Cours de traitement du signal 1993.

Ecole Polytechnique Universitaire de Paris
Spécialité Electronique Informatique ELI, 3ème Année
Cours de traitement
du
signal
PREMIERE PARTIE
ZARADER J.L
2008/2009
2
SOMMAIRE
BIBLIOGRAPHIE ...................................................................... 3
I GENERALITES ....................................................................... 4
1°) - DEFINITIONS. ................................................................... 4
2°) - CLASSIFICATION DES SIGNAUX. .............................................. 5
3°) - QUELQUES SIGNAUX IMPORTANTS. ........................................... 7
II SERIES ET TRANSFORMEE DE FOURIER................................. 10
1°) - SERIES DE FOURIER......................................................... 10
2°) - DISTRIBUTIONS. .............................................................. 13
3°) - TRANSFORMEE DE FOURIER (TF). ........................................ 16
III CONVOLUTION ET CORRELATION ....................................... 21
1°)
2°)
3°)
4°)
5°)
-
CONVOLUTION. ................................................................
CORRELATION. ................................................................
CAS DES SIGNAUX A PUISSANCE MOYENNE FINIE. .......................
ANALYSE SPECTRALE.........................................................
FILTRAGE. .....................................................................
21
26
29
30
36
IV ECHANTILLONNAGE ........................................................... 39
1°)
2°)
3°)
4°)
-
ECHANTILLONNAGE IDEAL...................................................
RECONSTRUCTION DU SIGNAL...............................................
SOUS-ECHANTILLONNAGE. ..................................................
ECHANTILLONNAGE PRATIQUE. .............................................
39
42
43
45
V TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (T.F.D) ....................... 50
1°)
2°)
3°)
4°)
-
TRANSFORMEE DE FOURIER D'UN SIGNAL PERIODIQUE ET DISCRET. ..
TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE (TFD). ...........................
CONVOLUTION DISCRETE. ...................................................
CORRELATION. ................................................................
50
51
56
59
3
Bibliographie
L. Schwartz : " Théorie des distributions " ; Ed. Hermann
E. Roubine : " Distributions Signal " ; Ed. Eyrolles
J. Max : " Méthodes et techniques du traitement du signal " ; 2
Tomes ; Ed. Masson
F. de Coulon : " Théorie et traitement des signaux " ; Ed. Dunod
A. Spatarü : " Théorie de la transmission de l'information " ; Ed.
Masson
M. Bellanger : " Traitement numérique du signal " ; Ed. Masson
M. Kunt : " Traitement numérique des signaux " ; Ed. Dunod
4
I Généralités
1°) - Définitions.
Le signal est la représentation physique d'un phénomène qui
évolue dans le temps ou dans l'espace.
Le traitement du signal (T.S) est une discipline technique
qui a pour objet l'élaboration, la détection et l'interprétation des
signaux porteurs d'informations.
Cette discipline s'appuie sur la théorie du signal qui donne
une description mathématique des signaux.
Cette théorie fait
essentiellement
appel
à
l'algèbre
linéaire,
l'analyse
fonctionnelle, l'électricité et l'étude des processus aléatoires.
Historiquement, le traitement des signaux apparaît au début
d u XX ième s i è c l e , e n m ê m e t e m p s q u e l ' é l e c t r o n i q u e ( F L E M I N G ,
1905, détection et amplification de signaux faibles). On peut
c e p e n d a n t n o t e r d e s p r e m i e r s t r a v a u x a u XIXième a v e c l ' i n v e n t i o n d u
télégraphe électrique (MORSE, COOKE, WHEATSTONE, 1830),
du téléphone (BELL, 1876) et de la radio (MARCONI, POPOV,
1895).
Hormis
la
contribution
apportée
par
FOURIER
(1822,
Travaux sur la propagation de la chaleur), la théorie du signal
apparaît en 1930 avec les premiers travaux de WIENER et
KINTCHINE sur les processus aléatoires, et ceux de NYQUIST et
HARTLEY sur la quantité d'informations transmise sur une voie
télégraphique.
Les contributions essentielles, au traitement du signal et à
la théorie du signal n'interviennent qu'après la seconde guerre
mondiale. Invention du transistor en 1948, travaux de SHANNON
sur la communication, de WIENER sur le filtrage optimal et de
SCHWARTZ sur les distributions.
Les applications du traitement du signal sont nombreuses (
Télécommunication, Géophysique, Reconnaissance des formes,
Biomédical, Acoustique, etc...).
Exemples
* Contrôle Radar:
fondamental.
Ici
l'analyse
fréquentielle
joue
un
rôle
5
* Codage de la Parole: La reconnaissance de la parole nécessite
le traitement d'une grande quantité de données. Le codage permet
de réduire cette quantité, en éliminant les redondances et en
conservant l'information utile.
* Les Télécommunications : Si les 17 Millions d'abonnés au
téléphone étaient reliés 2 à 2 il faudrait (17M)2/2 câbles.
Heureusement les travaux sur la modulation, l'échantillonnage et
la transmission permettent d'émettre, sur une même voie, des
milliers de messages.
2°) - Classification des signaux.
Il existe différents modes de classification :
a) Morphologique : On distingue ici les signaux qui prennent
des valeurs à chaque instant t (Signal continu ) et les signaux qui
n ' o n t d e v a l e u r s q u ' à c e r t a i n s i n s t a n t s ti ( S i g n a l d i s c r e t ) .
x(t)
x(t)
t0
t
Continu
t1
t
0
Discret
b) Spectrale : On classe les signaux suivant la bande de
fréquences qu'ils occupent.
x(t)
x(t)
t
Signal à variations lentes
Signal "Basses Fréquences"
t
Signal à variations rapides
Signal "Hautes Fréquences"
c) Energétique : Les signaux peuvent être à énergie finie ou
à puissance moyenne finie.
6
Les signaux à énergie finie vérifient la condition :
Wx
=
∫
+∞
−∞
x( t ) dt < + ∞
2
On dit aussi qu'ils sont de carré sommable. Les signaux à support
borné, c'est à dire de durée limitée, sont à énergie finie.
Les signaux à puissance moyenne finie sont tels que :
0 < Px
=
⎡1
lim ⎢
T→∞ T
⎣
T
2
T
−
2
∫
x(t)
2
⎤
dt ⎥
⎦
< +∞
Les signaux périodiques sont à puissance moyenne finie.
Remarques :
- U n s i g n a l à é n e r g i e f i n i e a u n e p u i s s a n c e m o y e n n e n u l l e ( Px = 0 ) .
-Un signal à puissance moyenne finie (non nulle) possède une
é n e r g i e Wx i n f i n i e .
On définit, par ailleurs :
- La puissance instantanée ( d'interaction ).
Px ( t ) = x ( t ) x* ( t )
Pxy ( t ) = x( t ) y* ( t )
- La puissance moyenne (d'interaction) sur une durée T.
1
T
1
Pxy ( t 0 , T) =
T
Px ( t 0 , T) =
∫
t0 + T
t0
∫
t0 + T
t0
x( t ) x * ( t ) dt
x( t ) y * ( t ) dt
- L'énergie moyenne (d'interaction) sur une durée T.
Wx ( t 0 , T) = T Px ( t 0 , T)
Wxy ( t 0 , T) = T Pxy ( t 0 , T)
d) Typologique : On distingue ici les signaux suivant que
leur évolution est déterministe ou aléatoire.
Signal déterministe : Un signal déterministe peut être prédit par
un modèle mathématique connu. On distingue deux sous classes :
- Les signaux périodiques x(t) = x(t + T).
- Les signaux non - périodiques.
7
Signal Aléatoire : Le signal aléatoire a un
imprévisible.
On le décrit grâce à des outils
densité de probabilités, moyenne, variance,...).
3°) - Quelques signaux importants.
- P o r t e : Π T (t)
2
Π T (t)
=
2
T⎤
⎧
⎡ T
⎪1 si t ∈ ⎢,
⎨
2 ⎥⎦
⎣ 2
⎪⎩ 0 Ailleurs
Π T (t)
2
1
t
-T
T
2
2
- Echelon d'Heavyside : u(t)
u( t )
⎧1 si t ≥ 0
⎨
⎩0 si t < 0
=
u(t)
1
t
- Signe : sgn(t)
sgn( t )
=
⎧ 1 si t > 0
⎪
⎨ 0 si t = 0
⎪- 1 si t < 0
⎩
comportement
statistiques (
8
sgn(t)
1
t
-1
- T r i a n g u l a i r e : ΛT (t)
Λ T (t)
=
t
⎧
⎪1 si t
⎨
T
⎪⎩ 0 Ailleurs
<
T
ΛT (t)
-T
t
T
- Gaussienne : g(t)
g( t )
=
1
σ y 2π
− t2
e
2σ y2
g(t)
M=
1
σy
2π
61 % M
σy
- Sinus Cardinal : sinc(t)
sinc( t ) =
sin( t )
t
t
9
sinc(t)
1
t
- Règle de l'Hopital :
Soient f(t) et g(t) deux fonctions continues et dérivables en t0 et
telles que :
lim{f ( t )} = lim{ g( t )} = 0 (resp ± ∞)
t → t0
t → t0
Alors:
⎧ f (t) ⎫
lim⎨
⎬
t → t 0 g( t )
⎩
⎭
Exemple :
⎧ sin( t ) ⎫
lim⎨
⎬
t → 0⎩
t ⎭
=
lim{cos( t )}
t→0
=
1
=
⎧ f ' (t) ⎫
lim⎨
⎬
t → t 0 g' ( t )
⎩
⎭
10
II Séries et transformée de FOURIER
On présentera dans ce chapitre les principaux
mathématiques nécessaires au traitement des signaux.
outils
1°) - Séries de FOURIER.
C o n s i d é r o n s l e s f o n c t i o n s gn (t) d é f i n i e s p a r :
g n (t) = e
+ 2 πj
nt
T
= e + 2 πjnν0 t avec, ν 0 =
1
et n ∈ Ζ
T
On peut facilement montrer que ces fonctions sont orthogonales,
c'est à dire :
g n ( t ), g *m ( t )
1
T
=
∫
( T)
g n ( t ) g *m (t) dt =
⎧0 si n ≠ m
⎨
⎩1 si n = m
Dem :
T
2
T
2
( n − m) t
T
g n ( t ), g ( t )
=
1
T
g n ( t ), g *m ( t )
=
1
(e πj( n − m) − e − πj( n − m) )
2 πj(n - m)
*
m
∫
e
2πj
dt
⎧0 si n ≠ m
sinπ(n - m)
= ⎨
π(n - m)
⎩1 si n = m
=
Soit f(t) un signal périodique de période T (T>0). Si f(t)
possède un nombre fini de sauts sur une période, alors il existe
u n e s u i t e Cn t e l l e q u e :
+∞
f (t)
=
∑C
n= - ∞
+∞
n g n (t)
∑C
=
n= - ∞
ne
+ 2 πj
nt
T
Cette série converge vers f(t), si f(t) est continue en t. Elle
1
f (t+ ) + f (t− ) , s i f ( t ) p o s s è d e u n s a u t e n t . L e s C n
converge vers
2
sont couramment appelées raies, composantes ou harmoniques du
signal et se calculent par projection:
Cn
=
f ( t ), g *n ( t )
=
1
T
∫
( T)
f (t) e
− 2 πj
nt
T
dt
11
1
f ( t ) dt
T ∫(T)
- C1 : 1ére H a r m o n i q u e o u f o n d a m e n t a l e d u s i g n a l f ( t ) .
- C n : c o n t r i b u t i o n d e l a n ième h a r m o n i q u e .
