Baccalauréat Blanc 2005 Mathématiques - lycée Descartes

Page 1/5
Bac Blanc 2005 : épreuve de mathématiques
Baccalauréat Blanc 2005
Mathématiques - lycée Descartes - Rabat
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 7 ou 9
L'utilisation de la calculatrice est interdite. La présentation et la qualité
de la rédaction entreront pour une part importante dans l'appréciation
des copies.
Exercice 1
(2 points)
On considère une fonction f dénie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I .
Prérequis : dénitions de la continuité et de la dérivabilité de f en a.
1. Démontrer que, si la fonction f est dérivable en a, alors f est continue au point a.
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer si les deux propriétés citées peuvent être vériées
simultanément ou non. Si la réponse est oui, donner un exemple (un graphique sera
accepté) ; dans le cas contraire, justier la réponse.
• f est continue en a et f n'est pas dérivable en a.
• f n'est pas continue en a et f est dérivable en a.
Exercice 2
(4 points)
Le candidat doit indiquer pour chacune des quatre armations suivantes si elle est Vraie ou
Fausse, sans justication. Chaque réponse juste rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève
1 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est
négatif, la note est ramenée à zéro.
Pour tout entier naturel n, n ≥ 1, on dénit la fonction fn sur l'intervalle I =] − 1 , +∞[ par
fn (x) = xn ln(1 + x)
On désigne par Cn la courbe représentative de fn dans un repère du plan.
1. Pour tout entier n ≥ 1 et pour tout réel x ∈ [0 ; 1], on a fn+1 (x) ≥ fn (x)
2. Pour tout entier n ≥ 1, les courbes Cn et Cn+1 ont un seul point d'intersection.
3. Pout tout n ∈ N∗ ,
fn0 (0) = 0
4. Pour tout entier n ≥ 1, on désigne par an le coecient directeur de la tangente à Cn au
point d'abscisse 1. La suite (an )n∈N∗ est arithmétique.
Page 2/5
Bac Blanc 2005 : épreuve de mathématiques
Exercice 3
(4 points)
Une roue de loterie est divisée en six secteurs
identiques, numérotés de 1 à 6.
Une personne fait tourner la roue devant un repère xe. On suppose que chaque secteur a la
même probabilité de s'arrêter devant ce repère.
À chaque partie le joueur choisit un, deux ou trois numéros sur les 6. Il est gagnant si le secteur
qui s'arrête devant le repère porte l'un des numéros qu'il a choisis.
Le joueur eectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante :
• Il choisit le chire 1 à la première partie.
• S'il perd à la nième partie (n ≥ 1), il choisit uniquement les chires 1 et 2 à la partie
suivante et s'il gagne à la nième partie, il choisit les chires 1, 3 et 5.
Pour n entier naturel non nul, on note pn la probabilité de l'événement An : le joueur gagne
la nième partie.
1. (a) Calculer p1 .
(b) Donner (sans explication) les probabilités conditionnelles PAn (An+1 ) et PAn (An+1 )
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,
pn+1 =
1
1
pn +
6
3
3. (a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,
pn ≤
2
5
(b) Étudier la monotonie de la suite (pn )n∈N∗ , en déduire qu'elle est convergente et
déterminer sa limite.
4. Soit B l'événement : le joueur gagne au moins une fois au cours des 3 premières parties
Calculer la probabilité de B .
Page 3/5
Bac Blanc 2005 : épreuve de mathématiques
Exercice 4
(5 points)
−
−
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; →
u,→
v ) (unité graphique 4 cm)
On désigne par θ un nombre réel tel que −π < θ < π .
On appelle A, M et N les points d'axes respectives 1 ; ei θ et 1 + ei θ .
On désigne par Γ le cercle de centre O et de rayon 1
et par Γ0 le cercle de centre A et de rayon 1.
1. Tracer les cercles Γ et Γ0 . Placer A, M et N dans le cas où θ =
π
6
2. Montrer que N appartient à Γ0 et donner la nature du quadrilatère OAN M .
