0. La liste des axiomes

COURS DE THÉORIE DES ENSEMBLES
LICENCE DE MATHÉMATIQUES - 2015
UNIVERSITÉ PARIS-DIDEROT
LA THÉORIE DES ENSEMBLES DE ZERMELO.
LA LISTE DES AXIOMES
I.
EXT : L’AXIOME D’EXTENSIONNALITÉ :
Tous deux ensembles possédant les mêmes éléments sont égaux.
∀A ∀B [ ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈B) ⇒ A = B ] .
II.
PCR : LE PRINCIPE DE COMPRÉHENSION RESTREINT.
Pour chaque formule ϕ [x, p1 ,! pn ] on a l’axiome suivant :
COMPϕ : Pour tout (ensemble) A, et pour tous objets p1 ,!, pn , il existe (un ensemble) E tel
que : ∀x ( x ∈E ⇔ x ∈ A ∧ ϕ [x, p1 ,! pn ] ) .
∀p1 ! pn ∀A ∃E ∀x ( x ∈E ⇔ x ∈ A ∧ ϕ [x, p1 ,!, pn ] ) .
L’unique ensemble vide sera noté ∅ .
III. PAIRE : L’AXIOME DE LA PAIRE.
Pour tous objets a, b il existe (un ensemble) p dont les éléments sont précisément a et b.
∀a ∀b ∃p ∀x ( x ∈ p ⇔ (x = a) ∨ (x = b) ) .
La paire de a et b sera notée {a, b} ; le singleton {a, a} sera noté {a} .
IV.
RÉUNION : L’AXIOME DE LA RÉUNION.
Pour tout (ensemble) A, il existe (un ensemble) V dont les éléments sont les éléments des
éléments de A.
∀A ∃V ∀x ( x ∈V ⇔ ∃Y ( x ∈Y ∧ Y ∈ A) ) .
Cet axiome justifiera la réunion généralisée : V = ∪ A . Si A = {b, c} , ∪ A sera noté b ∪ c .
V.
PARTIES : L’AXIOME DE L’ENSEMBLE DES PARTIES.
Pour tout (ensemble) A, il existe (un ensemble) P dont les éléments sont les parties de A.
∀A ∃P ∀X ( X ∈P ⇔ X ⊆ A ) .
Ici, X ⊆ A abrège : ∀x ( x ∈ X ⇒ x ∈ A ) .
VI.
INF : L’AXIOME DE L’INFINI.
∃Ω ( ∅ ∈Ω ∧ ∀x ( x ∈Ω ⇒ x ∪{x} ∈Ω ) .
[ La forme utilisée par Zermelo : ∃Ω ( ∅ ∈Ω ∧ ∀x ( x ∈Ω ⇒ {x} ∈Ω ) ]
AC. L’AXIOME DU CHOIX
Pour tous (ensembles) A, B et toute relation R ⊆ A × B , si (∀x ∈ A)(∃y ∈B)( x R y ) , il existe
une fonction γ : A → B telle que (∀x ∈ A)( x R γ (x) ) .