- C0 : c o m p o s a n t e c o n t i n u e =
Propriétés :
(f (t) = f * ( t ))
- S i f ( t ) r é e l l e a l o r s C n = C*− n
( f (t) = f * ( t ) = f (-t))
- S i f ( t ) r é e l l e e t p a i r e a l o r s Cn r é e l
- S i f ( t ) r é e l l e e t i m p a i r e a l o r s C n i m a g i n a i r e ( f (t) = - f (-t) = f * ( t ) )
Note : L'expression entre parenthèses est une indication pour la
démonstration.
Exemples :
1 ) S o i t C n u n e s u i t e d é f i n i e p a r : C1 = C −1 =
A
et C n = 0 , si n ≠ (1,-1) .
2
Déterminer f(t)?
+∞
f (t)
=
∑C
n = -∞
n
e
+ 2 πj
nt
T
t
t
A
2 πj
− 2 πj
T
T
(e
+ e
)
2
=
=
A cos(
2 πt
)
T
2) On considère le signal carré périodique f(t) défini par :
f(t)
1
-T
2
t
−τ
τ
T
2
2
2
Calculer son spectre.
τ
Cn
Cn =
=
1
T
1
T
T
2
−T
2
∫
f (t) e
− 2 πj
nt
T
dt
=
⎛ nτ ⎞
sin ⎜ 2π
⎟
⎝ 2T ⎠ = τ sinc (π nτ )
πn
T
T
T
1
T
+τ
2
−τ
2
∫
e
− 2 πj
nt
T
dt =
1
T
⎡ − 2 πj ntT ⎤ 2
⎢e
⎥−τ
⎣
⎦
2
n
− 2 πj
T
12
- L e s i n c c o n s t i t u e l ' e n v e l o p p e d e s Cn
Cn
1
1
-1
τ
τ
-1
1
T
T
n
T
Relation de PARSEVAL :
La relation de PARSEVAL montre qu'il y a "conservation" de
la puissance Pf lorsque l'on passe d'une représentation temporelle
à une représentation fréquentielle. En effet, on a :
1
Pf =< f(t), f (t) >
T
*
∫
( T)
+∞
2
f (t)
dt =
∑C
n = −∞
2
n
Dem :
Pf
1
T
=
∫
(T)
+∞
*
f(t) f ( t ) dt
∑ ∑C
n = -∞ m = -∞
∑
n = −∞
n
C *m < g n ( t ), g *m ( t ) >
2
m
d ' o ù : Pf =
=
+∞
Cn
Exemple :
2πt
) l a p u i s s a n c e e s t Pf =
D a n s l e c a s d u s i g n a l A cos(
T
+∞
∑
n = −∞
2
Cn
=
A2
2
On trouve souvent la décomposition en séries de FOURIER
sur une base de fonctions sinus et cosinus :
f (t)
=
a0
2
+∞
+
⎡
∑ ⎢⎣a
n =1
n
cos(2 π
n
n ⎤
t) + b n sin(2 π t) ⎥
T
T ⎦
Dem :
n
n
⎡
+ 2 πj t
− 2 πj t ⎤
T
T
C
e
+
C
e
∑ ⎢ n
⎥
-n
n = -∞
n = 1 ⎣
⎦
+∞
t ⎤
t
⎡
C 0 + ∑ ⎢(C n +C − n ) cos(2 πn ) + j (C n - C − n ) sin(2 πn ) ⎥
T ⎦
T
n =1 ⎣
+∞
f (t)
=
f (t) =
d'où :
∑ Cne
+ 2 πj
n
t
T
+∞
= C0 +
13
an
bn
2
2πnt
f ( t ) cos(
) dt
∫
(
)
T
T
T
2
2πnt
= j (C n - C − n ) =
f ( t ) sin(
) dt
∫
T ( T)
T
1
Cn =
(a - j b n )
2 n
=
Cn + C− n =
L e s p e c t r e d u s i g n a l , r e p r é s e n t é p a r l e s Cn , p e u t ê t r e d é c o m p o s é
en :
- Un spectre d'amplitude =
- Un spectre de puissance =
- Un spectre de phase =
Cn
Cn
Arg(C n )
1
2
=
a 2n + b 2n
2
=
Arctg(
− bn
)
an
Remarques
- L a d é c o m p o s i t i o n e n Cn i n t r o d u i t l a n o t i o n d e " f r é q u e n c e s
négatives ". Ces fréquences n'ont aucun sens physique, elles
permettent uniquement de simplifier le calcul.
- Dans le cas où le signal f(t) est réel, le spectre d'amplitude est
s y m é t r i q u e c a r C n = C *− n d ' o ù C n = C − n .
2°) - Distributions.
Nous
nous
intéresserons,
dans
ce
paragraphe,
à
la
distribution de DIRAC. Pour de plus amples renseignements sur
la théorie des distributions, on pourra consulter les ouvrages L.
SCHWARTZ et E. ROUBINE.
Les
distributions
généralisent
numériques, en simplifiant certaines
l'analyse classique.
la
notion
de
fonctions
opérations effectuées par
L a d i s t r i b u t i o n d e D I R A C , n o t é e δ( t ) , t i e n t u n e p l a c e
particulièrement importante en traitement du signal. En effet,
elle intervient dans un grand nombre d'applications telles que
l'échantillonnage, la modulation ou le filtrage.
La distribution de DIRAC est aussi appelée Pic ou Impulsion
de DIRAC. Certains auteurs parlent abusivement de "fonction" de
DIRAC et la définissent par :
14
⎧ δ ( t ) = 0 si t ≠ 0
⎪⎪
⎨δ ( t ) = + ∞ si t = 0
⎪ +∞
⎪⎩ ∫- ∞ δ ( t ) dt = 1
Cette définition n'a aucun sens car une fonction presque partout
nulle serait d'aire nulle.
Une approche "plus rigoureuse" consiste à considérer la
d i s t r i b u t i o n d e D I R A C c o m m e l a l i m i t e d e f o n c t i o n s fn ( t ) d ' a i r e
unitaire et de support borné :
⎧ + ∞ f ( t ) dt = 1
⎪∫- ∞ n
⎨
⎪ δ( t ) = lim f n ( t )
n → +∞
⎩
[
]
On peut prendre par exemple une suite de fonctions rectangles :
f (t)
n
n
2
1
n
-1
n
t
Il est évident qu'au passage à
la limite on obtient un
"rectangle infiniment étroit et infiniment haut", mais dont l'aire
reste unitaire.
S i l ' o n c e n t r e l e s f o n c t i o n s fn ( t ) a u t o u r d ' u n
( f n ( t - t 0 )) , l a l i m i t e d o n n e u n p i c d e D I R A C d é c a l é .
δ (t- to )
δ (t)
0
t
Propriétés
- Produit par une fonction f(t) :
δ ( t ) f ( t ) = f ( 0) δ ( t )
δ( t − t 0 ) f ( t) = f ( t 0 ) δ( t − t 0 )
to
t
point
t0
15
Cela signifie que l'aire associée
u n i t a i r e , m a i s v a u t f ( 0 ) o u f ( t0) .
au
pic
de
DIRAC
n'est
plus
- Intégration :
D'après les résultats précédents on a :
∫
+∞
−∞
δ ( t - t 0 ) f ( t ) dt
∫
=
+∞
−∞
δ ( t - t 0 ) f ( t 0 ) dt
= f (t 0 )
et bien sûr
∫
+∞
−∞
δ ( t ) dt
=
∫
+∞
−∞
δ ( t - t 0 ) dt
= 1
Pour en terminer avec les distributions, on citera le peigne
|_ I _ |T ( t ) .
Cette distribution est constituée d'une
de Dirac, noté
suite d'impulsions de Dirac, régulièrement espacées d'une durée
T.
T
-3T -2T -T
+∞
|_ I _ |T ( t ) =
∑ δ(t
0
T
(t)
2T 3T
t
−nT)
n = −∞
Le produit de cette distribution par une fonction f(t) donne
une suite d'impulsions de Dirac d'aire égale à f(nT) :
+∞
f ( t ) |_ I_ |T ( t ) = f ( t )
∑ δ( t
n = −∞
+∞
- nT) =
∑ f ( nT) δ(t
- nT)
n = −∞
O n p o s e : fe ( t ) = f ( t ) | _ I_ |T ( t )
O n d i t q u e fe ( t ) e s t u n e f o n c t i o n é c h a n t i l l o n n é e .
16
(t)
t
-2T
-T
0
T
T
2T
-2T
-T
0
T
2T
t
3°) - Transformée de FOURIER (TF).
La transformation de
FOURIER est une extension de la
décomposition en série de FOURIER, mais pour des signaux
quelconques. Intuitivement on peut considérer un signal non
p é r i o d i q u e c o m m e u n s i g n a l d o n t l a p é r i o d e T → +∞ .
Ainsi la
somme
discrète
et
le
facteur
1/T
intervenant
dans
la
décomposition en série de FOURIER deviennent respectivement
une intégrale, et une petite variation de fréquence df. On définit
la Transformée de Fourier (TF), notée X(f), du signal x(t) par:
∫−∞ x( t ) e−2πjft dt
+∞
= ∫ X( f ) e +2 πjft df
−∞
TF { x( t )} = X( f ) =
TF
-1
{ X( f )}
= x(t)
+∞
X(f) est la superposition d'une infinité de
s'étendent, dans le domaine fréquentiel, de −∞ à +∞.
Exemple :
C o n s i d é r o n s l a f o n c t i o n p o r t e x ( t ) = ∏ τ (t)
2
x( t )
=
τ⎤
⎧
⎡- τ
⎪1 si t ∈ ⎢
,
⎨
2 ⎥⎦
⎣ 2
⎪⎩ 0 Ailleurs
On a :
X( f )
=
∫
+∞
−∞
[e
X( f )
=
x( t ) e
− 2 πjft
]
− 2 πjft
τ
2
−τ
2
− 2 πjf
∫
τ
2
dt
=
=
sin( πfτ)
πf
−
τ
2
e − 2 πjft dt
=
τ sinc( πfτ)
raies
qui
17
X(f)
τ
x(t)
−τ
τ
2
t
f
-1
τ
2
1
τ
Notation :
Dans la suite du cours, les signaux seront représentés par
des minuscules x, s, f, etc..., les TF correspondantes par des
majuscules X, S, F, etc ... Le temps par la variable t ou τ et la
fréquence par f ou ν
Définitions :
- S p e c t r e d ' a m p l i t u d e = X( f )
2
- S p e c t r e ( o u d e n s i t é s p e c t r a l e ) d e p u i s s a n c e = X( f )
⎛ Im
- Spectre de phase = Arctg ⎜
⎝ Re
{X( f )} ⎞⎟
{X( f )} ⎠
= ϕ( f )
Remarques :
- Il est souvent plus aisé d'interpréter certains phénomènes
physiques dans le domaine fréquentiel. C'est l'intérêt essentiel de
la TF (Ex: poursuite Radar).
montre l'existence d'une
- L a s y m é t r i e e n t r e l a TF e t l a TF-1
dualité entre temps et fréquences. Toutes les informations
contenues dans le signal sont contenues dans le spectre.
- La dimension des variables t et f est la seconde et le Hertz.
C e p e n d a n t o n p e u t a u s s i e x p r i m e r c e l a e n m è t r e e t m è t r e -1 , o n
parle alors de fréquences spatiales.
Conditions d'existence de la TF
Une fonction f(t) admet pour transformée de FOURIER la
fonction F(f) si :
a) f(t) bornée
b)
∫-∞
+∞
f ( t ) dt
existe
c) les discontinuités de f(t) sont en nombre limité.
Une grande partie des signaux étudiés répondent à ces
conditions. Ceci est dû, en partie, au fait qu'ils sont observés sur
une durée finie.
18
Attention ces conditions ne sont pas nécessaires lorsqu'il
s'agit
de
distributions.
Les
fonctions
périodiques
ou
les
d i s t r i b u t i o n s δ( t ) e t |_ I_ |T ( t ) o n t d e s T F .
