EQUATIONS DIFFERENTIELLES du second ordre

EQUATIONS DIFFERENTIELLES
du second ordre
Exercice 1
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1.
2y 00 − 3y 0 + y = 0
2.
y 00 − 6y 0 + 9y = 0
3.
5y 00 + 4y 0 + y = 0
4.
y 00 − 9y = 0
5.
y 00 + 9y = 0
6.
y 00 − 9y 0 = 0
7.
y 00 + 9y 0 = 0
8.
x00 + 4x0 + 4x = 0
9.
x00 + 4x = 0
10.
x00 + 4x0 = 0
Exercice 2
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle : y 00 + 4y 0 + 4y = 0.
2. Déterminer la solution f vérifiant les conditions f (0) = 4 et f 0 (0) = 1.
Exercice 3
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle : y 00 + 4y = 0.
2. Déterminer la solution f vérifiant les conditions f (0) = 4 et f 0 (0) = 1.
Exercice 4
On considère l’équation différentielle (E) : y 00 + 4y 0 + 13y = 26 ; où y désigne une fonction de
la variable réelle x définie et dérivable sur l’ensemble des réels, y 0 la fonction dérivée de y et y 00
la fonction dérivée seconde de y.
1. Résoudre dans C l’équation z 2 + 4z + 13 = 0.
2. Résoudre l’équation différentielle (E 0 ) : y 00 + 4y 0 + 13y = 0.
3. Déterminer le réel k tel que la fonction constante g définie, sur l’ensemble des réels, par
g(x) = k, soit une solution particulière de l’équation (E).
4. En déduire la solution générale de l’équation (E).
5. Déterminer la solution f de l’équation (E) qui vérifie les conditions :
f (0) = 2 et f 0 (0) = 3
1
Exercice 5
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle E1 : y 00 − y 0 − 2y = 0.
2. Montrer que la fonction f définie par f (x) = −x + 1, est une solution particulière de
l’équation avec second membre E : y 00 − y 0 − 2y = 2x − 1.
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle E.
4. Déterminer la solution f vérifiant les conditions f (0) = 2 et f 0 (0) = 1.
Exercice 6
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle : y 00 − 4y 0 − 5y = 0.
2. Déterminer une fonction f de la forme f (x) = ax + b, solution particulière de l’équation
avec second membre y 00 − 4y 0 − 5y = −5x − 9.
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle : y 00 − 4y 0 − 5y = −5x − 9.
4. Déterminer la solution f vérifiant les conditions f (0) = 4 et f 0 (0) = 1.
Exercice 7
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle : x00 + 2x0 + x = 0.
2. Déterminer une solution particulière de l’équation avec second membre x00 +2x0 +x = 2e−t .
Cette solution est de la forme x(t) = (at2 + bt + c)e−t .
Exercice 8
x2
− x − 1.
2
1. Résoudre l’équation différentielle sans second membre (E 0 ) : y 00 − 2y 0 + y = 0.
On considère l’équation différentielle (E) : y 00 − 2y 0 + y =
2. Déterminer les constantes réelles a, b et c pour que la fonction g définie, sur l’ensemble des
réels, par g(x) = ax2 + bx + c, soit une solution particulière de l’équation (E).
3. En déduire la solution générale de l’équation (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et
3
f (1) = e + .
2
Exercice 9
On considère les équations différentielles :
(E)y 00 − 2y 0 + 2y = 0 et (E 0 )y 00 − 2y 0 + 2y = 2x2 − 2x + 1
où y est une fonction définie et deux fois dérivable sur R de la variable x, y 0 la fonction dérivée
de y et y 00 la fonction dérivée seconde de y.
1. Résoudre l’équation différentielle (E).
2. Déterminer des nombres réels a, b et c tels que la fonction g , définie sur R par g(x) =
ax2 + bx + c soit une solution de (E 0 ).
3. Déduire des deux questions précédentes l’ensemble des solutions de l’équation (E 0 ).
2
Exercice 10
Suspension d’une remorque dans deux cas : système sans amortisseur puis avec amortisseur.
Le centre d’inertie G d’une remorque se déplace sur un axe
vertical dirigé vers le bas ; il est repéré par son abscisse x(t)
en fonction du temps.
Cette remorque peut être assimilée à une masse M , reposant
sur un ressort fixé à l’axe des roues. La remorque étant chargée d’une masse, on enlève cette masse et G se met alors en
mouvement.
1. Système sans amortisseur :
(a) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle M x00 + kx = 0
avec M = 250kg (masse), et k = 6250N.m−1 (raideur du ressort).
(b) Déterminer la solution particulière vérifiant les conditions initiales
x(0) = 0
et
x0 (0) = −0, 10m.s−1
2. Système avec amortisseurs :
(a) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle M x00 + λx0 + kx = 0 avec
M = 250kg , k = 6250N.m−1 et λ = 1500N.s.m−1 (constante d’amortissement).
(b) Déterminer la solution particulière vérifiant les conditions initiales
x(0) = 0 et x0 (0) = −0, 08m.s−1
3