Analyse et Traitement du Signal

Analyse et Traitement du Signal
Licence Pro CIM
Janvier 2017
Michèle ROMBAUT
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Traitement du signal Licence Pro CIM
Chapitre 1 : Mesure et signal
1.1. Mesure physique
Capteur -> Conditionnement -> donne une grandeur électrique
Grandeur électrique : souvent une tension entre Vmin et Vmax
Exemple : capteur mesure une grandeur physique P
Tension
Vmax
Vmin
Grandeur physique
En général, utilisation dans la zone linéaire
Tension
Vmax
Vmin
Dans la partie linéaire,
Grandeur physique
ΔV
=K K : constante.
ΔP
Exercice 1 :
Un capteur de fonctionnement linéaire mesure une température T entre 10° et 30°. La tension V
image de la température varie entre 0V et 5V.
- Quelle température est mesurée si on obtient une tension de sortie de 3,2V ?
- Si la température est de 12,6°, quelle tension obtient-on ?
1.2. Codage numérique de la mesure
Utilisation par un ordinateur -> transformation en grandeur numérique.
Nombre dans un ordinateur = codage binaire (0, 1). Chaque chiffre : Bit = Binary Digit
Codage binaire : puissance de 2 (équivalent aux puissance de 10 en décimal).
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Exercice 2 :
- Donner les 11 premières valeurs des puissance de 2, de 20 à 210 ainsi que les valeurs de 215 et 216
- Donner la valeur décimale du nombre binaire 10011010.
- Donner la valeur binaire du nombre décimal 193
Les nombres binaires sont difficiles à manipuler : utilisation de nombre hexadécimaux.
Chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Un chiffre hexadécimal = regroupement de 4 chiffres binaires.
Exercice 3 :
- Donner le codage binaire des 16 chiffres hexadécimaux sur 4 bits
- Donner la valeur binaire du nombre (3FC)H
- Donner la valeur décimale du nombre (3FC)H
- Donner la valeur hexadécimale du nombre décimal 193
1.3. Conversion analogique/numérique
Mesure (analogique = valeurs continues) : tension à transformer en grandeur numérique (valeurs
discrètes).
Utilisation d'un convertisseur Analogique/Numérique.
Caractéristiques du convertisseur :
- Résolution : nombre de bits
- Temps de conversion (horloge interne ou externe)
- Impédance d'entrée
- Tensions de référence Vmin et Vmax
Définir la règle de conversion (linéaire)
Définir la précision (quantum)
Exercice 4 :
Un capteur de fonctionnement linéaire mesure une température T entre 10° et 30°. La tension V
image de la température varie entre 0V et 5V. Celle-ci est convertie en nombre N par un
convertisseur A/D de 8 bits.
- Quelles sont les règles de conversion en tension et en température de ce convertisseur ?
- Quelle précision peut-on atteindre en tension et en température ?
- Quelle température est mesurée si on obtient un nombre de sortie de (3F)H ?
- Si la température est de 12,6°, quel nombre hexadécimal obtient-on ?
- Quelles réponses obtient-on si on utilise un convertisseur de 10 bits ?
Le convertisseur utilisé en TP est celui de la carte d'acquisition NI-DAQ 9205.
Exercice 5 :
Étudier les caractéristiques du convertisseur A/N disponible sur cette carte. Quel quantum de
tension peut-on obtenir en fonction des calibres de mesure ?
Faire le TP 1
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Chapitre 2 : Représentation d'un signal
2.1. Représentation temporelle
Signal temporel évolue dans le temps : fonction continue dans le temps.
Exemple : sinusoïde s (t)=A . sin( ω t+ϕ)
Machine informatique : valeurs discrètes de la fonction aux instants d'échantillonnage.
Signal temporel discrétisé : Instant de départ t 0 , pas d'échantillonnage T e=Δ t , vecteur de
données S de dimension finie (N échantillons).
Rappel relations période, fréquence, pulsation :
- Période T e : temps entre deux échantillons (s)
1
- Fréquence F e=
(Hz)
Te
2π
- Pulsation ωe =2 π . Fe =
(rd/sec)
Te
Remarque : le signal temporel discrétisé correspond au signal temporel continu multiplié par un
peigne de Dirac (vu en Math).
