérifie: =
et dans ce cas
1– a
on peut alors écrire :z ' =a  z – =ke i   z –  où k est le rapport et  l'angle de la
similitude.
Mardi 31 mars 2009 (2h):
6.4
6.5
6.6
Déplacements
Forme réduite: s=hor=roh
Théorème:
Si A, B A' et B' sont 4 points distincts du plan, alors il existe une seule similitude directe s telle
que s(A)=A' et s(B)=B'
6.7
Triangles semblables
6.7.1
Définition
6.7.2
Propriété
Exercices:
1 page 80
2 page 81
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