TP1

ORSAY
2005
Département Mesures Physiques
TP 1 Echantillonnage et Spectre
1. Représentation temporelle & Repliement du spectre
Sous Labview, charger le programme C:\eleve\TDS1\tds1_1.vi
Nous désirons échantillonner les 2 signaux ci-dessous avec une période Te=1ms et comparer leur
séquences d’échantillons.
e1(t) = + E sin (2πF1 t)
e2(t) = - E sin (2πF 2 t)
Travail à réaliser
1
Faire tourner les simulations, chaque groupe réglant les fréquences suivantes.
Tous les groupes
F1 =200 Hz
F 2 =800 Hz
Observer le tracé des valeurs des 10 premiers échantillons de chaque signal. Conclure.
Chaque groupe d’étudiants fixe une fréquence F1 suivante et doit ajuster la fréquence F 2 pour
obtenir l’égalité des séquences échantillonnées.
Groupe 1
F =50 Hz
1
F2 = ?
Groupe 2
F1 =100 Hz
F2 = ?
Groupe 3
F1 =150 Hz
F2 = ?
Groupe 4
F =250 Hz
1
F
Groupe 5
F1 =300 Hz
F2 = ?
Groupe 6
F =400 Hz
1
F2 = ?
2
=?
En déduire la relation entre les fréquences des signaux sinusoïdaux pour obtenir l'égalité.
2
Faire tourner les simulations, en modifiant dans le diagramme le signe pour e2.
e2(t) = + E sin (2πF 2 t) avec 1000Hz < F 2 < 1500Hz
Chaque groupe fixe une fréquence F1 précédente et doit ajuster la fréquence F 2 pour obtenir
l’égalité des séquences échantillonnées. En déduire la nouvelle relation entre les fréquences des
signaux.
3
On appelle fréquence "apparente" la fréquence respectant le théorème de Shannon et donnant la
même séquence d’échantillon qu’une autre fréquence F. Trouver la relation liant la fréquence
apparente en fonction d’une fréquence d'entrée F. Idem pour le déphasage Φ (o ou π suivant le
signe).
Traitement du Signal
Roger REYNAUD
19/07/2011
ORSAY
Département Mesures Physiques
2005
2 Transformée de Fourier et représentation du spectre
Sous Labview, charger le programme C:\eleve\TDS1\tds1_2.vi
La transformée de Fourier est représentée de deux manières :
la partie réelle et la partie imaginaire sont affichées sous le même graphique avec deux couleurs
différentes en fonction de la fréquence réelle ;
la transformée de Fourier est représentée en perspective en fonction de la fréquence réduite.
Dans les deux cas, un bouton du VI permet de positionner le zéro des fréquences en position
centrale ou en position latérale à gauche.
Travail à réaliser
1
Vous rajoutez une composante continue au signal que vous réglez à partir de la face avant de votre
instrument virtuel. Où se positionne le zéro des fréquences ?
2
Etudier la transformée de Fourier en respectant le théorème de Shannon et en ajustant le nombre
de cycle par horizon. Lorsque ce nombre est un entier N (par exemple 25), où se trouve le Dirac
dans la représentation spectrale ? Lorsque ce nombre de cycle n’est pas entier (par exemple 22,7),
comment se déforme le Dirac ? Proposez une explication.
3
Jouer sur l'amplitude du signal. Conclure sur la linéarité de le transformée de Fourier.
4
Jouer sur le déphasage du signal en calculant le spectre d’un cosinus pur, d’un sinus pur, puis d’un
signal sinusoïdal pur de déphasage quelconque. Conclure sur la séparation module et phase du
spectre.
5
Mettre en évidence le non respect du théorème de Shannon à l’aide de la représentation
fréquentielle en faisant croître continûment la fréquence au delà de la limite de Shannon.
Traitement du Signal
Roger REYNAUD
19/07/2011
ORSAY
Département Mesures Physiques
2005
3 Sous-échantillonnage et modification des spectres associés
(programme C:\eleve\TDS1\Echantillonnage.vi)
Le programme effectue le sous-échantillonnage d’un signal s(t) modulé en fréquence dont le spectre est
compris de f1 à f2. Nous obtenons un nouveau signal qui est alors nul sauf aux instants choisis comme
base du sous-échantillonnage. Le résultat est affiché sur le même graphique que le signal initial.
•
Dans un ordinateur, tout signal est numérique (échantillonné et quantifié). Les modes de tracé sont
choisis pour mettre en valeur le phénomène d'échantillonnage ou le masquer.