L'acquisition d'un signal nécessite de configurer un certain nombre de paramètres :
- Fréquence d'échantillonnage
- Nombre d'échantillons
On peut ensuite en déduite la largeur de la fenêtre d'observation T et la période d'échantillonnage
Te
Exercice 1 :
Un signal est échantillonné à la fréquence de 1 KHz, sur 5000 échantillons. Quel est le temps entre
deux échantillons ? Quelle est la largeur de la fenêtre d'observation ?
On souhaite acquérir un enregistrement d'un signal périodique de période 1,5sec, sur 3 périodes et
avoir 20 points par périodes. Comment configurer F e et N ?
Faire la première partie du TP 2.
2.2. Représentation fréquentielle
Signaux peuvent être représentés dans le temps (humain : capteur visuel) ou en fréquence (humain :
capteur auditif). Quelque soit la représentation : même signal.
Dans le temps : représentation à tous les instants des valeurs qui participent à la construction du
signal
En fréquence : représentation à toutes les fréquences des valeurs qui participent à la construction
du signal.
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2.2.1. Signaux périodiques
Signal périodique = signal qui se répète dans le temps. s (t+ T )=s(t) où T est la période (plus
petite valeur de temps pour laquelle la propriété est vraie).
1
Fréquence fondamentale F0 =
(Hz).
T
Exercice 2 :
Déterminer la fréquence fondamentale des signaux représentés ci-dessous.
Théorème de Fourier :
Un signal périodique peut s'écrire comme la somme de signaux sinusoïdaux de fréquences Fn
multiples de la fréquence fondamentale F0 → décomposition en série de Fourier.
Coefficients de Fourier ( an et bn ) : coefficients de chacune des sinusoïdes. Les autres
harmoniques sont multiples de F0 ( Fn =n F0 ).
∞
s (t )=a0 + ∑ [ an . cos (2 π n F0 t )+b n . sin(2 π n F 0 t )]
n=1
a0 : valeur moyenne
a1 et b1 : coefficients de la première harmonique F0 (fondamentale)
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Représentation de signal carré par ses premières
harmoniques.
La première représentation ne comporte que l'harmonique
fondamentale, à la même fréquence que le signal carré.
Sur les trois représentations suivantes, on a jouté
successivement les harmoniques 3, 5 et 7.
On voit que le signal se rapproche de plus en plus du signal
carré.
Représentation unilatérale
Spectres : représentations du signal dans l'espace fréquentiel (deux courbes) :
- abscisse : fréquences Fn ou numéro d'échantillon n en fréquence
- ordonnée : coefficients an et bn des cosinus et sinus.
L'échantillon n correspond à la fréquence Fn =F0 ×n où F0 est le fréquence fondamentale du
signal.
On retrouve toutes les fréquences qui participent à la construction du signal (harmoniques
Fn =n F0 ) sous forme de raies correspondant aux coefficients de Fourier.
Cette représentation est peu utilisée.
Soit le signal s défini par s (t)=3+sin(2 t)+1,5 cos(4 t )+0,5 sin( 4 t)+2 cos (8 t) .
Quelle est la fréquence fondamentale de ce signal ? Quelle est la valeur moyenne ?
Représenter ses deux spectres an et bn .
Représentation bilatérale
Représentation complexe (rappel de math) :
(i 2 π f t )
r .e
=r . cos(2 π f t)+i. r .sin (2 π f t) où
ℜ(e(i2 π f t ) )=cos(2 π f t)
ℑ(e(i 2 πf t) )=sin (2 π f t)
Le signal est vu comme une somme de fonctions complexes :
∞
s (t)= ∑ S(n F 0). e2 π i n F t
0
n=−∞
Les coefficients S (n F 0) sont complexes. Ils sont représentés soit par les parties réelle et
imaginaire, soit par le module |S(n F 0)| et la phase Arg (S(n F 0 )) . Ces spectres sont composés
de fréquences « positives » et « négatives » multiples de F0 .
Si la fonction périodique est paire, la partie imaginaire est nulle. Si la fonction est impaire, c'est la
partie réelle qui est nulle.
Le spectre de module est pair (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées), celui de la phase est
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impair.
Exemple de spectre :
Signal sinusoïdal de fréquence 100Hz et d'amplitude 3V, échantillonné à la fréquence Fe = 1kHz
sur N = 200 points.
2.2.2. Généralisation aux signaux non-périodiques
Si la période T du signal périodique devient infiniment grande, le pas entre deux harmoniques
devient infiniment petit. Les coefficients de Fourier deviennent l'expression d'une fonction continue
de f : c'est la transformée de Fourier.