3. Écrire 1 + ei θ sous forme exponentielle.
4. On pose u = 1 + ei θ avec −π < θ < π
(a) Montrer que u est solution dans C de l'équation d'inconnue z :
z 2 − (2 + 2 cos θ) z + (2 + 2 cos θ) = 0
En déduire la seconde solution de cette équation.
(b) Quelles sont les solutions dans C de l'équation z 2 − 3z + 3 = 0 ?
5. On considère l'équation (E) d'inconnue z :
z2 − a z + a = 0
où a est un nombre réel tel que 0 < a < 4.
On nomme R le point d'axe a et T le milieu du segment [OR].
→
La perpendiculaire à l'axe réel (O; −
u ) passant par T coupe Γ0 en deux points U et U 0 .
Montrer que les axes de U et U 0 sont les solutions de (E).
Page 4/5
Bac Blanc 2005 : épreuve de mathématiques
Exercice 5
(5 points)
Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A : chirement de Hill par bloc de deux lettres
Principe du chirement de Hill :
• On écrit le message à chirer en supprimant les espaces et la ponctuation.
• On découpe le message obtenu par bloc de deux lettres.
Si le message comporte un nombre impair de lettres, on convient de rajouter la lettre x.
• À chaque lettre, on associe un entier selon le tableau suivant :
A
0
O
14
B C D
1 2 3
P Q
15 16
E
4
R
17
F
5
S
18
G
6
T
19
H
7
U
20
I J K
8 9 10
V W
21 22
L
11
X
23
M
12
Y
24
N
13
Z
25
• Pour un couple de lettres, on associe un couple (x, y) d'entiers selon le tableau ci-dessus.
• On calcule le couple (c, d) où c et d sont les restes respectifs de la division de 2x + 3y et de
x + 2y par 26.
• À ce couple d'entiers, on associe le couple de lettres en utilisant le tableau ci-dessus.
Par exemple, pour le message PG, on obtient le couple (x, y) = (15, 6) .
On calcule 2 × 15 + 3 × 6 = 48 ≡ 22 mod 26 et 15 + 2 × 6 = 27 ≡ 1 mod 26.
Au couple (c, d) = (22, 1) , on associe le message chiré WB
1. Coder le message PGCD
2. (a) Prouver que
2x + 3y ≡ c mod 26
⇐⇒
x + 2y ≡ d mod 26
2c − 3d ≡ x mod 26
−c + 2d ≡ y mod 26
(b) On vient de recevoir le message secret codé MXDH. Déchirer ce message pour
le rendre intelligible.
Partie B
Soit f la fonction dénie pour x ∈ Z \ {−2} par f (x) =
2x + 3
x+2
1. Chercher tous les x ∈ Z tels que f (x) ∈ Z.
2. On considère la suite (un )n∈N dénie par
u0 = 2
un+1 = f (un ) pour n ∈ N
On dénit deux suites (pn )n∈N et (qn )n∈N par p0 = 2, q0 = 1 et par les relations de
pn+1 = 2pn + 3qn
récurrence
pour n ∈ N
qn+1 = pn + 2qn
(a) Prouver, par récurrence sur n, que pn et qn sont des entiers naturels non nuls et que
un =
pn
qn
(b) Prouver que pour tout entier naturel n, on a p2n − 3qn2 = 1
En déduire que pn et qn sont premiers entre eux.
(c) Trouver trois couples (x, y) d'entiers naturels solutions de l'équation x2 − 3y 2 = 1
Page 5/5
Bac Blanc 2005 : épreuve de mathématiques
Exercice 6
(5 points)
Réservé aux candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques.
On considère les deux suites réelles (un )n∈N et (vn )n∈N dénies par:
u0 = 4
v0 = 0


 un+1 = 1 un − 1 vn
2
4
1

 vn+1 = un + vn
2
1. (a) Calculer u1 , v1 , u2 , v2 , u3 et v3 .
(b) La suite (un ) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique?
2. Soit λ un nombre complexe donné. On considère la suite (tn )n∈N dénie par :
tn = un + λ vn
(a) Écrire tn+1 sous la forme A un + B vn où A et B ne dépendent que de λ.
1
(b) On suppose dans cette question que λ2 = − .
4
Montrer que la suite (tn ) est géométrique.
3. On dénit la suite de nombres complexes (an )n∈N par :
1
an = u n + i × v n
2
(a)
(b)
(c)
(d)
À l'aide de la question 2 , expliquer pourquoi la suite (an ) est géométrique.
Soit q ∈ C la raison de cette suite. Calculer a0 , a1 puis q .
Écrire q sous forme exponentielle.
Prouver que, pour tout entier naturel n,
an = 4
1
√
2
n
π
ei n 4
(e) En déduire un en fonction de n. Déterminer lim un
n−→+∞