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ORSAY 2005 Département Mesures Physiques TP 1 Echantillonnage et Spectre 1. Représentation temporelle & Repliement du spectre Sous Labview, charger le programme C:\eleve\TDS1\tds1_1.vi Nous désirons échantillonner les 2 signaux ci-dessous avec une période Te=1ms et comparer leur séquences d’échantillons. e1(t) = + E sin (2πF1 t) e2(t) = - E sin (2πF 2 t) Travail à réaliser 1 Faire tourner les simulations, chaque groupe réglant les fréquences suivantes. Tous les groupes F1 =200 Hz F 2 =800 Hz Observer le tracé des valeurs des 10 premiers échantillons de chaque signal. Conclure. Chaque groupe d’étudiants fixe une fréquence F1 suivante et doit ajuster la fréquence F 2 pour obtenir l’égalité des séquences échantillonnées. Groupe 1 F =50 Hz 1 F2 = ? Groupe 2 F1 =100 Hz F2 = ? Groupe 3 F1 =150 Hz F2 = ? Groupe 4 F =250 Hz 1 F Groupe 5 F1 =300 Hz F2 = ? Groupe 6 F =400 Hz 1 F2 = ? 2 =? En déduire la relation entre les fréquences des signaux sinusoïdaux pour obtenir l'égalité. 2 Faire tourner les simulations, en modifiant dans le diagramme le signe pour e2. e2(t) = + E sin (2πF 2 t) avec 1000Hz < F 2 < 1500Hz Chaque groupe fixe une fréquence F1 précédente et doit ajuster la fréquence F 2 pour obtenir l’égalité des séquences échantillonnées. En déduire la nouvelle relation entre les fréquences des signaux. 3 On appelle fréquence "apparente" la fréquence respectant le théorème de Shannon et donnant la même séquence d’échantillon qu’une autre fréquence F. Trouver la relation liant la fréquence apparente en fonction d’une fréquence d'entrée F. Idem pour le déphasage Φ (o ou π suivant le signe). Traitement du Signal Roger REYNAUD 19/07/2011 ORSAY Département Mesures Physiques 2005 2 Transformée de Fourier et représentation du spectre Sous Labview, charger le programme C:\eleve\TDS1\tds1_2.vi La transformée de Fourier est représentée de deux manières : la partie réelle et la partie imaginaire sont affichées sous le même graphique avec deux couleurs différentes en fonction de la fréquence réelle ; la transformée de Fourier est représentée en perspective en fonction de la fréquence réduite. Dans les deux cas, un bouton du VI permet de positionner le zéro des fréquences en position centrale ou en position latérale à gauche. Travail à réaliser 1 Vous rajoutez une composante continue au signal que vous réglez à partir de la face avant de votre instrument virtuel. Où se positionne le zéro des fréquences ? 2 Etudier la transformée de Fourier en respectant le théorème de Shannon et en ajustant le nombre de cycle par horizon. Lorsque ce nombre est un entier N (par exemple 25), où se trouve le Dirac dans la représentation spectrale ? Lorsque ce nombre de cycle n’est pas entier (par exemple 22,7), comment se déforme le Dirac ? Proposez une explication. 3 Jouer sur l'amplitude du signal. Conclure sur la linéarité de le transformée de Fourier. 4 Jouer sur le déphasage du signal en calculant le spectre d’un cosinus pur, d’un sinus pur, puis d’un signal sinusoïdal pur de déphasage quelconque. Conclure sur la séparation module et phase du spectre. 5 Mettre en évidence le non respect du théorème de Shannon à l’aide de la représentation fréquentielle en faisant croître continûment la fréquence au delà de la limite de Shannon. Traitement du Signal Roger REYNAUD 19/07/2011 ORSAY Département Mesures Physiques 2005 3 Sous-échantillonnage et modification des spectres associés (programme C:\eleve\TDS1\Echantillonnage.vi) Le programme effectue le sous-échantillonnage d’un signal s(t) modulé en fréquence dont le spectre est compris de f1 à f2. Nous obtenons un nouveau signal qui est alors nul sauf aux instants choisis comme base du sous-échantillonnage. Le résultat est affiché sur le même graphique que le signal initial. • Dans un ordinateur, tout signal est numérique (échantillonné et quantifié). Les modes de tracé sont choisis pour mettre en valeur le phénomène d'échantillonnage ou le masquer. • Le mécanisme d'échantillonnage est obtenu dans le