Transformée de Fourier (TF) :
représentation fréquentielle d'un signal temporel, fonction complexe en fonction de la fréquence f.
Rappel de Math
Soit un signal s (t) décrit dans le temps, S ( f )=TF(s (t))
Soit un signal S ( f ) décrit en fréquence, s (t)=TF−1 ( S(f ))
Les spectres de s (t) représentent :
- la partie réelle et la partie imaginaire
- le module et l'argument
Ils sont définis pour f de −∞ à +∞
Exercice 3 :
Retrouver sur le WEB ou dans des livres, l'expression de transformées de Fourier « classiques » :
- fonctions périodiques : cosinus, triangle, carré, train d'impulsion, signal redressé simple ou
double alternance
- fonctions non périodiques : porte, Dirac, sinus cardinal
Faire la deuxième partie du TP 2
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Chapitre 3 : Signal, discrétisation et représentation
spectrale
Le traitement numérique du signal nécessite que :
- l'amplitude du signal soit discrétisée (vu au chapitre 1)
- le signal soit échantillonné
- le temps d'observation soit limité
- l'amplitude des fréquences composant le signal soit discrétisée
- les fréquences soient échantillonnées
- l'amplitude des fréquences observées soit limitée
Ces contraintes induisent des effets qu'il est indispensables de prendre en compte lors du traitement
des signaux.
3.1. Effet de la discrétisation temporelle du signal
L'échantillonnage correspond à la multiplication du signal s(t) avec un Peigne de Dirac de
fréquence Fe (fréquence d'échantillonnage).
Cela se traduit par s e (t)=s( t).
+∞
∑
k=−∞
δ (t−kT e )
La transformée de Fourier de ce signal échantillonné donne le spectre S e (f )=F e .
+∞
∑
k=−∞
S( f −kF e )
Cela correspond à une recopie du spectre S(f) qui est centré en 0, sur les multiples de la fréquence
Fe (Fe, 2 Fe, 3 Fe, ...).
Théorème de Shannon : Fe ≥2. f max
Si ce théorème est respecté, pas d'empiétement des spectres.
Exemple d'un spectre brut :
Spectre brut d'un signal carré d'amplitude 3V, de
fréquence 10Hz, échantillonné à 1000Hz sur 200
échantillons.
Labview :
Transformée de Fourier Rapide (FFT)
Transformée de Fourier Inverse
Exercice 1 :
Soit le signal s (t)=3cos (ω 0 t)+2 sin(3 ω 0 t)+5 cos (5 ω0 t ) où ω0=100 rd /s .
A quelle fréquence Fe peut-on échantillonner ce signal ?
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Repliement de spectre
Si le théorème de Shannon n'est pas respecté, c'est à dire que certaines fréquences de la transformée
de Fourier sont plus grandes que Fe /2 , alors elles réapparaissent à des valeurs de fréquences
plus petites (fréquences fantômes).
C'est le « repliement de spectre » (folding, aliasing). Effet stroboscopique.
Signaux réels, le spectre est très étendu. Nécessité d'utiliser un filtre passe-bas analogique avant
échantillonnage du signal.
Exercice 2 :
Une sinusoïde s(t) de fréquence n0 est échantillonnée à la fréquence νe =1,25 ν0=5 /4 ν0
Quelle est la période d'échantillonnage T e ?
Placer les échantillons. Donner le graphique de son spectre.
Le signal est filtré par un passe bas idéal de fréquence de coupure nc =ne -n0 +e
Tracer la fonction reconstruite après filtrage.
mesure
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
3.2. Transformée de Fourier discrète
Calcul de la transformée de Fourier par un ordinateur :
- N échantillons de temps s e : signal tronqué (multiplication par une porte)
N−1
s e (t)= ∑ s(t ). δ(t−kT e )
k=0
- N échantillons en fréquence S m : Transformée de Fourier Discrète
N −1
F
S m (f )= ∑ S (f ).δ (f −m e )
N
m=0
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Correspondance entre deux suites de N termes :
T =N .T e =N / F e
avec T : taille de la fenêtre temporelle, Δ f le pas de fréquence.
F e=N . Δ f =N /T
Exercice 3 :
Supposons qu’un signal de parole s(t) ait été échantillonné à n e =12KHz , et que l’on prélève un
bloc de 1024 échantillons pour le traitement. La transformée de Fourier discrète Sm(k) de ce
signal contient des pics à :
k Î{40,100,924,984}
Où sont les principales fréquences du signal (en Hz) ? Combien y en a-t-il ?