Propriétés :
- L i n é a r i t é : TF e t TF −1 s o n t d e s o p é r a t e u r s l i n é a i r e s .
TF
∀ λ ∈ C , λ x(t) + y(t) ⇔−1 λ . X(f ) + Y(f )
TF
- Similitude : Une dilatation dans le domaine temporel correspond
à une contraction dans le domaine fréquentiel
∀ a ∈ R , f(at) ⇔
1 ⎛f⎞
F⎜ ⎟
a ⎝ a⎠
Dem :
En posant at = t'
∫
+∞
−∞
f (at ) e
− 2 πjft
dt
=
1
Signe(a )
a
∫
+∞
-∞
f (t' ) e
⎛f⎞
− 2 πj⎜ ⎟ t '
⎝ a⎠
dt ' =
1 ⎛f⎞
F⎜ ⎟
a ⎝ a⎠
- Translations :
TF
x( t - t 0 ) ⇔ exp( −2 πjft 0 ) X( f )
TF − 1
X( f - f 0 ) ⇔ exp( +2 πjf 0 t ) x( t )
Dem :
En posant
∫
+∞
−∞
t - t 0 = t'
x( t - t 0 ) e − 2 πjft dt
=
e − 2 πjft 0 ∫
+∞
−∞
x( t ' ) e − 2 πjft ' dt '
= e − 2 πjft 0 X( f )
Démonstration identique pour la translation de fréquence.
- Dérivation en temps :
dx( t )
⇔ 2 πjf X( f )
dt
d n x( t )
⇔ (2 πjf) n X( f )
dt n
Dem:
19
dn
n
d x( t )
dt n
d n x( t )
dt n
=
[∫
+∞
-∞
X( f ) e 2 πjft df
]
d tn
∫
=
+∞
-∞
d n (e 2 πjft )
X( f )
df
d tn
= TF − 1 { (2 πjf ) n X( f )}
- Dérivation en fréquence :
dX( f ) TF −1
⇔ - 2 πjt x( t )
TF
df
n
d X( f )
⇔ (-2 πjt ) n x( t )
df n
- Parité :
Si x(t) est un signal réel et pair alors son spectre X(f) est réel et
pair.
Dem :
t' = - t
+∞
X (f ) = ∫ x ( t )e
− 2 πjft
−∞
+∞
dt = ∫ x (− t )e
− 2 πjft
−∞
↓
dt =
∫
+∞
−∞
x ( t ' )e −2 πj( − f ) t dt '
X(f ) = X( −f ) → X(f ) pair
*
+∞
X(f ) = ⎡ ∫ x ( t )e −2 πjft dt ⎤ = X(f )* → X(f ) réel
⎢⎣ -∞
⎥⎦
Si x(t)
impair.
est
réel
et
impair,
son
spectre
X(f)
est
imaginaire
- Si x(t) est de carré sommable alors X(f) est de carré sommable
Les transformées à connaître
x( t ) = δ ( t ) ⇔ X( f ) = 1
x( t ) = 1 ⇔ X( f ) = δ ( f )
x( t ) = e + 2 πjf0 t ⇔ X( f ) = δ ( f - f 0 )
x( t ) = δ ( t - t 0 ) ⇔ X( f ) = e − 2 πjft 0
[
1 jϕ 0
e δ ( f - f 0 ) + e − jϕ 0 δ( f + f 0 )
2
1 jϕ 0
x( t ) = sin(2 πf 0 t + ϕ 0 ) ⇔ X( f ) =
e δ ( f - f 0 ) - e − jϕ 0 δ ( f + f 0 )
2j
n
1
1 +∞
| _ I_ | 1 ( f ) =
δ (f )
x ( t ) = | _ I_ |T ( t ) ⇔ X ( f ) =
∑
T
T
T n = −∞
T
x( t ) =
cos(2 πf 0 t + ϕ 0 ) ⇔ X( f ) =
[
Ces fonctions seront utilisées fréquemment, par la suite.
Relation de PARSEVAL
]
]
et
20
Cette relation est comparable à celle qui existe pour des
signaux périodiques.
Soit x(t) un signal de carré sommable (ou à énergie finie ) et
qui admet X(f) pour TF, on a :
∫
Wx =
+∞
−∞
2
x( t )
dt
=
∫
+∞
2
X( f )
−∞
df
Dem :
∫
+∞
−∞
2
x( t )
+∞ +∞
∫ ∫
-∞
-∞
dt
=
X( f ) X * ( f ' )
∫ [∫
+∞
+∞
−∞
−∞
[∫
+∞
−∞
X( f ) e
2 πjft
df
]
][∫
+∞
−∞
X( f ' ) e
2 πjf ' t
]
*
df '
dt =
e − 2 πjt ( f ' − f ) dt df df '
L'expression entre crochets est égale à la TF de la fonction unité
, c a l c u l é e à l a f r é q u e n c e f ' - f , s o i t δ( f '− f ) :
∫
+∞
−∞
2
x( t )
dt
=
∫
+∞
−∞
[∫
X( f )
+∞
−∞
]
X * ( f ' )δ ( f '− f )df ' df
avec :
∫
+∞
−∞
X * ( f ' )δ ( f − f ' )df ' = X * ( f )
d ' où :
∫
+∞
−∞
2
x( t )
dt
=
∫
+∞
−∞
2
X( f ) df
2
X( f )
est appelée densité spectrale d'énergie ou parfois,
abusivement, densité spectrale de puissance. On peut montrer de
la même façon que, pour deux signaux x(t) et y(t), l'énergie
d ' i n t e r a c t i o n Wxy v é r i f i e l a r e l a t i o n :
Wxy =
∫
+∞
−∞
x( t ) y * (t) dt
=
∫
+∞
−∞
X(f)Y * ( f ) df
21
III Convolution et Corrélation
1°) - Convolution.
La convolution est un opérateur fondamental en traitement
du signal. Il provient de la théorie des systèmes linéaires et
invariants. Soit h(t) la réponse impulsionnelle du filtre, c'est à
dire la réponse du filtre lorsque l'entrée est un impulsion de
Dirac:
δ(t)
FILTRE
h(t)
La relation entre une entrée quelconque x(t) et la sortie y(t)
du filtre est la convolution:
y(t) = x( t ) * h( t ) =
x(t)
∫
+∞
−∞
x( u) h(t - u) du
Filtre de réponse
Impulsionnelle
h(t)
y(t)
Interprétation
S o i t h1 ( t ) l a r é p o n s e d u s y s t è m e à u n e i m p u l s i o n d e l a r g e u r Δt
1
et de hauteur
. h 1 ( t ) Δt e s t d o n c l a r é p o n s e à u n e i m p u l s i o n d e
Δt
l a r g e u r Δt e t d e h a u t e u r u n i t é .
Décomposons le signal x(t) en
h a u t e u r x ( 0 ) , x ( Δt ) , x ( 2 Δt ) , . . . , x ( k Δt ) .
une
suite
d'impulsions
de
x(t)
x(0)
Δt
x(kΔ t)
kΔt
t
La contribution apportée par chaque impulsion de hauteur
x ( i Δt ) e s t :
22
y ( 0 ) = x ( 0 ) h 1 ( t − 0) Δt ; y ( Δt ) = x ( Δt ) h 1 ( t - Δt ) Δt ; . . . ; y ( i Δt ) = x ( i Δt ) h 1 ( t - iΔt ) Δt .
En appliquant le principe
l'instant t est donnée par :
+∞
∑ x( kΔt ) h ( t
y( t ) =
1
k = -∞
de
superposition,
la
sortie
à
- kΔt ) Δt
S i Δt d e v i e n t t r è s p e t i t a l o r s l ' i m p u l s i o n t e n d v e r s u n p i c d e
D i r a c e t , p a r c o n s é q u e n t , l a r é p o n s e h1 (t) t e n d v e r s l a r é p o n s e
impulsionnelle h(t). On trouve pour y(t):
y( t ) =
∫
+∞
−∞
x( u) h( t − u) du
Propriétés
- Commutativité :
- Distributivité :
:
- Associativité
x(t)*g(t) = g(t)*x(t)
[x(t) + s(t)]*g(t) = x(t)*g(t) + s(t)*g(t)
[x(t)*s(t)]*g(t) = x(t)*[s(t)*g(t)]
+∞
- δ( t ) é l é m e n t n e u t r e : δ( t ) * g ( t ) = ∫ δ(u)g ( t - u ) du = g ( t )
-∞
- δ( t − t 0 ) é l é m e n t d e t r a n s l a t i o n :
+∞
δ( t − t 0 ) * g ( t ) = ∫ δ(u − t 0 )g ( t - u ) du = g ( t - t 0 )
-∞
- Dérivation : (x(t)*y(t))' = x'(t)*y(t) = x(t)*y'(t)
On en déduit que la convolution par le peigne
|_ I_ |T ( t ) a p o u r e f f e t d e p é r i o d i s e r l e s i g n a l . E n e f f e t :
⎡ +∞
⎤
| _ I_ | T ( t ) * g( t ) = ⎢ ∑ δ ( t − nT) ⎥ * g( t ) =
⎣ n = −∞
⎦
+∞
∑ [δ( t − nT) * g( t )]
n = −∞
de
Dirac
+∞
=
∑ g( t − nT)
n = −∞
Exemple :
⎡− T T⎤
. Le produit de
Soit g(t) un signal défini sur l'intervalle ⎢
,
2 ⎥⎦
⎣ 2
c o n v o l u t i o n |_ I_ |T ( t ) * g ( t ) r e s t i t u e u n s i g n a l p é r i o d i q u e :
g(t)*
g(t)
-T
2
T
2
t
- Produit de convolution de Dirac:
(t)
T
t
23
δ( t − t 1 ) * δ( t − t 2 ) = δ( t − t 1 − t 2 )
Exemple :
Soit
x( t ) =
∏
T
2
( t ) et g( t ) =
∏
T
( t − T) . Calculons y(t) .
g(t)
x(t)
1
1
-T
2
t
T
2
2T
t
d'où :
g(t-u)
1
u
t-2T
t
et :
y(t) = x(t) * g(t)
T
-T
2
T
2
3T
2
5T
2
t
Théorème de PLANCHEREL
Soient x(t) et y(t) deux signaux ayant pour transformée X(f)
et Y(f). PLANCHEREL a démontré que :
TF( x( t ) * y( t ) ) = X( f )Y( f )
TF( x( t ) y( t ) ) = X( f ) * Y( f )
Dem :
24
TF{ x( t ) * y( t )} =
∫
+∞
TF{ x( t ) * y( t )} =
∫
+∞
−∞
−∞
⎡ +∞
⎤
x( u) y( t − u) du⎥ e − 2 πjtf dt =
⎣⎢ ∫_ ∞
⎦
∫
+∞
−∞
⎡ +∞
⎤
x( u) ⎢ ∫ y( t − u) e − 2 πjtf dt ⎥ du
⎣ _∞
⎦
+∞
x( u) ⎡⎢ ∫ y( τ) e − 2 πjfτ dτ ⎤⎥ e − 2 πjfu du = X( f )Y( f )
⎣ _∞
⎦
La seconde relation se démontre de la même façon.
Application :
Ce théorème est utilisé dans de nombreuses applications.
Prenons l'exemple du téléphone où le problème est de transmettre
simultanément et sur un même canal de transmission un grand
nombre de messages.
