Déterminants de Cramer.
Transcription
Déterminants de Cramer.
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS À 2 INCONNUES PAR LA MÉTHODE DES DÉTERMINANTS DE CRAMER. Système étudié à titre d'exemple: Appelons A la colonne 36 , B la colonne { S 3x4y=5 6x7y=8 47 } et C la colonne 58 . Première étape. Calcul du déterminant du système. On considère les colonnes A et B et on calcule le déterminant du système S c'est à dire: = 3 4 ; = 3×7−6×4 =−3 67 Comme ∆ n'est pas nul, ce système admet un couple solution unique. ( Si le déterminant d'un système est nul, alors c'est un cas particulier qu'il faut étudier. ) ∣ ∣ Deuxième étape. Calcul du déterminant x de x puis de la valeur de x. On remplace la colonne A par la colonne C, la colonne B ne changeant pas : 58 ; 47 ∣ ∣ 54 et on calcule le déterminant de x c'est à dire: x = ; x = 5×7−8×4 = 3 87 x 3 L'inconnue x vaut tout simplement: c'est à dire : x = x = =−1 −3 Troisième étape. Calcul du déterminant y puis de la valeur de y. On remplace la colonne B par la colonne C, la colonne A ne changeant pas : 36 ; 58 ∣ ∣ 35 et on calcule le déterminant de y c'est à dire: y = ; y = 3×8−6×5 =−6 68 y −6 L'inconnue y vaut: c'est à dire : y = y = =2 −3 Le couple solution x ; y de ce système vaut donc : −1 ; 2 Généralisation: { ∣ ∣ } S axby=e ; = a b = ad −bc cxdy= f cd Si est non nul, alors: x = e b = ed − fb et x = x . f d De même: y = a e = af −ce et y = y . D'où le couple solution x ; y du système S. cf ∣ ∣ ∣ ∣ .*******************************************************. D