Effet du fenêtrage
Le signal est observé dans une fenêtre temporelle finie. Si la fenêtre temporelle ne correspond pas à
un nombre entier de périodes du signal → distorsion du spectre.
Exercice 4 :
Soit un signal s(t) de fréquence 30Hz, échantillonné à 1kH sur 500 échantillons. Combien de
périodes seront disponibles ? Même question si le signal a une fréquence de 31Hz.
Le fenêtrage induit la présence de sinus cardinal. Si l'échantillonnage est fait sur un nombre entier
de périodes du signal, les lobes latéraux du sinus cardinal ne génèrent pas de raies.
Sinus cardinal
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Spectre continu
Le problème est que, souvent, on ne connaît pas exactement la fréquence du signal à observer.
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Signal à 30Hz
Signal à 31Hz
Pour limiter cet effet, on peut utiliser un fenêtrage différent de la porte (multiplication par 0 ou par
1).
Signal à 31Hz avec fenêtre de Hamming (pondération des échantillons).
Pour avoir une meilleure précision sur le spectre lorsque qu'on ne dispose qu'un nombre fixe
d'échantillons échantillonnés à une fréquence fixe Fe , on peut compléter l'enregistrement par des
Zéros → Δ f plus petit. Mais cela induit de nouveau une distorsion du spectre.
L'échantillonnage a aussi pour effet de multiplier l'amplitude de la valeur du spectre par N.
3.3. Représentation des spectres
Soit deux signaux réels x(t) et y(t).
3.3.1. Rappels sur la puissance
Puissance instantanée de x(t) :
+∞
Énergie de x(t) :
2
p(t)=x (t) en Watts (W)
2
E x =∫ x (t) dt en Joules (J)
−∞
Puissance moyenne totale de x(t) :
+T /2
1
Px =lim ∫ s 2 (t)dt
T → ∞ T −T / 2
Remarques :
Quand l'énergie est finie, la puissance moyenne est nulle.
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Quand la puissance est finie, la valeur efficace est la racine carrée de la puissance.
N
Pour un signal discret
E x =∑ xi2
i=0
Puissance instantanée d’interaction entre x(t) et y(t) :
pxy (t)=x (t) . y (t)
+T / 2
Puissance moyenne d'interaction entre x(t) et y(t) :
1
Pxy =lim ∫ x (t). y (t)dt
T →∞ T −T /2
Exercice 5 :
Entre les signaux Porte et Carré, lequel est à énergie finie et lequel est à puissance finie ?
3.3.2. Énergie et puissance dans l'espace fréquentielle
On pose
X ( f )=TF (x( t)) et Y ( f )=TF( y ( t))
Signaux à puissance nulle
Densité spectrale d'énergie :
S xx (f ) est la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation.
Elle est égale à S xx( f )=X (f ). X (f )=|X (f )|2 : redistribution de l'énergie sur l'axe des fréquences.
+∞
+∞
N
−∞
j=0
2
Énergie de X(f) : E x =∫ | X ( f )| df =∫ S xx (f )df . Pour un signal discret E x =∑ | X j|
2
−∞
Énergie E x est la même dans le temps et en fréquence (théorème de Parseval)
Densité interspectrale d'énergie :
S xy (f )=X (f ).Y (f ) et S yx (f )=Y (f ) . X ( f )
Théorème de Parseval :
∞
∞
∫ |x (t)|. y (t) dt=−∞
∫ |X (f )|. Y (f ) dt
−∞
Signaux à puissance moyenne non nulle
Densité spectrale de puissance :
S xx (f ) est la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation.
3.3.3. Représentation des spectres
Soit un signal
x (t)= A 0+ A 1 sin(2 π f 1 t+ϕ)
Spectre d'amplitude bilatéral
ou spectre linéaire bilatéral.
Un raie à 0 de valeur A 0 et deux raies à +f 1 et −f 1 d'amplitude
Permet la visualisation de la phase des composantes.
Unité : U RMS (Root Mean Square)
A 1 /2
Spectre de puissance bilatéral
Puissance du signal contenue dans l'échantillon
Un raie à 0 de valeur A 20 et deux raies à +f 1 et −f 1 d'amplitude A 21 /4 (carré du spectre
d'amplitude)
Ne permet pas la visualisation de la phase des composantes. Unité : U 2RMS
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Spectre de puissance unilatéral
Déduit du spectre bilatéral en « repliant » les spectre des valeurs négatives sur celui des valeurs
positives
Un raie à 0 de valeur A 20 et une raie à +f 1 d'amplitude A 21 /2 . Unité : U 2RMS
Labview :
Spectre de puissance
Spectre d'amplitude unilatéral
Déduit du spectre de puissance uni-latéral en considérant la racine carrée de la puissance de
chacune des raies.