Considérons, dans un premier temps, un message x(t) qui
occupe la bande [-4KHz, 4KHz] (bande passante de la voix
humaine définie par les Télécommunications). Comment translater
son spectre X(f) autour des fréquences fo et -fo?. Pour réaliser
c e l a i l s u f f i t d e m u l t i p l i e r x ( t ) p a r cos( 2 πf0 t ) . D ' a p r è s l e t h é o r è m e
de PLANCHEREL on a :
⎡ δ( f − f 0 ) + δ( f + f 0 ) ⎤
y( t ) = x( t ) cos(2 πf 0 t) ⇔ Y( f ) = X( f ) * ⎢
⎥
2
⎣
⎦
X( f − f 0 )
X( f + f 0 )
y( t ) = x( t ) cos(2 πf 0 t) ⇔ Y( f ) =
+
2
2
X(f)
-4 KHz
4 KHz
f
Y(f)
X(f+fo)
X(f-fo)
-fo-4
-fo
-fo+4
f
fo-4
fo
fo+4
Cette opération est appelée modulation d'amplitude sans
porteuse ( MASP ), bien que fo soit appelée porteuse. Il existe
d'autres types de modulations (fréquence, phase,...). On pourra
consulter sur ce point l'ouvrage de A.SPÃTARU.
25
En conclusion, si l'on désire transmettre simultanément et
s u r u n e m ê m e l i g n e l e s s i g n a u x x1 ( t ) , x 2 ( t ) , .. , x n ( t ) , i l s u f f i t d e
construire le signal y(t) :
y( t ) = x 1 ( t ) cos(2 πf 1 t ) + . . + x n ( t ) cos( 2 πf n t )
o ù f1 , f2 ,..., f n s o n t l e s p o r t e u s e s a s s o c i é e s à x1 ( t ) , x 2 ( t ) , .. , x n ( t ) .
Y(f)
X 2(f-f2)
X 1(f-f1)
2
X 3(f-f3)
2
-f2
-f3
-f1
2
f1
f2
f3
f
E n r é c e p t i o n , p o u r r e t r o u v e r l e m e s s a g e xi ( t ) , i l f a u t f i l t r e r
y ( t ) p a r u n f i l t r e p a s s e - b a n d e [ fi − 4 KHz , fi + 4 KHz ] p u i s d é m o d u l e r l e
signal de sortie du filtre ( translation du spectre autour de
l'origine des fréquences ) afin que le message soit audible.
Relation entre série de Fourier et TF
Soient x(t) un signal périodique de
signal tronqué sur une période défini par :
période
T
⎧
T ⎡
⎡_ T
⎪x( t ) si t ∈ ⎢
,
x T (t) = ⎨
2 ⎢⎣
⎣ 2
⎪⎩ 0 Ailleurs
On a :
x( t )
=
x T ( t ) * | _ I_ |T ( t )
d'où :
X( f )
=
1
X ( f ) | _ I_ | 1 ( f )
T T
T
Soit encore :
(1)
X( f )
=
1
T
+∞
∑X
n = −∞
T
⎛ n⎞ ⎛
⎜ ⎟ δ⎜ f −
⎝ T⎠ ⎝
n⎞
⎟
T⎠
De plus le signal x(t) étant périodique, il s'écrit aussi :
et
xT ( t ) l e
26
+∞
(2)
x( t ) =
∑ Cne
2 πj
n
t
T
+∞
et
X( f )
=
n = −∞
∑C
n = −∞
n
⎛
δ⎜ f −
⎝
n⎞
⎟
T⎠
En comparant les expressions ( 1 ) et ( 2 ) on trouve :
Cn
⎛ n⎞
XT ⎜ ⎟
⎝ T⎠
=
T
Le spectre du signal périodique est donc obtenu, à un facteur
près, après échantillonnage du spectre du signal tronqué.
2°) - Corrélation.
Soient x(t) et y(t) deux signaux à énergie finie, la fonction
d ' i n t e r c o r r é l a t i o n C xy ( τ )
est définie par :
C xy ( τ) =
∫
+∞
-∞
x( t ) y * ( t − τ) dt
Ce produit scalaire mesure les similitudes en forme et
position des signaux. Ces similitudes peuvent évoluer au cours du
t e m p s τ . O n r e m a r q u e d e p l u s , q u e C xy ( τ ) r e s t i t u e l ' é n e r g i e
d ' i n t e r a c t i o n e n t r e l e s s i g n a u x x ( t ) e t y(t - τ ) .
S i C xy ( τ ) = 0 o n d i t q u e l e s s i g n a u x x ( t ) e t y ( t ) s o n t d é c o r r é l é s
ou orthogonaux.
Exemple
Un radar émet une impulsion sinusoïdale x(t) sur un objet fixe et
reçoit le signal bruité y(t).
x(t)
y(t)
Objet
Radar
Emetteur - Récepteur
27
y(t)
x(t)
1
t
t
T
C xy (t)
t
L e m a x i m u m τ0 d o n n e l a d i s t a n c e à l ' o b j e t . E n e f f e t s i v0 e s t l a
vitesse de propagation de l'onde on a :
d
v0τ0
2
=
←
trajet Aller et Retour
S i x ( t ) = y ( t ) , C xx ( τ ) e s t a p p e l é f o n c t i o n d ' a u t o c o r r é l a t i o n d u
signal x(t).
Propriétés
- La fonction d'intercorrélation vérifie la relation :
C xy ( τ) = C *yx ( − τ)
Dem :
+∞
C xy ( τ) =
∫
C xy ( τ) =
[∫
-∞
x( t ) y * ( t − τ) dt
+∞
−∞
+∞
= ⎡⎢∫ x * ( t '+ τ) y( t ' ) dt '⎤⎥
↑
⎣ −∞
⎦
t - τ = t'
]
y( t ' ) x * ( t '−( − τ)) dt '
*
*
d'où:
C xy ( τ) = C *yx ( − τ)
O n e n d é d u i t q u e C xx ( τ ) e s t à s y m é t r i e h e r m i t i e n n e :
C xx ( τ) = C *xx ( − τ)
Et si x(t) est réel sa fonction d'autocorrélation est paire.
- L ' é n e r g i e t o t a l e Wx d ' u n s i g n a l x ( t ) e s t :
Wx
=
∫
+∞
-∞
2
x( t ) dt
=
C xx (0) > 0
28
-Le théorème de Cauchy-Schwartz conduit aux relations suivantes
C xx ( τ)
C xy ( τ)
≤ C xx (0)
2
∀τ
≤ C xx (0)C yy (0)
∀τ
Théorème de Wiener-Kintchine
Soient x(t) et y(t) deux signaux à énergie finie. La TF de la
fonction d'intercorrélation est égale à la densité interspectrale
d'énergie (ou densité spectrale mutuelle ).
{
}
TF C xy ( τ)
= S xy ( f ) = X( f )Y * ( f )
Dem :
{
}
TF C xy ( τ)
∫
=
S xy ( f ) =
∫
+∞
S xy ( f ) =
∫
+∞
−∞
−∞
+∞
-∞
C xy ( τ)e − 2 πjfτ dτ = S xy ( f )
⎡ + ∞x( t ) y * ( t − τ) dt ⎤ e − 2 πjfτ dτ =
⎢⎣ ∫- ∞
⎥⎦
x( t ) e − 2 πjft dt
S xy ( f ) = X( f )
[∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
⎤
⎡
+∞
− 2 πjfτ
*
⎢
x( t ) ∫ y ( t − τ ) e
dτ ⎥ dt
⎥
⎢ -∞
↑
⎥⎦
⎢⎣
t' = t - τ
y * ( t ' ) e + 2 πjft ' dt '
]
y( t ' ) e − 2πjft ' dt '
*
= X( f ) Y * ( f )
S i x ( t ) = y ( t ) a l o r s S xx ( f ) = X( f )
2
.
S xx ( f ) e s t l a d e n s i t é s p e c t r a l e d ' é n e r g i e . C ' e s t u n e f o n c t i o n r é e l l e
positive.
Relation Convolution - Corrélation
S i C xy ( τ ) e s t l ' i n t e r c o r r é l a t i o n d e s s i g n a u x x ( t ) e t y ( t ) a l o r s :
C xy ( τ)
=
x( τ ) * y * ( − τ )
Dem :
{
}
TF C xy ( τ)
d'où
= S xy ( f ) = X( f ) Y * ( f )
{
}
C xy ( τ) = TF − 1 S xy ( f )
avec
= x( t ) * TF − 1 {Y * ( f )}
29
TF − 1 {Y * ( f )} =
∫
+∞
−∞
Y * ( f )e 2 πjfτ df =
[∫
+∞
Y( f )e 2 πjf ( − τ ) df
−∞
]
*
= y * ( − τ)
3°) - Cas des signaux à puissance moyenne finie.
Dans le cas où les signaux sont à puissance moyenne finie,
la convolution s'écrit :
⎧1
lim ⎨
T → +∞ T
⎩
x( t ) * y( t ) =
T
2
T
−
2
∫
⎫
x( u) y( t − u) du⎬
⎭
De même la corrélation est définie par :
⎧1
C xy (τ ) = lim ⎨
T →+∞⎩ T
⎫
T
∫−2T x( t ) y* ( t − τ ) dt ⎬
⎭
2
Si de plus les x(t) et y(t) sont périodiques et de
p é r i o d e T0 , o n p e u t s i m p l i f i e r l e s e x p r e s s i o n s p r é c é d e n t e s :
x( t ) * y ( t ) =
C xy ( τ) =
1
T0
1
T0
∫
∫
même
T0
−
2
T0
x( u) y( t − u) du
2
T0
−
2
T0
x( t ) y * ( t − τ ) dt
2
Densité interspectrale de puissance
La TF de la fonction d'intercorrélation de deux signaux à
puissance moyenne finie est appelée densité interspectrale de
p u i s s a n c e S xy ( f )
{
}
TF C xy ( τ)
= S xy ( f )
Soient x(t,T) et y(t,T) deux signaux à énergie finie définis par :
⎧
⎪x( t ) si t ∈
x( t , T) = ⎨
⎪⎩ 0 Ailleurs
⎧
⎡ T T⎤
−
,
⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ et y( t , T) = ⎪⎨y( t ) si t ∈
⎪⎩ 0 Ailleurs
⎡ T T⎤
⎢⎣− 2 , 2 ⎥⎦
x(t) et y(t) sont tels que :
x( t ) =
lim {x( t , T)}
T → +∞
et y( t ) =
lim { y( t , T)}
T → +∞
Soient X(f,T) et Y(f,T) les transformées de x(t,T) et y(t,T).
On démontre que:
30
S xy ( f ) =
⎧ X( f , T) Y * ( f , T) ⎫
lim ⎨
⎬
T → +∞
T
⎩
⎭
Dem :
L a p u i s s a n c e t o t a l e Pxy e s t :
(1)
Pxy =
∫
+∞
S xy ( f ) df
-∞
Mais aussi :
Pxy =
lim
T → +∞
1
T
T
2
T
2
∫
x( t ) y * ( t ) dt =
lim
T → +∞
1
T
∫
+∞
-∞
x( t , T)y * ( t , T) dt
d'où, en appliquant la relation de PARSEVAL pour les signaux à
énergie finie x(t,T) et y(t,T) :
(2)
Pxy =
lim
T → +∞
1
T
∫
+∞
-∞
X( f , T)Y * ( f , T) df
En identifiant (1) et (2) :
S xy ( f ) =
⎧ X( f , T)Y * ( f , T) ⎫
lim ⎨
⎬
T→∞
T
⎩
⎭
Si x(t) = y(t), la densité spectrale de puissance est:
S xx ( f ) =
2⎫
⎧1
lim ⎨ X( f , T) ⎬
T → +∞ ⎩ T
⎭
4°) - Analyse spectrale.
L'analyse spectrale des signaux tient une place importante
dans un grand nombre d'applications ( Télécommunications,
Géophysique, Biochimie,..). On peut citer comme exemple,
l'analyse spectrale de signaux de parole qui fournit une
indication sur le sexe du locuteur. En effet, les signaux de parole
sont en grande partie voisés (quasi-périodiques). La hauteur de la
fréquence fondamentale est d'environ 100-150 Hz pour un homme,
150-250 Hz pour une femme et peut aller jusqu'à 400 Hz pour un
enfant.
