Correction – Devoir Surveillé n°04

Correction – Devoir Surveillé n°04
Exercice 1 : [Seul exercice où l'on répond sur le sujet] Résoudre graphiquement sans justifier :
1.1)
g  x=0
S ={−3 ; 0 ; 3,5 }
1.2)
g  x=2
S ={−2 ; 3,8 ;6}
2.1)
g  x1
S = [−4 ;−2,5 [ ∪ ]−1 ; 3,7 [
2.2)
g  x≥4
S =[ 8 ; 9 ]
Exercice 2 : Soit f, g et h trois fonctions définies sur ℝ par f  x =−2 x3 ; g  x =3 x 26 x et h  x =
1) Calculer l'image de 3 par h. Calculer
L'image de 3 par h : h 3=
g −3 . Calculer
3 x –1
.
2
x 1
f 5 .
3×3 – 1 9 – 1 8 4
=
= = =0,8
2
91 10 5
3 1
2
g −3=3×−3 6×−3=3×9 – 18=27 – 18=9
f 5=−2×53=−103=−7
2) Expliquer si le point A2 ;−1 appartient à la courbe représentative de g ou non.
2
g 2=3×2 6×2=3×412=1212=24≠−1 donc
A∉C g ( C g désigne la courbe représentative de g).
3) Calculer les antécédents de 1 par f.
Cela revient à résoudre
2
f  x =1⇔−2 x3=1 ⇔3 – 1=2 x ⇔ 2=2 x ⇔ =x ⇔1= x .
2
Donc 1 est l'antécédent de 1 par
f .
4) Calculer les antécédents de 0 par g.
On résoud g  x =0⇔3 x26 x=0 ⇔3 x×x2×3 x=0 ⇔3 x  x2=0⇔ 3 x=0 ou x2=0 ⇔ x=0 ou x=−2 .
Les antécédents de g sont −2 et 0 .
Exercice 3 : On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f.
1) Donner l'ensemble de définition de
f .
D f =[ −4 ; 7 ]
2) Déterminer l’image de 5 par la fonction
Image de 5 par
f : on trace la droite d'équation
x=5 , et on
Cf :
regarde l'ordonnée du point d'intersection avec la
De la même façon,
f −4 .
f . Donner
f 5=−1 .
f −4=5 .
3) Déterminer les antécédents de 0 et de -2 par la fonction
f .
Antécédents de 0 par f : on trace la droite d'équation y=0 , et on regarde les abscisses des points d'intersection
avec C f : on a 2 points d'intersection de coordonnées (4 ; 0) et (7 ; 0) donc les antécédents de 0 par f sont 4 et 7.
Antécédents de -2 par
f : on trace la droite d'équation
y=−2 , et on regarde les abscisses des points
d'intersection avec C f : il n'y a pas de point d'intersection donc -2 n'a pas d'antécédents par
f  x =2 , puis résoudre l’inéquation
4) Résoudre graphiquement l’équation
Résoudre
f  x =2 revient à chercher les antécédents de 2 par
et on regarde les abscisses des points d'intersection avec
sont au dessus de la droite
5
-2

1
1
S= {−3 ;−1 ; 3 } .
4


-1
f est -1 atteint pour
S=[ −4 ;−3 [ ∪ ] −1 ; 3[ .
7

0
f . Préciser en quelle(s) valeur(s) il est atteint.
On regarde la point de C f le plus bas (sur
D f =[ −4 ; 7 ] ) : c'est le point de coordonnées (5 ; -1) donc le
x=5 .
Exercice 4 : Dresser le tableau de variations et le tableau de signes pour chaque fonction :
x
f
x
h

−5
f x
x
−2,1
–5
4,8
−3
2,1

−4
+
−1
0
y=2
f .
5
6) Quel est le minimum de la fonction
minimum de
C f : on trouve
y=2 ; on va donc trouver des intervalles de solutions :
5) Etablir le tableau de variation de la fonction
f x
f , on trace donc la droite d'équation
y=2 , et l'on regarde les abscisses des points de la courbe C f qui
2. Pour cela on trace la droite d'équation
-4
f  x 2 .
f  x 2 revient à chercher les x (de D f ) dont l'image est strictement plus grande que
Résoudre l’inéquation
x
f .
0
−2,9

1
–
−0,3

0,6
5
0
3
+
1,2

−1,1
−7,2
5
0
–
2,1

−1,5
3

2,4
f et h .
x
hx
−1
0
Exercice 5 : Soit
x
f x
2,7
–
0
+
f une fonction définie sur [– 10 ; 10] dont le tableau de variations est ci-dessous.
−6
−10
−3
3

5
−1

1) Déterminer le nombre de solutions à l'équation
3
10

3
10

1
f  x =2 sur [– 10 ; 10] .
Si il y a des solutions, donner les intervalles (les plus précis) où se trouvent ces solutions.
Comme
2∈ ]−3 ;5 [ , il existe une unique solution α ∈ ] −10 ;−6 [ à l'équation
Comme
2∈ ] 1 ;10 [ , il existe une unique solution
β∈ ] 3 ; 10 [
à l'équation
f  x =2 .
f  x =2 .
On remarque 2∉ [ 3 ;5 ] et 2∉ [ 3 ;10 ] , donc il n'y a pas de solution à l'équation f  x =2 sur l'intervalle [ −6 ;3 ] .
Conclusion : Il existe exactement 2 solutions à l'équation
f  x =2 sur [– 10 ; 10] , l'une dans l'intervalle
] −10 ;−6 [ et l'autre dans l'intervalle ] 3 ; 10 [ .
2) Quel est le maximum de f sur [– 10 ;10] et en quelle(s) valeur(s) est-il atteint ?
Le maximum de f sur [– 10 ; 10] est 10, il est atteint pour
x=3 .
3) Quel est le minimum de f sur [– 10 ;10] et en quelle(s) valeur(s) est-il atteint ?
Le minimum de f sur [– 10 ; 10] est −3 , il est atteint pour
x=−10 .
Exercice 6 : Soit f une fonction dont on donne le tableau de valeurs ci-dessous :
x
f x
1) Donner
−4
−3
−2
−1
0
1
2
2
0
−3
2
5
2
−3
f 2 et l'image de −3 par f.
f 2=−3 , et l'image de −3 par f :
f −3=0 .
2) Donner les antécédents de −4 par f.
Il n'y pas d'antécédants à −4 par f.
3) Donner les antécédents de
2 par f.
Les antécédents de 2 par f sont : −4 ; −1 et 1 .
Exercice Bonus : Combien de triangles
Combien de triangles comptez-vous sur cette figure ?
12 petits triangles
6 triangles moyens (formés de 4 petits triangles)
2 grands triangles (formés de 9 petits triangles).
Au total, sur cette figure, on compte 20 triangles (=12+6+2).
FIN DE LA CORRECTION