Un raie à 0 de valeur A 0 et une raie à +f 1 d'amplitude A 1 / √ 2 . Unité : U RMS
Labview : Spectre amplitude-phase
Densité spectrale de Puissance (DSP)
Est utilisée pour calculer la puissance dans une bande de fréquence Δ f
En unilatéral ou en bilatéral, on divise l'amplitude du spectre de puissance bilatéral par la résolution
fréquentielle Δ f . Unité : U 2RMS /Hz
Spectre d'énergie croisé : S xy (f )= X (f ).Y (f ) et S yx (f )=Y (f ). X (f )
Spectre unilatéral qui donne l'énergie commune sur les fréquences.
Fréquence du carré : 10Hz
Fréquence de la sinusoïde : 30Hz
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Chapitre 4 : Traitement numérique du signal
Le traitement du signal se fait essentiellement à l'aide de filtres :
- entrée x (t) ou x k
- sortie y (t) ou y k
N
Filtre non-récursif :
y k =∑ ai . x k −i
i=0
Filtre récursif :
N
N
i=0
j=0
y k =∑ ai . x k−i −∑ bi . y k− j
Réponse impulsionnelle : ensemble des hi tels que hi= y i si x 0=1 et
Si l'ensemble des hi non nul est fini, la réponse impulsionnelle est finie.
x i=0 ∀ i≠0
N
Filtres à réponse impulsionnelle finie (Filtre RIF) :
y k =∑ hi. x k−i
i=0
N domaine de l’existence de la réponse impulsionnelle.
Filtres à réponse impulsionnelle infinie (Filtre IIF) :
N
N
i=0
j=0
y k =∑ ai . x k−i −∑ bi . y k− j
4.1. Lissage temporel
Moyenne temporelle
Moyenne sur fenêtre glissante d'ordre N. Peut être utile pour supprimer un bruit résiduel ou
atténuation d'un bruit impulsif. Mais modifie le signal informatif.
N
1
y k = ∑ x k−i
N i=0
Méthode efficace pour des signaux lentement variables.
Labview : on associe deux modules
Coefficients du filtre de lissage (définition des paramètres de lissage)
Filtre IIR
Filtre médian
Fenêtre de 2 N +1 , la valeur médiane y k est l'échantillon x k qui se trouve au milieu de
l'ensemble ordonné de valeurs croissantes.
Méthode efficace pour conserver les variations rapides mais supprime les impulsions courtes.
Labview :
Fitre médian (définition de la fenêtre)
Exercice 5 :
Soit un signal d'entré s = [1, 2, 6, 5, 4, 2, 3, 1, 6 ,8]
Déterminer le signal de sortie pour N = 2 si on applique un filtre moyenne, un filtre médian
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4.2. Filtrage numérique fréquentiel
Consiste à éliminer certaines fréquences tout en maintenant aussi constantes que possibles les
fréquences informatives.
Filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande.
Peuvent être réalisés en analogique ou en numérique.
Avantage des filtres numériques :
- réalisation de fonctions complexes irréalisables en continu
- caractéristiques proches de celles du filtre idéal (pente infinie, pas d'atténuation dans la bande
passante)
- Modification de la valeur du filtre par modification des tables de coefficients du filtre
- invariance du filtre dans le temps et en fonction des composants.
Labview : il existe plusieurs types de filtres, par exemple
Filtre de Butterworth
Filtre de Tchebychev
4.3. Analyse harmonique
L'analyse harmonique permet d'extraire les informations fréquentielles intéressantes du signal :
- fréquence fondamentale
- l'amplitude des harmoniques
- la distorsion harmonique : rapport entre la somme de la moyenne quadratique (RMS) des
harmoniques et l'amplitude de la fréquence fondamentale.
Labview :
Analyseur de distorsion harmonique
Ce VI permet aussi de sélectionner la zone de fréquence de recherche et d'exporter un signal
temporel extrait de l'original :
- signal du fondamental
- signal résiduel : signal initial moins le fondamental
- l'ensemble des harmoniques (sans le bruit)
- bruit et impulsions
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