Un autre exemple est celui de la poursuite d'une cible
mobile. Le signal réfléchi par la cible fournit des informations
sur la vitesse et la position de l'objet.
Ambiguïté: Durée d'un signal-Largeur spectrale.
31
En théorie un signal de durée finie ( support borné ) possède
un spectre de largeur infinie ( support infini ). Corrélativement,
un spectre à support borné correspond à un signal de durée
illimitée.
Expérimentalement, le problème est le suivant: "Comment
étudier un signal, sur une durée limitée T ( donc avec un spectre
à support infini ), avec un instrument qui a une bande passante
finie ?". Il est évident que, si la puissance du signal décroît
rapidement en fonction de la fréquence, on a intérêt à utiliser un
instrument dont la bande passante est très supérieure à la bande
utile du signal. L'effet du filtrage ( passage du signal dans
l'instrument ) est alors réduit.
La notion de bande utile est liée à l'application. Soit x(t) un
s i g n a l d ' é n e r g i e t o t a l e Wx e t d e d e n s i t é s p e c t r a l e d ' é n e r g i e S xx ( f ) .
O n d é f i n i t l a b a n d e u t i l e Bu p a r :
ΔF =
et
1
Wx
∫
+∞
−∞
f 2 S xx ( f ) df
avec α choisi arbitrairement.
Bu = 2 α ΔF
Sxx(f)
ΔF
Bu
f
D e m ê m e o n d é f i n i t l a d u r é e u t i l e Du d ' u n s i g n a l x ( t ) p a r :
D u = 2βT
avec β
choisi arbitrairement.
et :
T =
1
Wx
∫
+∞
−∞
t 2 x 2 ( t ) dt
32
2
x (t)
T
Du
t
En utilisant la relation
relation d'incertitude :
de
Cauchy-Schwartz
on
en
déduit
la
B u D u ≥ Cte
Cette relation montre qu'un signal (resp. un spectre)
fluctuations rapides possède un spectre (resp. un signal) large.
à
Dem :
En utilisant la relation de Cauchy-Schwartz :
∫
+∞
−∞
dx( t )
dt
dt
t x( t )
2
∫
≤
+∞
-∞
2
t 2 x( t ) dt
∫
+∞
-∞
2
dx( t )
dt
dt
En intégrant par partie, on trouve :
∫
−∞
1
+∞
t x 2 ( t )] − ∞ −
[
2
dx( t )
dt =
dt
+∞
t x( t )
1
2
∫
+∞
−∞
x 2 ( t ) dt =
-
Wx
2
de plus :
∫
+∞
−∞
dx( t )
dt
2
dt = 4 π 2 ∫
+∞
−∞
f 2 S xx (f) df = 4 π 2 Wx ΔF 2
d'où :
Wx2
4
4TΔF
≤ Wx T 2 4 π 2 Wx ΔF 2
≥
1
π
d' où
D u Bu ≥
αβ
π
Fenêtres d'observation.
L'analyse d'un signal ne peut s'effectuer que sur une durée
f i n i e t 0 , t1 . S i x ( t ) e s t l e s i g n a l i n i t i a l , l e s i g n a l o b s e r v é s ( t )
s'écrit :
33
s(t) = x(t)f(t)
o ù f ( t ) e s t n u l l e e n d e h o r s d e t 0 , t1 . f ( t )
d'observation ou fonction de pondération.
est
appelée
fenêtre
Exemple : Fenêtre rectangulaire
[
⎪⎧1 si t ∈ t 0 , t 1
f (t) = ⎨
⎪⎩ 0 Ailleurs
]
x(t)
s(t) = x(t) f(t)
1
t
t1
t0
t
La fenêtre idéale est celle qui ne modifiera pas le spectre
X(f) du signal x(t), c'est à dire telle que :
S( f ) = X( f ) * F( f ) = X( f )
on en déduit :
F( f ) = δ ( f ) ⇒ f ( t ) = 1
L a f o n c t i o n u n i t é ( f ( t ) = 1) d é f i n i e s u r ] −∞,+∞[ n ' e s t p a s u n e
fenêtre. On en déduit cependant que la transformée de Fourier
d'une fenêtre "satisfaisante", c'est à dire modifiant peu X(f), doit
s'approcher du pic de Dirac.
La fonction Porte
∏
T
2
(t) , a p p e l é e a u s s i f e n ê t r e n a t u r e l l e f u t l a
première utilisée. Sa transformée P(f) est :
⎡
⎤
P(f) = TF⎢∏ T ( t ) ⎥
⎣ 2 ⎦
=
T sinc( πfT)
P(f)
est
constitué
d'un
lobe
principal
et
de
lobes
secondaires. Comme on le verra, toutes les transformées de
Fourier de fenêtres de pondération possèdent un lobe principal et
des lobes secondaires .
34
Lobe principal
P(f)
f1
f
1
T
Lobes secondaires
Pour restituer au mieux le spectre X(f), il faut que le lobe
principal soit le plus étroit possible. De plus pour éviter une
dispersion (leakage) de l'énergie vers des fréquences éloignées,
il faut que les lobes secondaires soient faibles.
Pour
comparer
les
différentes
essentiellement deux critères:
fenêtres
on
utilise
- La largeur de Bande à mi-hauteur : B
- L ' a m p l i t u d e r e l a t i v e d u 1er l o b e s e c o n d a i r e : Q
Q = 20 Log 10
P( f 1 )
P(0)
O ù P ( f1 ) e s t l ' a m p l i t u d e m a x i m a l e d u 1er l o b e s e c o n d a i r e .
1
et Q= -13 dB.
Dans le cas de la fenêtre naturelle on trouve B =
T
B définit la résolution ou pouvoir séparateur du spectre. Si
X ( f ) e s t c o n s t i t u é d e d e u x r a i e s a u x f r é q u e n c e s t r è s p r o c h e s f1 e t
f2 ( f1 − f2 < B ) , i l n e s e r a p a s p o s s i b l e d e l e s d i s t i n g u e r .
S(f)
f1
f2
f
La fenêtre naturelle est peu utilisée, en analyse spectrale,
car elle présente des lobes secondaires de forte amplitude. Un
35
très grand nombre de fenêtres ont été proposées. Celles ci sont
généralement choisies en fonction de l'application.
Fenêtre de Bartlett (1950): Elle correspond à la fonction triangle
Λ T (t) :
2
t
T⎤
⎧
⎡ T
⎪1 - 2
si t ∈ ⎢,
Λ T (t) = ⎨
2 ⎥⎦
T
⎣ 2
⎪⎩ 0 Ailleurs
2
avec:
Λ T (t) =
2
2
T
∏
T
4
(t) *
∏
T
4
(t)
d'où:
⎧⎪
⎫⎪
TF⎨Λ T ( t ) ⎬ =
⎪⎩ 2 ⎪⎭
On a:
B =
T
⎛ T⎞
sinc 2 ⎜ πf ⎟
⎝ 2⎠
2
2
et Q = -26 dB
T
Fenêtre de Hanning : (J. VAN HANN)
Elle est définie par :
2 πt
1
⎧
⎡ T T⎤
⎪H N ( t ) =
(1 + cos
) si t ∈ ⎢- , ⎥
⎨
2
T
⎣ 2 2⎦
⎪⎩ H N ( t ) = 0 Ailleurs
B =
2
et Q = -32 dB
T
H N (t)
-T
2
H N (f ) =
t
T
2
1
1 ⎛
1⎞
1 ⎛
1⎞
⎧
⎫
P( f ) +
P⎜ f + ⎟ +
P⎜ f − ⎟ , avec: P( f ) = TF⎨∏ T ( t ) ⎬
2
4 ⎝
T⎠
4 ⎝
T⎠
⎩ 2 ⎭
36
Fenêtre de Hamming : R.W. HAMMING a étudié une famille de
fonctions définies par:
2 πt
⎧
⎡ T T⎤
⎪H m ( t ) = α + (1 - α ) cos(
) si t ∈ ⎢- , ⎥
⎨
T
⎣ 2 2⎦
⎪⎩ H m ( t ) = 0 Ailleurs
L a v a l e u r d e α q u i m i n i m i s e Q e s t α= 0 , 5 4 . O n a a l o r s B =
Q = -52 dB . P o u r α =
2
et
T
1
, on retrouve la fenêtre de HANNING.
2
5°) - Filtrage.
Soit S un filtre de réponse impulsionnelle h(t). Soient x(t)
l'entrée de ce filtre et y(t) la sortie :
y(t)=h(t)*x(t)
On appelle
échelon.
et
Y(f)=H(f)X(f)
indicielle,
réponse
⎧ 1 si t ≥ 0
h(t) * u(t) avec u(t) = ⎨
⎩0 ailleurs
La réponse indicielle s'obtient
impulsionnelle. En effet :
y ind ( t )
la
réponse
du
filtre
à
un
=
+∞
y ind ( t ) =
∫
y ind ( t ) =
∫
-∞
↑
t' = t - τ
t
-∞
u( τ) h( t − τ) dτ =
∫
en
intégrant
la
réponse
+∞
0
h( t − τ) dτ
h( t ' ) dt '
d'où :
y ind ( t )
=
∫
t
-∞
h( t ' ) dt '
H(f) est la fonction de transfert et H(0), le gain statique du
filtre.
Un filtre est dit réalisable si sa réponse impulsionnelle est
c a u s a l e ( h(t) = 0 , ∀ t < 0 ) . C e c i t r a d u i t l e f a i t q u ' i l n e p e u t y
avoir d'effets avant la cause.
On appelle réponse harmonique, la réponse du filtre à une
entrée de type :
x( t )
alors :
y( t )
d'où :
=
e 2 πjf0 t
=
e 2 πjf0 t * h( t )
37
Y(f) = δ(f-fo)H(f) = H(fo) δ(f-fo)
soit, après transformation inverse :
y( t )
= H(f 0 )e 2 πjf0 t = H ( f 0 ) x( t )
y( t )
= H ( f 0 ) e jϕ ( f0 ) x( t )
Cette relation est intéressante pour l'identification des
systèmes. En effet, lorsque le filtre est inconnu ( Boite Noire ),
i l s u f f i t d e f a i r e v a r i e r f0 e t d ' o b s e r v e r l a s o r t i e y ( t ) p o u r
connaître les caractéristiques fréquentielles du filtre
( H(f ) ,
0
)
ϕ( f 0 ) .
Dérivation :
Soit y(t) la sortie d'un filtre, de réponse impulsionnelle h(t).
y' (t) = x' (t) * h(t) = x(t) * h' (t)
Dem :
TF{ y' ( t )} = Y( f ).2 πjf
{
{
= 2 πjf . X( f ). H ( f )
⎧⎪TF − 1 [2 πjf . X( f )] H ( f )
et ⎨ − 1
⎪⎩TF [2 πjf . H ( f )] X( f )
}=
}=
x' ( t ) * h( t )
h' ( t ) * x( t )
Stabilité :
Un filtre est stable si pour toute entrée bornée, la sortie
reste bornée. On peut montrer qu'une condition nécessaire et
suffisante pour qu'un filtre soit stable est que sa réponse
impulsionnelle soit absolument intégrable :
∫
+∞
−∞
h( τ) dτ existe .
Filtres cascades :
C o n s i d é r o n s N f i l t r e s F1 , F2 , .., FN
h1 ( t ) , h 2 ( t ) , .. , h N ( t ) .
x(t)
h 1 (t)
h 2 (t)
de réponse impulsionnelle
h 3 (t)
hN(t)
N
y( t ) = x( t ) * h 1 ( t ) * h 2 ( t ) * . . . * h N ( t )
et
Y ( f ) = X( f )
∏ H (f )
i
i = 1
Fréquence de coupure :
y(t)
38
L a d é f i n i t i o n d e l a f r é q u e n c e d e c o u p u r e Fc e s t :
En Traitement du signal :
Fc
est telle que :
∀ f > Fc ; H ( f ) = 0 .