•
Le mécanisme d'échantillonnage est obtenu dans le cours par multiplication par un peigne de Dirac
(t) . Ici le signal est déjà échantillonné. Le mécanisme d’échantillonnage est simulé par un
Te
sous-échantillonnage par 2, 3 ou 4.
•
Le signal est défini sur 1024 points pour des raisons d'efficacité de l'algorithme de transformée de
Fourier. La sortie de la transformation est un signal complexe avec partie réelle et partie imaginaire.
Pour simplifier l'interprétation, seul le module du spectre est tracé dans un nouveau graphique. Le
nouveau spectre vaut S(ν) ⊗ Fe.
Fe(ν) . Pour faciliter la comparaison des deux signaux sur le
même graphique, un bouton de la face avant permet d’effectuer une adaptation des échelles et de
rehausser le spectre du signal sous-échantillonné.
Travail à réaliser
1. Ouvrir l'instrument virtuel. Faire tourner la simulation sans sous-échantillonnage. Les paramètres
sont réglés sur des valeurs par défaut qui correspondent à une simulation standard. Il apparaît, entre
les deux graphiques de la face avant, un calcul de l’énergie du signal et de l’énergie du spectre
correspondant. Etablir les formules de calculs de ces énergies à partir du diagramme. En mesurant
les amplitudes du signal et du spectre, vérifier la conservation de l'énergie entre les représentations
temporelles et spectrales.
2. Régler les deux fréquences f2 et f1 pour les rendre égales. Nous sommes en présence d'un signal
sinusoïdal pur. Vous notez A l’amplitude du signal et B le niveau atteint par le module du spectre.
Ce niveau est fonction du nombre de points de l'horizon d'entrée. Trouver la relation entre A, B et le
nombre d’échantillons N. Vérifier la sur le tracé.
3. Positionner une excursion en fréquence ∆f = f2 - f1 du signal s(t) d’amplitude A. Vous notez C le
niveau atteint par le module du spectre. Trouver la relation entre A, C, ∆f et le nombre
d’échantillons N. En jouant sur les boutons de la face avant, diminuer l'excursion en fréquence dans
un rapport 2. Vérifier le niveau du module du spectre.
4. Introduire un sous-échantillonnage par 2. Relancer la simulation en reprenant f1=0.05 et f2=0.15.
Observer les signaux et les spectres associés. Indiquer pourquoi l’énergie du spectre du signal souséchantillonné décroît. Indiquer pourquoi le spectre devient périodique. On note D le niveau moyen
atteint par le module du spectre. Trouver la relation entre A, D, ∆f et le nombre d’échantillons N.
5. Relancer la simulation avec un facteur de sous-échantillonnage de 3, puis 4. Imprimer les résultats et
conclure. Il faut se placer dans un cas où le théorème de Shannon n'est pas vérifié. Modifier le zoom
du tracé temporel pour visualiser la partie de la courbe s(t) où le théorème de Shannon est pris en
défaut.
Traitement du Signal
Roger REYNAUD
19/07/2011
ORSAY
2005
Département Mesures Physiques
4 FFTayeur : analyseur de spectre réel
Fonctionnalité : analyseur de spectre (acquisition d'un signal sur deux voies, traitement, visualisation)
Générateur central
2 câbles
PC
Instrument
virtuel
•
PC
Instrument
virtuel
PC
Instrument
virtuel
PC
Instrument
virtuel
Sous Labview chargez le programme c:\eleves\Tds1\fftayeur.vi.
Travail à réaliser
1. Etudiez la représentation temporelle et fréquentielle pour les différents signaux réels acquis
par chaque ordinateur.
Les signaux possibles fournis par l’enseignant sont parmi les suivants : une sinusoïde, un bruit blanc,
un signal périodique (rectangulaire, triangle, ... ), un signal continu, un signal modulé en fréquence,
la combinaison de 2 ou 3 signaux. Comparer les résultats entre le FFTayeur numérique et le
FFTayeur analogique.
2. Etudiez la représentation temporelle et fréquentielle pour différents signaux de paroles
Prononcer o, m, p. Tracer les faces avant du VI.
3. Jeux de signaux inconnus. Quels sont les signaux proposés?
Signal A
Signal B
Type du signal et Arguments
Type du signal et Arguments
Signal C
Signal D
Type du signal et Arguments
Type du signal et Arguments
Signal E
Signal F
Type du signal et Arguments
Type du signal et Arguments
Traitement du Signal
Roger REYNAUD
19/07/2011