DS 2 – 5 - Math2Cool

Maths – 1 ES
DS 2 – 5 NOVEMBRE 2015
Durée : 2h
Avec Calculatrice
NOM :
Prénom :
La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l’argumentation.
Aucun prêt n’est autorisé entre les élèves.
Bilan
Ex 1
Ex 2
Ex 3
Ex 4
Ex 5
Ex 6
/ 30
/6
/2
/5
/5
/3
/9
Exercice 1 - 6 points Le tableau suivant donne les taux d'évolutions successifs du cours du pétrole brut d'un mois sur l'autre.
Mois
Mai 2008
Juin 2008
Juillet 2008
Août 2008
Taux en %
12,5
7,6
0,6
−15,1
CM correspondant
1. Calculer les coefficients multiplicateurs correspondants à chacun des taux d'évolutions ci-dessus et
compléter le tableau. (Détailler un seul calcul)
2. En avril 2008, le cours du brut était de 109,5 $ par baril. Quel était, arrondi au dixième près, le cours
du brut en mai 2008 ?
3. Quel est le pourcentage d'évolution global entre Avril 2008 et Août 2008 ? (arrondir le taux au dixième)
4. Quel devrait être le pourcentage d'évolution du cours du pétrole en septembre 2008 pour que le baril
retrouve alors son prix d'avril 2008 ?
Exercice 2 - 2 points De 2005 à 2006, le montant de la consommation de soins hospitaliers en France a augmenté de 4,3%.
En 2006, le montant de la consommation de soins hospitaliers était de 69,9 milliards d'euros.
Quel était au milliard d'euros près, le montant de la consommation de soins hospitaliers en 2005 ?
Exercice 3 - 5 points 1. Le seuil de pauvreté, est celui qui correspond à un revenu inférieur à 60 % du niveau de vie médian.
En 2006, le niveau de vie médian d'un individu, était de 17 597 € par an.
Quel est le montant mensuel arrondi à l'euro près du seuil de pauvreté ?
2. Le tableau suivant donne le taux de personnes vivant sous le seuil de pauvreté selon le type de
ménage en France en 2006.
Source INSEE.
Nombre total
Types de ménage auxquels
Taux de pauvreté
d'individus
appartiennent les individus
(en %)
(en milliers)
Individus appartenant à un ménage dont la
48 747
13,85
personne de référence a moins de 65 ans.
Individus appartenant à un ménage dont la
10 724
10,3
personne de référence a 65 ans et plus.
Calculer le taux de pauvreté pour l'ensemble des individus. (Arrondir le taux au dixième).
3. En 1996, le taux de pauvreté pour l'ensemble des individus était de 13,5%. Peut-on conclure que le
nombre de pauvres a diminué en dix ans ?
Maths – 1 ES
Exercice 4 - 5 points Soit 𝑓 la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
1. Lire graphiquement l’ensemble de définition de la fonction 𝑓.
2. Lire graphiquement l'image de 3 par la fonction 𝑓.
3. Lire graphiquement le ou les antécédents de 2 par la fonction 𝑓.
4. Résoudre graphiquement l’équation 𝑓(𝑥) = 1.
5. Résoudre graphiquement l’inéquation 𝑓(𝑥) ⩽ 0.
6. Quels sont les extremums de la fonction 𝑓.
7. Donner le tableau de variation de la fonction 𝑓.
Exercice 5 - 3 points L’offre et la demande désignent respectivement la quantité de biens et de services que les acteurs sur
un marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.
Une entreprise veut, avant commercialisation, étudier et déterminer le prix en euros d’un nouveau
produit.
On note 𝑥 le prix de vente unitaire de ce produit, 𝑥 variant 6 et 20 euros.
La demande pour ce produit est donnée en fonction du prix de vente par la fonction 𝑓 définie sur [6; 20]
par :
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 30𝑥 + 17 .
L’offre est donnée en fonction du prix de vente par la foncion 𝑔 sur [6; 20] par :
𝑔(𝑥) = 8𝑥 + 102.
Déterminer le prix d’équilibre, c’est-à-dire le prix pour lequel l’offre est égale à la demande.