En Automatique :
Fc e s t t e l l e q u e : H ( Fc ) = 1 .
En Electronique :
F c e s t t e l l e q u e : H ( Fc )
2
(
Max H ( f )
=
2
2
)
.
39
IV Echantillonnage
1°) - Echantillonnage idéal.
L'évolution constante, observée depuis 15 ans dans le
domaine des circuits intégrés, a transformé le monde des
applications.
En effet, la puissance des calculateurs, et plus
particulièrement des processeurs spécialisés en traitement du
signal, permet de traiter numériquement un grand nombre de
problèmes. Rendant obsolètes certains traitements analogiques.
De plus le numérique autorise des opérations interdites en
analogique (Filtrage Non-Causal, modulation temporelle, ...).
Cette numérisation du signal nécessite dans un premier
temps l'échantillonnage du signal puis sa quantification .
- L'échantillonnage correspond à une discrétisation en temps
du signal.
- La quantification permet d'associer une valeur numérique à
l'échantillon prélevé. C'est une discrétisation en amplitude. Les
valeurs discrètes obtenues sont codées sur un ou plusieurs bits.
x(t)
t
-Te Te 2Te
L'objectif du traitement numérique du signal est d'extraire
les informations contenues dans le signal analogique initial x(t).
Il est donc impératif de conserver ces informations après
échantillonnage. Pour cela nous étudierons les différentes
opérations temporelles et fréquentielles effectuées.
xe ( t )
le
signal
Soient
x(t)
le
signal
analogique
et
é c h a n t i l l o n n é . S o i e n t Te l a p é r i o d e d ' é c h a n t i l l o n n a g e e t Fe = 1 Te l a
f r é q u e n c e d ' é c h a n t i l l o n n a g e . L e s i g n a l xe ( t ) e s t o b t e n u p a r
multiplication de x(t) par un peigne de Dirac.
+∞
x e ( t ) = x( t ) | _ I_ |T ( t ) = x( t ) ∑ δ( t - n Te )
-∞
40
d'où :
+∞
∑ x( nT )δ( t - n T )
x e (t) =
e
n = -∞
e
Pour ne perdre aucune information,
t r a n s f o r m a t i o n ( x( t ) → x e ( t ) ) s o i t r é v e r s i b l e .
il
faut
que
cette
D é t e r m i n o n s l e s p e c t r e Xe ( f ) d u s i g n a l xe ( t ) :
X e (f ) = TF{x e ( t )} = TF{x ( t ) | _I_ |Te ( t )}
X e (f ) = X(f ) * TF{| _I_ |Te ( t )} = X(f ) *
X e (f ) =
1
Te
+∞
⎛
n = −∞
⎝
1
Te
+∞
⎛
n = −∞
⎝
n ⎞
⎟⎟
e ⎠
∑ δ⎜⎜ f − T
n ⎞
⎟⎟
e ⎠
∑ X(f ) * δ⎜⎜ f − T
X e (f ) =
1
Te
+∞
⎛
∑ X⎜⎝ f
n = −∞
−
n⎞
⎟
Te ⎠
C e t t e r e l a t i o n m o n t r e q u e Xe ( f ) e s t o b t e n u e , à u n f a c t e u r p r è s
( 1 Te ) , p a r u n e s i m p l e p é r i o d i s a t i o n e n f r é q u e n c e d u s p e c t r e X( f ) .
L e s p e c t r e e s t r e p r o d u i t t o u s l e s Fe = 1 Te . C e t t e p é r i o d i s a t i o n p e u t
s'effectuer suivant trois cas de figures:
1 ° ) : X( f ) e s t à s u p p o r t b o r n é , s a f r é q u e n c e d e c o u p u r e e s t Fc e t
Fe > 2 Fc .
Te Xe(f)
X(f)
-Fc
Fc
f
-2Fe
-Fe
-Fc
Fc
Fe
2Fe
f
On constate qu'au prix d'un simple filtrage passe-bas idéal,
d e f r é q u e n c e d e c o u p u r e Fe / 2 , o n r e t r o u v e X( f ) , d o n c x ( t ) :
Les informations initiales ne sont pas perdues.
L a t r a n s f o r m a t i o n ( x( t ) → x e ( t ) ) e s t r é v e r s i b l e .
On a correctement échantillonné le signal.
2 ° ) : X( f ) e s t à s u p p o r t b o r n é , s a f r é q u e n c e d e c o u p u r e e s t Fc
Fe < 2 Fc
et
41
X(f)
-Fc
Te Xe(f)
f
Fc
f
Fe 2Fe
-2Fe -Fe
I l e s t c l a i r q u e l e s p e c t r e i n i t i a l X( f ) e s t d é f o r m é .
o b t e n i r X( f ) à p a r t i r d e X e ( f ) , d o n c :
On ne peut pas
Les informations initiales sont perdues.
La transformation est irréversible.
On a mal échantillonné le signal.
Remarque :
S i a p r è s l ' é c h a n t i l l o n n a g e l e s s p e c t r e s t r a n s l a t é s X( f ) s e
chevauchent, on dit qu'il y a repliement spectral, recouvrement
spectral ou encore "aliasing".
3 ° ) : X( f ) e s t à s u p p o r t n o n - b o r n é .
Dans ce cas, il est évident qu'il y aura repliement spectral.
Te Xe(f)
X(f)
f
f
Il apparaît donc impossible d'échantillonner un tel signal.
En pratique, on filtrera le signal x(t) par un filtre passe bas
d e f r é q u e n c e d e c o u p u r e Fc , p u i s o n é c h a n t i l l o n n e r a l e s i g n a l d e
s o r t i e d u f i l t r e à u n e f r é q u e n c e Fe > 2 Fc .
x(t)
Filtre
Passe-Bas
Fc
ye (t)
y(t)
Echantillonneur Fe
T H E O R E M E D E S H A N N O N : " U n s i g n a l x ( t ) à s p e c t r e X( f )
borné sur l'intervalle [-Fc,Fc] est correctement échantillonné si
Fe > 2 Fc . "
Exemple :
x( t ) = cos(2πFo t ) ⇒ Fc = Fo et Fe > 2 Fo .
42
2°) - Reconstruction du signal.
P o u r r e t r o u v e r x ( t ) à p a r t i r d u s i g n a l é c h a n t i l l o n n é xe ( t ) ,
s u p p o s e r a q u e l e s i g n a l a é t é c o r r e c t e m e n t é c h a n t i l l o n n é ( Fe >
) . D é t e r m i n e r x ( t ) r e v i e n t à i s o l e r X( f ) d a n s X e ( f ) . C e c i
p o s s i b l e e n m u l t i p l i a n t X e ( f ) p a r u n e p o r t e e n f r é q u e n c e ∏ Fe ( f )
on
2 Fc
est
de
2
h a u t e u r Te :
X( f )
= Te X e ( f )
∏
Fe
2
(f )
Fe
Te Xe(f)
(f)
1
2
-2Fe
x( t )
x( t )
⎧
TF − 1 {X( f )} = Te TF − 1 ⎨X e ( f )
⎩
⎧
⎫
= Te x e ( t ) * TF − 1 ⎨∏ Fe ( f ) ⎬
⎩ 2
⎭
=
+∞
x( t )
= Te
∑ x( nT )δ( t
e
n = −∞
+∞
x( t )
-Fe
2
-Fe
=
∑ x( nT ) (δ( t
n = −∞
e
Fe
2
∏
Fe
2
Fe
2Fe
f
⎫
( f )⎬
⎭
− nTe ) * Fe sinc ( π Fe t )
− nTe ) * sinc ( π Fe t ))
d'où :
+∞
x( t )
=
∑ x( nT ) sinc (π
n = −∞
e
Fe ( t − nTe ))
C'est la formule d'interpolation de SHANNON.
Remarques :
1°) Cette formule n'est pas utilisable en temps réel car elle
nécessite la connaissance à l'instant t de tous les échantillons
(−∞ → + ∞ ) .
2°)Sur-échantillonner
n'apporte
aucune
information
supplémentaire.
3 ° ) L e s f o n c t i o n s s n ( t ) = sinc ( π Fe ( t − nTe )) s o n t o r t h o g o n a l e s . O n e n
déduit que toute fonction à spectre borné [-Fc,Fc] peut être
d é c o m p o s é e s u r l a b a s e {s n ( t )} .
43
4 ° ) E n s u p p o s a n t sn ( t ) t r è s p e t i t l o r s q u e n c r o î t , o n a p p r o c h e l a
formule d'interpolation en tronquant la formule à un petit nombre
d'échantillons.
x( t )
N
2
≈
∑ x( nT ) sinc (π
e
Fe ( t − nTe ))
N
n=−
2
Formule de POISSON
S o i t X( f ) l a T F d e x ( t ) . S o i t T u n r é e l q u e l c o n q u e , o n a :
+∞
∑ x( pT)
1
T
=
p = −∞
+∞
⎛ q⎞
∑ X⎜⎝ T ⎟⎠
q = −∞
Dem :
+∞
∑
+∞
∑∫
=
x( pT)
p = −∞
p = −∞
+∞
∑
∫
=
x( pT)
+∞
−∞
p = −∞
+∞
−∞
X( f ) e 2 πjfpT df
⎡ +∞
⎤
X( f ) ⎢ ∑ e 2 πjfpT ⎥ df
⎣ p = −∞
⎦
avec
+∞
I( f ) =
∑e
2 πjfpT
⇒
TF
p = −∞
−1
{I( f )}
+∞
=
∑ δ( t
+ pT) =
p = −∞
| _ I_ |T ( t )
Par suite
I( f ) = TF{| _ I_ |T ( t )} =
1
| _ I_ |T ( f ) =
T
1
T
+∞
⎛
∑ δ⎜⎝ f
q = −∞
−
q⎞
⎟
T⎠
d ' où :
+∞
∑
x( pT)
1
T
=
p = −∞
+∞
∑∫
q = −∞
+∞
−∞
q⎞
⎛
X( f ) δ⎜ f − ⎟ df
⎝
T⎠
Soit
+∞
∑ x( pT)
p = −∞
=
1
T
+∞
⎛ q⎞
∑ X⎜⎝ T ⎟⎠
q = −∞
3°) - Sous-échantillonnage.
On
appelle
sous-échantillonnage,
l'échantillonnage
d'un
signal à une fréquence inférieure à celle de SHANNON, c'est à
d i r e t e l l e q u e Fe < 2 Fc . C e c i n ' e s t p o s s i b l e q u e d a n s l e c a s
suivant.
Soit x(t) un signal dont le spectre est nul en dehors des
b a n d e s [ − F0 − B , − F0 + B ] ∪ [ F0 − B , F0 + B ] . ( E x : M o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e
d e p o r t e u s e F0 ) .
44
X(f)
X+
X_
-Fo-B
-Fo
-Fo+B
Fo-B
Fo
Fo+B
f
O n s u p p o s e q u e F0 >> B , l e s i g n a l e s t d i t à b a n d e é t r o i t e .
Selon SHANNON, on devrait échantillonner x(t) avec une
fréquence
Fe > 2 ( F0 + B ) . C e p e n d a n t , o n p e u t e x p l o i t e r l a n u l l i t é
d e s s p e c t r e s e n t r e l e s b a n d e s [ − F0 − B , − F0 + B ] e t [ F0 − B , F0 + B ] , e n
t r a n s l a t a n t l e s m o t i f s X+ e t X− d a n s c e t t e b a n d e e t e n p r e n a n t s o i n
q u e X+ e t X− n e s e c h e v a u c h e n t p a s .