cours par multiplication par un peigne de Dirac (t) . Ici le signal est déjà échantillonné. Le mécanisme d’échantillonnage est simulé par un Te sous-échantillonnage par 2, 3 ou 4. • Le signal est défini sur 1024 points pour des raisons d'efficacité de l'algorithme de transformée de Fourier. La sortie de la transformation est un signal complexe avec partie réelle et partie imaginaire. Pour simplifier l'interprétation, seul le module du spectre est tracé dans un nouveau graphique. Le nouveau spectre vaut S(ν) ⊗ Fe. Fe(ν) . Pour faciliter la comparaison des deux signaux sur le même graphique, un bouton de la face avant permet d’effectuer une adaptation des échelles et de rehausser le spectre du signal sous-échantillonné. Travail à réaliser 1. Ouvrir l'instrument virtuel. Faire tourner la simulation sans sous-échantillonnage. Les paramètres sont réglés sur des valeurs par défaut qui correspondent à une simulation standard. Il apparaît, entre les deux graphiques de la face avant, un calcul de l’énergie du signal et de l’énergie du spectre correspondant. Etablir les formules de calculs de ces énergies à partir du diagramme. En mesurant les amplitudes du signal et du spectre, vérifier la conservation de l'énergie entre les représentations temporelles et spectrales. 2. Régler les deux fréquences f2 et f1 pour les rendre égales. Nous sommes en présence d'un signal sinusoïdal pur. Vous notez A l’amplitude du signal et B le niveau atteint par le module du spectre. Ce niveau est fonction du nombre de points de l'horizon d'entrée. Trouver la relation entre A, B et le nombre d’échantillons N. Vérifier la sur le tracé. 3. Positionner une excursion en fréquence ∆f = f2 - f1 du signal s(t) d’amplitude A. Vous notez C le niveau atteint par le module du spectre. Trouver la relation entre A, C, ∆f et le nombre d’échantillons N. En jouant sur les boutons de la face avant, diminuer l'excursion en fréquence dans un rapport 2. Vérifier le niveau du module du spectre. 4. Introduire un sous-échantillonnage par 2. Relancer la simulation en reprenant f1=0.05 et f2=0.15. Observer les signaux et les spectres associés. Indiquer pourquoi l’énergie du spectre du signal souséchantillonné décroît. Indiquer pourquoi le spectre devient périodique. On note D le niveau moyen atteint par le module du spectre. Trouver la relation entre A, D, ∆f et le nombre d’échantillons N. 5. Relancer la simulation avec un facteur de sous-échantillonnage de 3, puis 4. Imprimer les résultats et conclure. Il faut se placer dans un cas où le théorème de Shannon n'est pas vérifié. Modifier le zoom du tracé temporel pour visualiser la partie de la courbe s(t) où le théorème de Shannon est pris en défaut. Traitement du Signal Roger REYNAUD 19/07/2011 ORSAY 2005 Département Mesures Physiques 4 FFTayeur : analyseur de spectre réel Fonctionnalité : analyseur de spectre (acquisition d'un signal sur deux voies, traitement, visualisation) Générateur central 2 câbles PC Instrument virtuel • PC Instrument virtuel PC Instrument virtuel PC Instrument virtuel Sous Labview chargez le programme c:\eleves\Tds1\fftayeur.vi. Travail à réaliser 1. Etudiez la représentation temporelle et fréquentielle pour les différents signaux réels acquis par chaque ordinateur. Les signaux possibles fournis par l’enseignant sont parmi les suivants : une sinusoïde, un bruit blanc, un signal périodique (rectangulaire, triangle, ... ), un signal continu, un signal modulé en fréquence, la combinaison de 2 ou 3 signaux. Comparer les résultats entre le FFTayeur numérique et le FFTayeur analogique. 2. Etudiez la représentation temporelle et fréquentielle pour différents signaux de paroles Prononcer o, m, p. Tracer les faces avant du VI. 3. Jeux de signaux inconnus. Quels sont les signaux proposés? Signal A Signal B Type du signal et Arguments Type du signal et Arguments Signal C Signal D Type du signal et Arguments Type du signal et Arguments Signal E Signal F Type du signal et Arguments Type du signal et Arguments Traitement du Signal Roger REYNAUD 19/07/2011