Maths – 1 ES
Exercice 6 - 9 points Une entreprise fabrique un produit «Alpha». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000
articles.
Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de 𝑥 milliers d'articles est modélisé par la fonction
C définie sur ]0;15] par :
𝐶(𝑥) = 0,5𝑥² + 0,6𝑥 + 8,16
La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée en annexe à rendre avec la copie.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.
1. Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et
vendre 12 000 articles ?
2. On désigne par 𝑅(𝑥) le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de
𝑥 milliers d'articles du produit «Alpha». On a donc 𝑅(𝑥) = 8𝑥.
a. Tracer dans le repère donné en annexe, la courbe représentative D de la fonction recette.
b. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :
− l’intervalle dans lequel doit se situer la production 𝑥 pour que l'entreprise réalise un
bénéfice positif ;
− la production 𝑥0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
3. On désigne par 𝐵(𝑥) le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et
vend x milliers d'articles.
a. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend 𝑥 milliers
d'articles, est donné par 𝐵(𝑥) = −0,5𝑥² + 7,4𝑥 − 8,16, avec x∈]0;15].
b. Déterminer par calcul, la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice nul.
4. Étudier les variations de la fonction B sur ]0;15]. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et
vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice
maximal ?
Maths – 1 ES
ANNEXE DS 2 – 5 NOVEMBRE 2015
NOM :
Prénom :
Bilan
/ 30
Ex 1
Ex 2
/6
Ex 3
/2
Ex 4
/5
Ex 5
/5
Ex 6
/3
/9
Acquis + ou - Non acquis Non fait
Calculer / utiliser / déterminer un pourcentage.
Déterminer un taux de variation en pourcentage
Déterminer un coefficient multiplicateur
Déterminer un coefficient multiplicateur réciproque
Déterminer un coefficient multiplicateur pour plusieurs
évolutions successives
Résoudre une équation du second degré
Déterminer l’image ou le(s) antécédents d’un nombre par
tableau, lecture graphique ou calcul
Dresser un tableau de variations d'une fonction par lecture
graphique
Présenter à l'écrit des résultats et des réponses de manière
rigoureuse
Exercice 6
Maths – 1 ES
DS 2 – 5 NOVEMBRE 2015
Durée : 2h
Avec Calculatrice
NOM :
Prénom :
La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l’argumentation.
Aucun prêt n’est autorisé entre les élèves.
Bilan
Ex 1
Ex 2
Ex 3
Ex 4
Ex 5
Ex 6
/ 30
/6
/2
/5
/5
/3
/9
Exercice 1 - 6 points Le tableau suivant donne les taux d'évolutions successifs du cours du pétrole brut d'un mois sur
l'autre.
Mois
Mai 2008
Juin 2008
Juillet 2008
Août 2008
Taux en %
12,5
7,6
0,6
−15,1
CM correspondant
1. Calculer les coefficients multiplicateurs correspondants à chacun des taux d'évolutions cidessus et compléter le tableau.
Déterminons les coefficients multiplicateurs associés aux différents taux d'évolution :
Mois
Mai 2008
Juin 2008
Juillet 2008
Août 2008
Taux en %
12,5
7,6
0,6
−15,1
7,6
0,6
12,5
15,1
CM correspondant
= 1,076 1 +
= 1,006 1 −
1+
= 1,125 1 +
= 0,849
100
100
100
100
2. En avril 2008, le cours du brut était de 109,5 $ par baril. Quel était, arrondi au dixième près, le
cours du brut en mai 2008 ?
En mai 2008, le cours du brut a augmenté de 12,5% par rapport au cours précédent
D'où un cours de : 109,5 × 1,125 = 123,1875
En mai 2008, le cours du brut était de 123,2 $ par baril.
3. Quel est le pourcentage d'évolution global entre Avril 2008 et Août 2008 ? (arrondir le taux au
dixième)
Le coefficient multiplicateur associé au taux global d'évolution est égal au produit des coefficients
multiplicateurs successifs.
Soit : 1,125 × 1,076 × 1,006 × 0,849 ≈ 1,034
Ce coefficient multiplicateur correspond à un taux d'évolution global de (1,034 − 1) × 100 = 3,4
Entre Avril 2008 et Août 2008, le cours du pétrole a augmenté de 3,4%.