S u p p o s o n s q u e l a k ième t r a n s l a t é e d e X − p r é c è d e X + , s a n s
r e c o u v r e m e n t , e t q u e l a k +1ième t r a n s l a t é e s u i v e X + , t o u j o u r s s a n s
recouvrement :
X(f)
kFe
Fe
X_
-Fo-B
-Fo
X+
-Fo+B
Fo-B
kFe-Fo+B
Fo
Fo+B
(k+1)Fe-Fo-B
Les bornes de ces translatées doivent vérifier les relations :
⎧ k Fe − F0 + B < F0 − B
⎨
⎩( k + 1) Fe − F0 − B > F0 + B
S o i t p o u r Fe , l a c o n d i t i o n :
2 ( F0 + B)
2 ( F0 − B)
< Fe <
k +1
k
Il faut de plus que :
2 ( F0 + B)
k +1
<
2 ( F0 − B)
k
On obtient la condition suivante sur k:
f
45
k <
F0 − B
2B
avec k ∈ N
Exemple :
6
3
S i F0 = 10 Hz et B = 5 10 Hz
alors
2,01 10 6
1, 99 10 6
k<99,5 et
.
< Fe <
k +1
k
Si k = 99 ⇒
20 , 100 KHz < Fe < 20 , 101 Khz
Si k = 24 ⇒
80 , 04 KHz < Fe < 82 , 9 Khz
4°) - Echantillonnage pratique.
En pratique, l'échantillonnage ne peut être réalisé par une
i m p u l s i o n d e D i r a c . L ' é c h a n t i l l o n x e ( kTe ) e s t d o n c o b t e n u p a r
intégration du signal x(t) multiplié par une impulsion de largeur
θ a u t o u r d e kTe .
x e ( kTe ) =
θ
2
θ
kTe −
2
∫
kTe +
x( t ) h( t − kTe ) dt
où h(t) est une impulsion de forme quelconque et nulle en dehors
θ⎤
⎡ θ
,
:
d e l ' i n t e r v a l l e ⎢−
2 ⎥⎦
⎣ 2
h(t)
−θ
2
θ
2
t
d'où :
x e ( kTe ) =
∫
+∞
−∞
x( t ) h( t − kTe ) dt = C xh ( kTe ) = x( τ) * h( − τ) τ = kT
e
C e t t e r e l a t i o n i n d i q u e q u e t o u t e s l e s v a l e u r s x e ( kTe ) s o n t
portées par la fonction g(t)=x(t)*h(-t). Le signal discret xe(t) est
obtenu par échantillonnage idéal de g(t):
x e (t) =
[ x( t ) * h( − t ) ]
| _ I_ |Te ( t )
g(t) peut être considéré comme la sortie d'un filtre, de
réponse impulsionnelle h(-t), excité par x(t). La transformée de
F o u r i e r d e xe ( t ) s ' é c r i t :
46
X e ( f ) = ( X( f ) H * ( f )) *
X e (f ) =
1
Te
+∞
⎛
∑ X⎜⎝ f
−
n = −∞
1
Te
⎛
+∞
∑ δ⎜⎝ f
−
n = −∞
n⎞
⎟
Te ⎠
n ⎞ *⎛
n⎞
⎟ H ⎜f −
⎟
Te ⎠
Te ⎠
⎝
L e s p e c t r e X e ( f ) e s t o b t e n u p a r p é r i o d i s a t i o n d u p r o d u i t X( f ) H * ( f ) .
R e m a r q u e : S i h ( t ) = δ (t) , o n r e t r o u v e l ' é c h a n t i l l o n n a g e i d é a l .
Comme θ est petit, h(t) a un spectre H(f) étendu. Il suffit
donc que la variation de H(f) soit faible pour que X(f) soit peu
modifié.
X(f)
H(f)
-Fc
f
Fc
X(f) H(f)
Cas de l'échantillonneur moyenneur
1
∏ θ2 ( t ) e t H( f ) = sin c ( π f θ) .
θ
avec λ ∈ [0 , 1] e t Fe = 2αFc avec α > 1
D a n s c e c a s h( t ) =
P o s o n s : θ = λ Te
On veut que la distorsion sur X(f) due à H(f), soit inférieure
à 1 % , p o u r l a f r é q u e n c e Fc . C ' e s t à d i r e :
X( Fc ) - X( Fc ) H ( Fc )
X( Fc )
< 1%
Soit:
1 − H ( Fc ) < 1 %
⎛ πλ ⎞
1 − sinc ( π Fc θ) = 1 − sinc⎜ ⎟ < 1 %
⎝ 2α ⎠
⎛ πλ ⎞
d ' o ù sinc ⎜ ⎟ > 0,99
⎝ 2α ⎠
ou encore par développement limité :
1 -
1 ⎛ πλ ⎞
⎜ ⎟
6 ⎝ 2α ⎠
2
> 0,99
⇔
λ
α
< 0,16
47
Exemple : Si on échantillonne à la limite de SHANNON
on a :
α = 1 soit λ < 0,16
L'ouverture
0,16 Te .
θ d e l a p o r t e n e p e u t d o n c ê t r e s u p é r i e u r à λ Te , s o i t
θ < 0,16 Te et Te =
1
2 Fc
θ < 0,16 Te
Te
S i p a r c o n t r e , o n a λ max = 1 alors α =
λ max
0,16
et θ = Te avec Te =
1
13,2 Fc
Application
Une application de l'échantillonneur moyenneur est la
Modulation par Impulsions Codées (MIC). Pour diminuer les coûts
de la transmission téléphonique de signaux numérique, on utilise
un même échantillonneur pour plusieurs voies. On procède de la
façon suivante :
- soient
Te l a p é r i o d e
d'ouverture de la porte et
transmettre.
m (t)
m1(t)
0
d'échantillonnage, θ le temps
m1 ( t ), m2 ( t ), ..., m N ( t ) l e s s i g n a u x à
2
t
Te
Te + θ
θ
m3(t)
2θ
t
t
48
A c h a q u e f i n d ' a c q u i s i t i o n d ' u n é c h a n t i l l o n d u m e s s a g e mi ( t )
l ' é c h a n t i l l o n n e u r c o m m u t e s u r l e m e s s a g e mi +1 ( t ) . O n u t i l i s e a i n s i
l ' é c h a n t i l l o n n e u r d u r a n t t o u t e l a p é r i o d e Te ( = 1 2 5 μ s ) . S i θ = 4 μ s
T
a l o r s l e n o m b r e d e s i g n a u x t r a n s m i s e s t N = e = 30 + 1. C e s y s t è m e
θ
est appelé MIC 30 Voies ( + 1 voie de synchronisation ).
Reconstitution pratique du signal :
De même que l'échantillonnage idéal est irréalisable, la
reconstitution du signal x(t) à partir de la formule d'interpolation
de Shannon est impossible.
On utilise donc des interpolateurs
plus simples. Appelons y(t) le signal reconstitué.
Interpolateur d'ordre 0 ou "Bloqueur ".
y(t) est constant par morceaux.
x(t)
y(t)
t
Te
y( t ) = x e ( kTe )
[
pour t ∈ kTe , ( k + 1) Te
ou encore :
+∞
y( t ) =
∑x
k = −∞
e
Te ⎞
⎛
( kTe ) ∏ Te ⎜ t − kTe −
⎟
2⎠
2 ⎝
Posons
h( t )
=
∏
Te
2
Te ⎞
⎛
⎜t −
⎟ alors :
⎝
2⎠
+∞
y( t ) =
∑x
k = −∞
e
( kTe ) h ( t − kTe )
e
( kTe ) δ ( t − kTe ) * h( t )
+∞
y( t ) =
∑x
k = −∞
y( t ) = x e ( t ) * h( t )
d'où :
Y( f ) = X e ( f ) H ( f )
[
49
Comme pour l'échantillonnage pratique, on remarque que
Xe ( f ) e s t m o d i f i é p a r H ( f ) . L a d i s t o r s i o n s e r a d ' a u t a n t p l u s f a i b l e
que le spectre
H(f )
(=
sinc ( π f Te
)
sera étendu, c'est à dire que
Te
sera petit. On a donc, dans ce cas, intérêt à sur-échantillonner le
signal ( Fe>>2Fc ).
Remarque : Pour avoir Y(f)=X(f), il faut que H(f) soit une porte
de demi-largeur Fe/2. Par conséquent, h(t) doit être un sinus
cardinal. On retrouve la formule d'interpolation de SHANNON.
Interpolateur d'ordre 1.
Les points sont reliés par une droite.
⎡ x e (( k + 1) Te ) − x e ( kTe ) ⎤
y( t ) = x e ( kTe ) + ⎢
⎥ ( t − kTe )
Te
⎣
⎦
x(t)
y(t)
t
50
V Transformée de Fourier Discrète (T.F.D)
1°)
Transformée
de
périodique et discret.
Fourier
d'un
signal
S o i t x ( t ) u n s i g n a l d é f i n i a u x i n s t a n t s kTe , p é r i o d i q u e e t d e
p é r i o d e T = NTe :
+∞
⎧
⎪x( t ) = ∑ x(kTe ) δ(t - kTe )
⎨
k = -∞
⎪⎩ x( t + NTe ) = x(t)
L e s i g n a l t r o n q u é s u r u n e p é r i o d e , xT ( t ) , s ' é c r i t :
N −1
x T (t) =
∑
x(kTe ) δ ( t − kTe )
k=0
d'où
x(t) = x T ( t ) * ⎣⊥⎦ T (t) =
N −1
∑
x(kTe ) δ ( t − kTe ) *
k=0
+∞
∑ δ(t - nT)
n = -∞
Alors
N -1
X(f) =
∑ x(kT ) e
- 2 πjfkTe
e
k=0
X( f ) =
1
NTe
+∞
∑
n = -∞
∑
+∞
∑
n = -∞
⎛
n ⎞
⎟
δ⎜ f NTe ⎠
⎝
nk
⎡
⎤ ⎛
n ⎞
- 2 πj
N
⎢ ∑ x(kTe ) e
⎥ δ⎜ f - NT ⎟
⎣k = 0
⎦ ⎝
e⎠
N -1
N -1
S o i t X( n) =
1
NTe
x(kTe ) e
- 2 πj
kn
N
k=0
X( f ) =
Comme
1
NTe
+∞
⎛
∑ X(n) δ⎜⎝ f
n = -∞
-
n ⎞
⎟
NTe ⎠
prévu, le spectre n'est défini qu'aux fréquences
1
1
( car le signal est périodique (T) ). De plus
=
multiples de
NTe
T
l e s i g n a l x ( t ) é t a n t d i s c r e t ( Te ) , l e s p e c t r e e s t p é r i o d i q u e e t d e
1
= Fe
période
Te
Dem :
51
⎛
1⎞
1
X⎜ f + ⎟ =
Te ⎠
NTe
⎝
+∞
∑
n = -∞
⎛
( N − n) ⎞
⎟
X(n) δ⎜ f +
NTe ⎠
⎝
Si N-n=-n'
⎛
X⎜ f +
⎝
1⎞
⎟ =
Te ⎠
1
NTe
+∞
∑
n' = - ∞
n' ⎞
⎟
NTe ⎠
⎛
X(n'+N) δ⎜ f ⎝
Avec
X( n '+ N ) =
N -1
∑
x(kTe ) e
- 2 πj(n'+N)
k
N
N -1
=
∑
x(kTe ) e
- 2 πj
n' k
N
k=0
k=0
d'où
X( n'+ N ) = X(n' )
et
⎛
1⎞
X⎜ f + ⎟ = X(f)
Te ⎠
⎝
Conclusion : Le spectre X(f) est entièrement défini par les raies
X(n), pour n variant de 0 à N-1.
X(f)
0 1
n
NTe
N-1 N
2°) - Transformée de Fourier Discrète (TFD).
Définition : La transformée de Fourier discrète, sur N points, du
signal discret x(k) est définie par :
T F D N {x(k)} = X(n) =
N -1
∑ x(k) W
- nk
N
k=0
avec
WN = e
2 πj
N
= Facteur de Rotation.
