PLAN DE COURS - MAT 5150 GROUPE 10 Théorie des ensembles

U NIVERSITE DU Q UEBEC A M O N T R E A L
Département de mathématiques et informatique
Hiver 1994
Luc BELAIR
P LAN DE COURS - MAT 5150
GROUPE 10
Théorie des ensembles
Mardi et jeudi, de 13h30 à 15h, X-6300.
LUC BELAIR
BUREAU: C-7750, tél.: 987-8234.
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Description du cours selon l'annuaire
Axiomes de Zermelo-Fraenkel. Ensembles finis et infinis. Nombres cardinaux transfinis: théorème de Cantor,
théorème d'équivalence, ordre, addition, multiplication, exponentiation, hypothèse du continu, problème de la
comparabilité. Ensembles totalement ordonnés et types d'ordre: addition et multiplication des types d'ordre.
Ensembles bien ordonnés; induction transfinie; comparabilité, addition et multiplication des ensembles bien
ordonnés; nombres ordinaux. Arithmétique des ordinaux: ordre, comparabilité, lois de calcul. Nombres ordinaux
initiaux. Théorème de Zermelo et comparabilité des cardinaux. Equivalents classiques de l'axiome du choix.
Préalables: MAT2000 ou MAT2010 ou MAT2050 ou MAT 2055.
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Contenu du cours (voir également l'échéancier ci-dessous)
Qu'allons-nous faire durant ce cours?
A l'aide de l'axiomatique nous allons chasser les ensembles paradoxaux, ranger les chaussettes des
millionnaires et dompter l'indénombrable.
La théorie des ensembles a vu le jour dans le dernier quart du 19e siècle.(voir page suivante)
D'abord apparue pour élucider des questions d'analyse, elle participe de près à l'élucidation de la
nature continue de la droite réelle et aux problèmes des fondements des mathématiques. Après une
naissance controversée la création de Cantor va remporter l'adhésion et devenir le langage même des
mathématiques au 20e siècle, ainsi qu'une discipline mathématique autonome.
Le cours sera axé sur les éléments de cette discipline qui vont au-delà de la théorie dite "naïve"
TABLE DES MATIÈRES
I. Axiomatique . Origines et paradoxes, axiomes de Zermelo-Fraenkel, relations et fonctions.
II. Ordre, bon ordre et l'arithmétique. Type d'ordre, ensembles bien ordonnés, nombres
ordinaux, axiomes de Peano, axiomes de Peano.
III. Récurrence et axiome du choix Induction, théorèmes de récurrence; axiome du choix,
théorème de Zermelo et lemme de Zorn.
IV. Cardinalité . Equipotence, théorème de Cantor-Bernstein, classes cardinales, opérations sur
les classes cardinales, théorème de Cantor, ensembles finis et infinis, cardinalité
dénombrable, cardinalité du continu, nombres cardinaux.
V. Indépendance. Formulation, axiome de fondation, consistance relative de la négation de
l'axiome de l'infini, consistance relative de l'axiome du choix .
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Objectifs généraux.
Que vise ce cours?
Vous faire maîtriser les concepts et techniques élémentaires de la théorie axiomatique des
ensembles. Vous faire développer l'expression claire, correcte et précise de vos idées
mathématiques.
Types d'activités d'enseignement
-
A chaque séance il y aura un exposé avec questions et discussion.
Des exercices seront donnés régulièrement durant le cours.
Une période hebdomadaire sera réservée à mon bureau pour répondre à vos questions.
ÉVALUATION
Voici les travaux que vous aurez à faire.
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(A) DESCRIPTION SOMMAIRE
Échéance
Pondération
- 4 devoirs
4e,6e,11e,13e semaine
20 %
- Examen I
9e semaine
35 %
- Examen II
15e semaine
45 %
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(B) DESCRIPTION DETAILLEE
Critères d'évaluation des devoirs
-
Exactitude du raisonnement amenant à la solution
exactitude des calculs
jusqu'à 20% pourra être attribué à la rédaction: clarté, bon usage du langage mathématique,
qualité du français.
Les examens
Les examens sont de type traditionnel. Aucune documentation ni calculatrice n'est permise.