4. Quel devrait être le pourcentage d'évolution du cours du pétrole en septembre 2008 pour que
le baril retrouve alors son prix d'avril 2008 ?
Soit a le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution du cours du pétrole pour le mois de
Septembre.
Nous avons :
109,5 × (1,034 × 𝑎) = 109,5 ⇔⇔ 1,034 × 𝑎 = 1𝑎 = 11,034 ≈ 0,967
Soit un taux d'évolution de
(0,967 − 1) × 100 = −3,3
Pour retrouver un cours égal à celui d'Avril 2008, le prix du baril doit baisser de 3,3% en
Septembre.
Maths – 1 ES
Exercice 2 - 2 points De 2005 à 2006, le montant de la consommation de soins hospitaliers en France a augmenté de
4,3%.
En 2006, le montant de la consommation de soins hospitaliers était de 69,9 milliards d'euros.
Quel était au milliard d'euros près, le montant de la consommation de soins hospitaliers en 2005
?
+ 4,3 %
?
69,9
4,3
𝐶𝑀 = 1 +
= 1,043
100
4,3
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 4,3% est : 1 + 100 = 1,043
Soit 𝑥 le montant en milliards d'euros de la consommation de soins hospitaliers en 2005.
Nous avons :𝑥 × 1,043 = 69,9 ⇔ 𝑥 = 69,91,043 ≈ 67,02
Au milliard d'euros près, le montant de la consommation de soins hospitaliers en 2005 était de 67
milliards d'euros.
Exercice 3 - 5 points 1. Le seuil de pauvreté, est celui qui correspond à un revenu inférieur à 60 % du niveau de vie
médian. En 2006, le niveau de vie médian d'un individu, était de 17 597 € par an.
Quel est le montant mensuel arrondi à l'euro près du seuil de pauvreté ?
Le seuil de pauvreté correspond à un revenu inférieur à 60 % du niveau de vie médian d'où un
60
revenu annuel de : 17597 × 100 = 10558,2
10558,2
Soit un revenu mensuel de 12 = 879,85
Arrondi à l'euro près, le seuil de pauvreté en 2006 était de 880 € par mois.
2. Le tableau suivant donne le taux de personnes vivant sous le seuil de pauvreté selon le type
de ménage en France en 2006.
Source INSEE.
Nombre total
Types de ménage auxquels
Taux de pauvreté
d'individus
appartiennent les individus
(en %)
(en milliers)
Individus appartenant à un ménage dont la
48 747
13,85
personne de référence a moins de 65 ans.
Individus appartenant à un ménage dont la
10 724
10,3
personne de référence a 65 ans et plus.
Calculer le taux de pauvreté pour l'ensemble des individus. (Arrondir le taux au dixième).
13,85
10,3
Le nombre total de milliers d'individus pauvres est : 48747 × 100 + 10724 × 100 ≈ 7856,032
Exprimé en milliers, l'effectif total est : 48747 + 10724 = 59471
7856,032
Le taux de pauvreté par rapport à l'ensemble des individus est donc : 59471 × 100 ≈ 13,2
En 2006, le taux de pauvreté pour l'ensemble des individus était de 13,2%.
3. En 1996, le taux de pauvreté pour l'ensemble des individus était de 13,5%. Peut-on conclure
que le nombre de pauvres a diminué en dix ans ?
On ne connait pas l'effectif de la population en 1996, on peut donc pas comparer les deux taux.
Pour information, en 1996 le nombre d'individus pauvres au seuil de 60% était de 7628 milliers.
Le nombre d'individus pauvres a augmenté, alors que le taux a baissé.
Maths – 1 ES
Exercice 4 - 5 points Soit 𝒇 la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
1. Lire graphiquement l’ensemble de définition de la fonction 𝒇.
On a 𝐷𝑓 = [−4; 10]
2. Lire graphiquement l'image de 3 par la fonction 𝒇.
L'image de 3 par la fonction 𝑓 est égale à 3,5.
