Chapitre 1 - Second degré - Test

Second degré
Test
Exercice n°1 : Recopier l’unique bonne réponse puis justifier :
Exercice n°2 : Une usine de fabrication de lecteurs MP4 peut en
produire au maximum 22 milliers par mois :
- La fonction d’offre f du fabricant, exprimant le prix de vente
d’un lecteur f ( q ) , en euros, en fonctions de la quantité de lecteurs
fabriqués q , en milliers, est donnée par f : q ! 3,5q + 40 .
- La fonction demande g des consommateurs, exprimant le prix
d’achat g ( q ) , en euros, en fonctions de la quantité de lecteurs
fabriqués q , en milliers, est donnée par g : q ! −0, 3q 2 + 160 .
Ci-contre, on donne les représentations graphiques de f et de g.
1- Donner la légende des axes. et déterminer laquelle des
représentations est celle de la fonction f ?
2- On fixe le prix à du lecteur à 120 euros.
a) Lire les quantités proposées par la société et demandées par les consommateurs.
b) Quel est le problème rencontré si l’on garde ce prix là ?
3- En faisant apparaître les traits, déterminer graphiquement le prix d’équilibre.
4- Le bénéfice mensuel B(q) , en milliers d’euros réalisé par la commercialisation de la
quantité q milliers de lecteurs en un mois est donné par : B : q ! −q 2 + 40q − 144 .
a) Calculer le bénéfice lorsque la quantité de lecteurs fabriqués est nulle.
b) À quoi correspond cette valeur d’un point de vue économique ?
5- À l’aide d’un tableau de signe, déterminer à partir de combien de milliers de lecteurs
vendus, l’entreprise réalise-t-elle des profits (c’est à dire des bénéfices positifs).
6- a) Quel est le bénéfice maximal que l’entreprise peut espérer ?
b) Quelle est la quantité de lecteurs à produire pour atteindre ce bénéfice maximal ?
7- a) À l’aide de la question 6- déterminer le bénéfice maximal par lecteur MP4.
b) En déduire, à laide du prix d’équilibre, le coût de production moyen par lecteur.
Corrigé
Second degré
Exercice n°1 : 1- Réponse B car le discriminant est Δ = (−6)2 − 4 × 2 × 4,5 = 0 .
11
11
2
2- Réponse A car 7x 2 − 28x + 11 = 7 ⎛⎜ x 2 − 4x + ⎞⎟ = 7 ⎛⎜ (x − 2)2 − 4 + ⎞⎟ = 7 ( x − 2 ) − 17 .
⎝
⎠
⎝
⎠
7
7
2
3- Réponse C car l’’unique racine est x0 =
3⎞
−b 3
⎛
= donc 2x 2 − 6x + 4,5 = 2 ⎜ x − ⎟ .
⎝
2a 2
2⎠
4- Réponse A .
5- Réponse B car Δ = −7 < 0 donc le trinôme a toujours le signe de a = 2 , positif !
6- Réponse A car les solutions sont x1 =
9 −1
9 +1
= −0,8 .
= −1 et x2 =
−10
−10
Exercice n°2 :
1- Voir sur le graphique. La fonction f : q ! 3,5q + 40 est affine. La
représentation graphique est donc la droite. L’autre est la représentation de
g : q ! −0, 3q 2 + 160 , c’est une parabole.
2- a) On lit graphiquement que pour un prix de 120 euros, la quantité
demandée est de 11,
5 milliers et celle offerte est de 23 milliers de lecteurs.
b) Le problème est que l’offre est nettement plus importante que la demande.
Les stocks auront donc du mal à être écoulés.
3- On lit graphiquement l’équilibre du marché : c’est le point d’intersection des
représentations graphiques des fonctions d’offre et de demande. L’équilibre est
atteint pour un prix d’environ 90 euros.
4- a) Pour une quantité nulle, le bénéfice est B ( 0 ) = −0 2 + 40 × 0 − 144 = −144 .
b) Cette valeur correspond aux coûts fixes de production : 144 milliers d’euros par mois.
5- Traçons le tableau de signe de x ! −x 2 + 40x − 144 . C’est une fonction trinôme du second degré, le
discriminant est Δ = 40 2 − 4 × ( −1) × ( −144 ) = 1024 . Les solutions sont x1 = −40 + 32 = 4 et x2 = −40 − 32 = 36
−2
−∞
x
−x 2 + 40x − 144
4
36
+∞
d’où, dans notre contexte :
- 0 + 0 -
−2
q
B(q)
4
0
−
0
22
+
Par lecture du tableau de signe de droite, on remarque que le bénéfice est positif à partir d’une quantité de
4 milliers de lecteurs produits et vendus. Il y a donc profit lorsque la quantité dépasse 4000 lecteurs.
6- Traçons le tableau de variations de x ! −x 2 + 40x − 144 . Le coefficient a étant négatif, on a :
q
B : q ! −q + 40q − 144
0
20
256
22
−40
= 20
−2
⎨
⎪⎩ yS = B ( 20 ) = 256
Les coordonnées du sommet sont ⎧⎪ xS =
2
6- a) Le bénéfice maximal est donc de 256 milliers d’euros.
b) Il est obtenu pour une quantité de 20 milliers de lecteurs.
7- a) Le bénéfice maximal par lecteur est donc de 256000 : 20000 = 12,8 soit 12,8 euros par lecteur.
b) Puisque le prix de vente à l’équilibre est de 90 euros, le coût de production est de 90 − 12,8 = 77,2 €
.