Les notations x(k) (échantillonnage temporel) et
Remarque :
X(n) (échantillonnage fréquentiel) sont abusives. On devrait
écrire:
52
⎧ x( kTe )
⎨
⎩X( n Δf )
a v e c Δf =
1
1
=
NTe
T
Δf e s t l ' é c a r t e n t r e d e u x
résolution ou pas en fréquence
raies
du
spectre.
Δf
est
appelé
Propriétés
N
. WNN k = 1; WN2 = -1
N
. WN2
k
= (-1) k ; WNα k = WNk
α
- L a T F D N {x( k )} e s t p é r i o d i q u e s u r N p o i n t s .
- La formule d'inversion est donnée par :
x( k ) = T F D
-1
N
{X( n)}
= T F D I N {X( n)} =
1
N
N -1
∑
X( n) WN+ nk
n=0
On en déduit que x(k) = x(k+N).
- Si x(k) est réel alors :
N -1
X( N - n) = X(-n) =
∑
x(k) WN+ nk
k=0
⎡ N -1
⎤
X( N - n) = ⎢ ∑ x(k) WN-nk ⎥
⎣k = 0
⎦
*
X( N - n) = X(n) *
Cette propriété est particulièrement importante pour les
applications, car elle permet de diviser par 2 le temps de calcul.
En effet, la connaissance de X(n) pour n allant de 0 à N/2 suffit à
calculer X(n), pour tout n.
Lien entre TF et TFD
Hélas, les signaux physiques ne sont pas aussi coopératifs
(discrets et périodiques). Ils sont le plus souvent quelconques
(continus et apériodiques). Pour étudier ces signaux, à l'aide
d'une TFD, il faut procéder à un échantillonnage, une troncature,
puis une périodisation du signal. On peut alors appliquer la
T.F.D. Ces trois opérations ont pour effet de modifier le spectre
X(f) du signal x(t).
Ex :
S i x ( t ) = e − at u( t ) , a v e c a > 0 e t u ( t ) = é c h e l o n , a l o r s :
53
1
a + 2πjf
X( f ) =
et
1
X( f ) =
a 2 + 4π 2 f 2
Spectre
Signal
x(t)
X(f)
t
f
A p r è s é c h a n t i l l o n n a g e à u n e p é r i o d e Te :
xe (t) = x(t)
0
1
Xe (f) = X(f)*
Te
(t)
Te
t
Te
-Fe
1 (f)
Te
Fe
f
Recouvrement spectral
Après troncature du signal sur N points :
xeTr (t) = xe(t)
0
Te
NTe
2
(N-1)Te
( t - NTe )
2
XeTr (f) = Xe(f)* sinc
t
f
" Clapotis " dû à la convolution par le sinus cardinal
Après périodisation du signal:
54
xeTr (t) *
0
Te
NTe
(t)
1
NTe
t
NTe
0
(f)
1
XeTr (f)
NTe
1
f
(N-1)Te
NTe
NTe
Remarques :
- Si le signal est déjà à durée limitée alors, le clapotis disparaît,
seul le phénomène de recouvrement subsiste.
- Pour atténuer les clapotis on utilise en pratique des fenêtres de
pondération discrètes (Cf Ch.III-4: Analyse spectrale) telles que:
. H a n n i n g = w( k) =
. Bartlett
=
1 ⎡
⎛ 2 πk ⎞ ⎤
1 - cos⎜
⎟ ,
⎢
⎝ N ⎠ ⎥⎦
2 ⎣
w(k) = 1 -
k ∈ 0, N -1
k -N / 2
,
N / 2
k ∈ 0, N -1
L a t r a n s f o r m é e X p ( n) d u s i g n a l x ( k ) p o n d é r é e s t :
N -1
X p ( n) =
∑
w(k) x(k) WN-nk
k=0
Cas des signaux continus périodiques
Prenons l'exemple du signal x(t) défini par :
x( t ) = cos(2 π f 0 t ) a l o r s X( f ) =
[
]
1
δ (f - f 0 ) + δ (f + f 0 ) .
2
A p r è s t r o n c a t u r e d u s i g n a l , s u r u n e d u r é e T = N Te , l e s p e c t r e
X ( f ) e s t l a s o m m e d e d e u x s i n u s c a r d i n a u x c e n t r é s e n f0 e t − f0 .
A p r è s é c h a n t i l l o n n a g e à u n e f r é q u e n c e Fe , l e s p e c t r e d e v i e n t
périodique. X(f) est finalement représenté, sur la bande de
f r é q u e n c e [ 0 , Fe ] , p a r :
55
X(f)
N
2
Fo -
1
NTe
f
Fe-Fo
Fo
Fo +
1
NTe
Deux cas se présentent pour le calcul de la T.F.D.
p
, a v e c p e n t i e r ∈ [0, N - 1] , a l o r s l e s p e c t r e X ( n ) e s t
N Te
donné par :
S i f0 =
⎧⎪ N
si n = p ou n = N - p
X( n) = ⎨ 2
Ailleurs
⎩⎪ 0
D a n s c e c a s l a p ième c o m p o s a n t e c o r r e s p o n d e x a c t e m e n t à l a
n
correspondent alors aux
f r é q u e n c e f0 . L e s r a i e s é l o i g n é e s d e
N Te
zéros du sinus cardinal.
p
, ∀ p ∈ N.
N Te
Dans ce cas X(n) correspond à un échantillonnage de X(f),
tel que :
S i f0 ≠
X(n)
N
2
n
p-1 Fo p
NTe
NTe
périodique sont
p
. C'est à dire si
i d e n t i q u e s , à u n t e r m e d ' a m p l i t u d e p r è s , s i f0 =
N Te
Conclusion:
La
TF
et
TFD
NTe
de
ce
signal
56
l'on tronque
N Te = p T0 ) .
le
signal
sur
un
nombre
entier
de
périodes
(T
=
3°) - Convolution discrète.
Comme nous le verrons, dans le chapitre suivant, il existe un
algorithme de calcul rapide de la TFD appelé Transformée de
Fourier Rapide (TFR). Nous allons essayer, dans ce paragraphe,
de déterminer une relation entre convolution et TFD. Cette
relation permet de considérablement diminuer le temps de calcul
de la convolution, si l'on utilise la TFR.
Cas des signaux périodiques.
Soient x(k) et y(k) deux signaux périodiques et de période
N. Le produit de convolution de ces signaux est donné par :
N -1
z( k ) = x(k) * y(k) =
∑
x(i) y(k - i)
i=0
On peut montrer que la TFD de z(k) est :
Z( n) = T F D {z(k)} = X(n) Y(n)
Dem :
Z( n) = T F D {z(k)}
N -1
∑
Z( n) =
i=0
⎡ N -1
⎤
= ∑ ⎢∑ x(i) y(k - i) ⎥ WN-n k
k = 0 ⎣i = 0
⎦
N -1
⎡ N -1
⎤
x(i) ⎢ ∑ y(k - i) WN-n k ⎥
⎣k = 0
⎦
Posons k - i = k'
N -1
Z( n) =
∑
i=0
⎡ N -1- i
⎤
x(i) ⎢ ∑ y(k' ) WN-n k' ⎥ WN-n i
⎣ k' = -i
⎦
soit S :
N -1- i
S =
∑
-1
y(k' ) WN-n k' =
k' = -i
∑
y(k' ) WN-n k' +
k' = -i
N -1- i
∑
y(k' ) WN-1
k=0
Comme y(k') est périodique sur N points
N -1
S =
∑
k' = N - i
d'où
N -1- i
y(k' ) WN-n k' +
∑
k' = 0
y(k' ) WN-n k'
57
N -1
S =
∑
y(k' ) WN-n k' = Y(n)
k' = 0
Par suite :
N -1
Z( n) =
∑
x(i) WN-n i Y(n) = X(n) Y(n)
i=0
On peut donc calculer le produit de convolution à partir du
calcul de trois TFD, dont une inverse:
{
z( k ) = T F D -1 T F D{x( k )} T F D{ y( k )}
}
Cas des signaux à durée finie.
S o i e n t xT ( k ) e t yT ( k ) d e u x s i g n a u x d é f i n i s r e s p e c t i v e m e n t s u r
Nx e t Ny p o i n t s . P o u r c a l c u l e r l e p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n , à l ' a i d e
d e l a r e l a t i o n p r é c é d e n t e , i l f a u t p é r i o d i s e r xT ( k ) e t yT ( k ) s u r u n e
même période N. On pourra alors calculer les TFD sur les signaux
périodiques et en déduire z(k). Le problème est : "Comment
choisir N?".
Prenons l'exemple de deux signaux définis par:
⎧2 si k ∈ [0,5]
x T ( k) = ⎨
⎩ 0 Ailleurs
⎧1 si k ∈ [0,5]
y T (k) = ⎨
⎩ 0 Ailleurs
;
A v e c Te = 1 e t N x = N y = 6
xT (k)
yT (k)
2
1
k
0 1
k
5 6
0 1
5 6
et :
z T (k) = xT (k) * yT (k)
12
k
0 1
5 6
10
zT ( k ) e s t d é f i n i s u r N ( = 1 1 ) p o i n t s . C ' e s t à d i r e a v e c N = N x + N y - 1 .
Soient x(k) et y(k) les signaux périodiques.
58
- Si N = 11
x(k)
y(k)
2
1
k
0
1
5 6
k
11
0
1
5 6
11
d'où :
z(k) = x(k) * y(k)
12
k
0 1
5 6
10
10
∑
A v e c z( k ) =
x(i) y(k - i)
i=0
- Si N = 6
x(k)
y(k)
2
1
k
0
1
5 6
k
11
0 1
5 6
11
5
d ' o ù z( k ) =
∑ x(i) y(k - i)
= 12
i=0
z(k) = x(k) * y(k)
12
k
0
1
5 6
11
- A l ' é v i d e n c e l e p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n e s t b i a i s é s i N < N x + N y -1
- S i N > N x + N y -1 a l o r s z ( k ) e s t n u l l e p o u r k ∈ N x + N y , N
En conclusion pour calculer le produit de convolution de signaux
à durée finie il faut:
59
P r o l o n g e r xT ( k ) e t yT ( k ) p a r d e s z é r o s j u s q u ' à
k = N - 1 = Nx + Ny - 2.
Calculer les TFD des deux nouveaux signaux.
Calculer la TFD inverse du produit.
En principe le signal z(k) est réel, mais la TFD inverse
restitue, le plus souvent, un signal complexe dont la partie
imaginaire est non-nulle (très petite). Ceci est dû aux
erreurs d'arrondis durant le calcul.
Cas des signaux à énergie finie .
Soient x(k) et y(k) deux signaux à énergie finie. Le produit
de convolution z(k) est donné par :
+∞
z( k ) = x(k) * y(k) =
∑
x(i) y(k - i).
i = -∞
On peut se ramener au calcul par TFD si l'un des signaux est à
durée finie. On utilise alors la technique dite de convolution
sectionnée (Cf.KUNT).
4°) - Corrélation.
Les relations et propriétés de la corrélation sont analogues à
celles établies pour la convolution. Si x(k) et y(k) sont à énergie
finie :
+∞
C xy (k) =
∑
x(i) y * (i - k).
i = -∞
Si x(k) et y(k) sont périodiques et de même période N
N −1
C xy (k) =
∑
x(i) y * (i - k).
i=0
On peut montrer dans ce cas que :
{
}
S xy ( n) = T F D N C xy ( k ) = X( n)Y * ( n)
Si
les
signaux
x(k)
et
y(k)
sont
à
durée
finie,
l ' i n t e r c o r r é l a t i o n C xy ( k ) s ' o b t i e n t e n c a l c u l a n t l e s T F D d e x ( k ) e t
y ( k ) s u r N p o i n t s , a v e c N = N x + N y -1 .
S xy ( n) = T F D N {x( k )} T F D *N { y( k )}