3. Lire graphiquement le ou les antécédents de 2 par la fonction 𝒇.
Les antécédents de 2 par la fonction 𝑓 sont -4 et 2,5
4. Résoudre graphiquement l’équation 𝒇(𝒙) = 𝟏.
On cherche les abscisses des points d’intersection de la courbe 𝐶𝑓 et de la droite d'équation 𝑦 = 1
Par lecture graphique, l'ensemble des solutions de l'équation 𝑓(𝑥) = 1 est {−2; 2,2}.
5. Résoudre graphiquement l’inéquation 𝒇(𝒙) ⩽ 𝟎.
On cherche l’abscisse des points de la courbe 𝐶𝑓 situé en dessous de l'axe des abscisses.
L'ensemble des solutions de l'inéquation 𝑓(𝑥) ⩽ 0 est l'intervalle [−1; 2].
6. Quels sont les extremums de la fonction 𝒇.
La fonction 𝑓 admet
un minimum en 1 qui vaut -3,5
un maximum en 5 qui vaut 4,5
7. Donner le tableau de variation de la fonction 𝒇.
Maths – 1 ES
Exercice 5 - 3 points L’offre et la demande désignent respectivement la quantité de biens et de services que les acteurs
sur un marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.
Une entreprise veut, avant commercialisation, étudier et déterminer le prix en euros d’un nouveau
produit.
On note 𝒙 le prix de vente unitaire de ce produit, 𝒙 variant 6 et 20 euros.
La demande pour ce produit est donnée en fonction du prix de vente par la fonction 𝒇 définie sur
[𝟔; 𝟐𝟎] par : 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 + 𝟏𝟕 .
L’offre est donnée en fonction du prix de vente par la foncion 𝒈 sur [𝟔; 𝟐𝟎] par : 𝒈(𝒙) = 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝟐.
Déterminer le prix d’équilibre, c’est-à-dire le prix pour lequel l’offre est égale à la demande.
On a 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 30𝑥 + 17
et
Le prix d’équilibre est atteint lorsque
𝑔(𝑥) = 8𝑥 + 102
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
pour 𝑥 ∈ [0; 6]
−𝑥 2 + 30𝑥 + 17 = 8𝑥 + 102
𝑥 2 − 22𝑥 + 85 = 0
Cherchons les solutions de l'équation 𝑥 2 − 22𝑥 + 85 = 0 avec 𝑎 = 1, 𝑏 = −22 et 𝑐 = 85.
Le discriminant du trinôme est 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = (−22)² − 4 × 1 × 85 = 144
Comme Δ>0 donc l'équation a deux solutions :
−𝑏 − √𝛥 −(−22) − √144 22 − 12 10
𝑥1 =
=
=
=
=5
2𝑎
2×1
2
2
−𝑏 + √𝛥 −(−22) + √144 22 + 12 34
𝑥2 =
=
=
=
= 17
2𝑎
2×1
2
2
Mais 5 ∉ [6; 20]
Donc à l’équilibre, le prix de vente de l’objet est de 17 €
Exercice 6 - 9 points Une entreprise fabrique un produit «Alpha». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000
articles.
Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de x milliers d'articles est modélisé par la fonction
C définie sur ]0;15] par : 𝐶(𝑥) = 0,5𝑥² + 0,6𝑥 + 8,16
La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée ci-dessous avec la copie.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.
1. Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou
fabriquer et vendre 12 000 articles ?
• Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 4 milliers d'articles :
Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 4 milliers d'articles est
𝐶(4) = 0,5 × 42 + 0,6 × 4 + 8,16 = 18,56
La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 4 milliers d'articles est
𝑅(4) = 8 × 4 = 32
Or
𝑅(4) − 𝐶(4) = 32 − 18,56 = 13,44
Si l'entreprise fabrique et vend 4 000 articles elle gagne 13 440 €.
• Calculons le montant du bénéfice que l'entreprise peut obtenir si elle vend 12 milliers d'articles :
Le coût total exprimé en milliers d'euros pour la fabrication de 12 milliers d'articles est
𝐶(12) = 0,5 × 122 + 0,6 × 12 + 8,16 = 87,36
La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de de 12 milliers d'articles est
𝑅(12) = 8 × 12 = 96
Or
𝑅(12) − 𝐶(12) = 96 − 87,36 = 8,64
Si l'entreprise fabrique et vend 12 000 articles elle gagne 8 640 €.