Examen I. Il porte sur la matière vue depuis le début jusqu'à une semaine avant l'examen. Durée:
2 heures.
Examen II. Il porte sur la matière vue depuis le début, jusqu'à une semaine avant l'examen, mais
surtout celle vue depuis l'examen I. Durée: 3 heures.
Critères d'évaluation des examens
-
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Exactitude du raisonnement amenant à la solution
exactitude des calculs.
Plan de cours: Mat 5150 groupe 10
L. Bélair
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ECHEANCIER
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Semaine 1. Origines et paradoxes. Enoncé des axiomes de Zermelo et Zermelo-Fraenkel.
Semaine 2. Couples, relations et fonctions.
Semaine 3. Fonctions (fin). Ensembles ordonnés, type d'ordre, bon ordre, segment initial.
Semaine 4. Ensemble transitif, ordinal, ordinal successeur, ordinal limite, ordre dans les ordinaux,
le plus petit ordinal infini.
Semaine 5. Somme et produit ordinal et leurs propriétés.
Semaine 6. Construction des entiers et axiomes de Peano.
Semaine 7. Induction et construction par récurrence dans les ordinaux. L'axiome du choix, le
lemme de Zorn et le théorème de Zermelo.
Semaine 8. /Semaine de lecture/.
Semaine 9. Equipotence, classes cardinales, théorème de Cantor-Bernstein./ EXAMEN I /
Semaine 10. Somme, produit et exponentielle de classes cardinales et leurs propriétés.
Semaine 11. Théorème de Cantor. Ensembles finis, ensembles dénombrables et cardinalité du
continu.
Semaine 12. Cardinaux et leurs propriétés, cardinaux successeurs et limites, fonction aleph ,
hypothèse du continu et hypothèse généralisée du continu.
Semaine 13. Axiome de fondation et filtration de l'univers.
Semaine 14. Indépendance de l'axiome de l'infini. Consistance relative de l'axiome du choix
(début).
Semaine 15. Consistance relative de l'axiome du choix (fin) / EXAMEN II /.
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RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
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MANUEL
R.Cori et D.Lascar, Logique mathématique, tome II, chapitre 7 , Masson 1993. (QA9C67)
Autres
P.R.Halmos, Introduction à la théorie des ensembles, Gauthiers-Villars, 1970. (QA248H26)
K.Kuratowski, Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie, L'Enseignement
Mathématique, 1966. (QA248K7694)
K.Hrbacek et T.J.Jech, Introduction to Set Theory, Marcel-Dekker, 1984. (QA248H74)
J.-L.Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, Presses Universitaires de France, 1969.
(QA248K7)
Lectures complémentaires
R.Blanché, L'axiomatique, Presses Universitaires de France, 1967. (BC71B58)
E.Borel, Eléments de la théorie des ensembles, Albin-Michel, 1949. (QA248B56)
E.Borel, Les paradoxes de l'infini, Gallimard, 1946. (QA9B695)
J.Breuer, Initiation à la théorie des ensembles, Dunod, 1964. (QA248B8314)
J.Cavaillès, Philosophie mathématique, Hermann, 1962. (QA248C29)
J.W.Dauben, Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton Univ.
Press, 1979.
R.Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, Dover, [1963]. (QA248D3)
E.Kamke, Théorie des ensembles, Dunod, 1964. (QA248K34)
B.Russell, Introduction à la philosophie mathématique, Payot, [1991]. (QA9R814)
J.Van Heijenoort, éd., From Frege to Gödel: a Source Book in Mathematical Logic (1879-1931),
Harvard University Press, 1967. (QA9V3)
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RENSEIGNEMENTS
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Le chapitre 7 du livre de Cori-Lascar sera disponible pour une somme modique.
Les livres de Cori et Lascar, Halmos, Hrbacek et Jech, et Krivine ont été mis en réserve à la
Bibliothèque des sciences (Pavillon Carré-Phillips, 1er étage) et peuvent être consultés sur place.Les
autres livres sont disponibles à la Bibliothèque des sciences (QA...,les expressions entre
parenthèses indiquent la cote des livres) ou à la Bibliothèque centrale (BC..).
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