Il est plus avantageux pour l'entreprise de fabriquer et vendre 4 000 articles.
Maths – 1 ES
2. On désigne par 𝑹(𝒙) le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la
vente de 𝒙 milliers d'articles du produit «Alpha». On a donc 𝑹(𝒙) = 𝟖𝒙.
a. Tracer dans le repère donné en annexe, la courbe représentative D de la fonction recette.
La courbe représentative de la fonction recette est la droite D d'équation 𝑦 = 8𝑥 passant
par l'origine du repère et le point de coordonnées (15;120)
b. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :
− l’intervalle dans lequel doit se situer la production 𝒙 pour que l'entreprise réalise
un bénéfice positif ;
− la production 𝒙𝟎 pour laquelle le bénéfice est maximal.
• L'entreprise réalise un bénéfice positif quand les coûts de production sont inférieurs à la recette.
Graphiquement, les solutions de l'inéquation 𝑅(𝑥) ⩾ 𝐶(𝑥) sont les abscisses des points
pour lesquels la droite D est au-dessus de la courbe Γ.
Soit avec la précision permise par le dessin, sur l'intervalle [1,2;13,6]
L'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1 200 et 13 600
articles.
• Le bénéfice maximum est obtenu pour une production x0 de l'intervalle [1,2;13,6] telle que la
distance entre la droite D et la courbe Γ soit la plus grande possible.
Le bénéfice maximal semble être obtenu pour une production de 7 400 articles.
3. On désigne par 𝑩(𝒙) le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise
produit et vend x milliers d'articles.
a. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend
𝒙 milliers d'articles, est donné par 𝑩(𝒙) = −𝟎, 𝟓𝒙² + 𝟕, 𝟒𝒙 − 𝟖, 𝟏𝟔, avec x∈]0;15].
Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur
l'intervalle ]0;15] par 𝐵(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥).
Soit pour tout réel x de l'intervalle ]0;15],
𝐵(𝑥) = 8𝑥 − (0,5𝑥 2 + 0,6𝑥 + 8,16) = 8𝑥 − 0,5𝑥² − 0,6𝑥 − 8,16 = −0,5𝑥² + 7,4𝑥 − 8,16
Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur
l'intervalle ]0;15] par 𝐵(𝑥) = −0,5𝑥² + 7,4𝑥 − 8,16, avec x∈]0;15].
Maths – 1 ES
b. Déterminer par calcul, la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice nul.
Cherchons les racines éventuelles du polynôme 𝑥 ⟼ −0,5𝑥2 + 7,4𝑥 − 8,16
avec 𝑎 = −0,5, 𝑏 = 7,4 et 𝑐 = −8,16.
Le discriminant du trinôme est 𝛥 = 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 7,4² − 4 × (−0,5) × (−8,16) = 38,44
Comme Δ>0 donc le trinôme admet deux racines :
−𝑏 − √𝛥 −7,4 − 6,2
𝑥1 =
=
= 13,6
2𝑎
2 × (−0,5)
−𝑏 + √𝛥 −7,4 + 6,2
𝑥2 =
=
= 1,2
2𝑎
2 × (−0,5)
L'entreprise réalise un bénéfice nul pour une production de 1 200 et de 13 600 articles.
4. Étudier les variations de la fonction B sur ]0;15]. En déduire le nombre d'articles qu'il faut
fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro,
de ce bénéfice maximal ?
La fonction définie pour tout nombre réel 𝑥 par 𝑥 ⟼ −0,5𝑥2 + 7,4𝑥 − 8,16 est une fonction
polynôme du second degré avec 𝑎 = −0,5
𝑏
7,4
donc cette fonction admet un maximum atteint pour 𝑥 = − 2𝑎 = − 2×(−0,5) = 7,4 soit
Par conséquent, le maximum de la fonction B sur ]0;15] est :
𝐵(7,4) = −0,5 × 7,4² + 7,4 × 7,4 − 8,16 = 19,22
D'où le tableau des variations de de la fonction B :
x
0
7,4
15
19,22
B(x)
Le bénéfice maximal est de 19 220 € obtenu pour la production et la vente de 7 400 articles.