COMMENT CALCULER UNE LIMITE Début de Terminale Ø Il faut d

COMMENT CALCULER UNE LIMITE
Début de Terminale
1
avec n entier naturel, et x.
xn
Dans les cas usuels, si a n’est pas un valeur interdite de la fonction f lim f (x) = f (a), il suffit donc de
Ø Il faut d’abord connaître les fonctions de référence : x n et
x→a
remplacer x par a.
x n (n ∈IN *)
0
f (x)
lim f
x→0
1
(n ∈IN *)
xn
lim +f (x) + ∞
f (x)
x
0
x→0
(x)
1
(n ∈IN *,
xn
n pair)
+∞
lim - f (x)
f (x)
x→0
1
(n ∈IN *,
xn
n impair)
-∞
x n (n ∈IN*) 1
( n ∈ IN)
xn
lim f (x)
+∞
0
x→+∞
f (x)
f (x)
lim f(x)
x→–∞
x n (n ∈IN *, n
pair)
+∞
x n (n ∈IN *, n
impair)
-∞
1
( n ∈ IN *)
xn
0
Ø Il faut ensuite connaître quelques règles : lim +
x→0
Si f(x) et g(x) ont une limite quand x → a a étant un nombre ou + ∞ ou – ∞.
Limite de f (x) + g(x)
On ajoute les limites en suivant les règles « l et l’ donnent l + l’ »
« l et + ∞ donnent + ∞ »
« l et – ∞ donnent – ∞ »
« + ∞ et + ∞ donnent + ∞ »
« – ∞ et - ∞ donnent - ∞ »
« + ∞ et – ∞ ne donnent rien », c’est une forme indéterminée il faut
simplifier ou mettre le terme de plus haut degré n facteur dans le cas d’un polynôme.
Limite de k f (x) .
On multiplie la limite par k en suivant les règles : « l donne k.l » et « ∞ donne ∞ » en respectant la règle des
signes d’un produit.
Limite de f (x) x g(x)
On multiplie les limites en suivant les règles
« l et l’ donnent l x l’ »
« l ≠ 0 et + ∞ donnent + ∞ si l est positif et – ∞ si l est négatif »
« l ≠ 0 et – ∞ donnent – ∞ si l est positif et + ∞ si l est négatif »
« + ∞ et + ∞ donnent + ∞ »
« + ∞ et – ∞ donnent – ∞ »
« – ∞ et – ∞ donnent +∞ »
« ∞ et 0 ne donnent rien, c’est une forme indéterminée ».
Limite de 1/ f (x) .
On prend l’inverse de la limite de f (x)
« l ≠ 0 donne 1/l »
« + ∞ ou – ∞ donnent 0 »
« 0 + donne + ∞ et 0 – donne – ∞ »
Ø cas des forme indéterminées.
v Dans le cas d’un polynôme, pour trouver la limite en + ∞ ou en – ∞, et seulement dans ce cas, on
met le terme de plus haut degré en facteur.
Exemple : calculer xlim
3 x² – 2 x + 5.
→ +∞
c’est une forme indéterminée « + ∞ – ∞ + 5 »
3 x² – 2 x + 5
3 x² 2 x 5 
 2 5
3 x² – 2 x + 5 = x ² 
 = x²  x² – x² + x² = x² 3 – x + x².
x²






quand x → + ∞
3 → 3
3 – 2 + 5  → 3
1/x →0 donc -2/x → 0

x x²

1/x² → 0 donc 5/ x² → 0
lim f (x) = + ∞
x → +∞
x² → + ∞
v Dans le cas d’une fonction rationnelle, pour trouver la limite en + ∞ ou en – ∞, et seulement dans
ce cas, on met le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au dénominateur.
Exemple : calculer x lim
→–∞
3 x² - 5 x + 7
=
2x-5
x² (
3 x² - 5 x + 7
. Forme indéterminée.
2x-5
3 x² – 5 x + 7
3 x² 5 x
7
)
x² (
–
+ )
x²
x²
x²
x²
=
=x
2x–5
2x 5
x(
)
x(
– )
x
x
x
5 7
3– +
x x²
5
2–
x
Quand x → – ∞
3 → 3
- 5/x → 0
5 7
→ 3
3– +
x x²
7/ x² →0
2
→
5
2 – → 2
x
2
- 5/x → 0
5 7
3– +
x x²
5
2–
x
→
3
2
lim
x→–∞
3 x² - 5 x + 7
=–∞
2x-5
x → – ∞
5x+7
c’est encore une forme indéterminée
2 x² - 5 x + 4
7
7
x( 5+ )
5+
x
x
5x+7
1
=
=
2 x² - 5 x + 4
5 4
x
5 4
x² ( 2 – + )
2– +
x x²
x x²
Quand x → – ∞
5 → 5
7
7/x → 0
5 + → 5
x
7
5+
2 → 2
x
5
→
5
5 4
5 4
2
- → 0
2 – + → 2
2– +
x
x x²
x x²
4
→ 0
x²
1
→ 0
x
Exemple : calculer x lim
→–∞
lim
x→–∞
5x+7
=0
2 x² - 5 x + 4
Ø Autres formules.
Si pour x assez grand
f (x) ≥ g(x) et si xlim
g(x) = + ∞ alors xlim
f (x) = + ∞.
→ +∞
→ +∞
f (x) ≤ g(x) et si xlim
g(x) = – ∞ alors xlim
f (x) = – ∞.
→ +∞
→ +∞
u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) et xlim
u(x) =xlim
v(x) = l alors xlim
f(x) = l
→ +∞
→ +∞
→ +∞
Asymptotes

→ 
→
Soit la courbe C représentant une fonction f dans un repère (O, i , j ).
Si xlim
f (x) = a ou xlim
f (x) = a alors la droite d’équation y = a est asymptote horizontale à la courbe, cela
→ +∞
→ –∞
signifie que lorsque x → + ∞ ou x → – ∞ la courbe se rapproche de cette droite.
Si lim + f (x) = + ∞ ou – ∞ ou si lim – f (x) = + ∞ ou – ∞ alors la droite d’équation x = a est asymptote verticale
x→a
x→a
à la courbe.
Soit la droite D d’équation y = a x + b.
Si xlim
( f (x) – (a x + b) ) = 0 ou si xlim
( f (x) – (a x + b) ) = 0 alors la droite D est asymptote oblique à la courbe.
→ +∞
→ –∞
x² + x – 1
sur ] – 2 ; + ∞[ représentée par la courbe C.
x+2
Démontrer que la droite D d’équation y = x – 1 est asymptote à la courbe en + ∞ .
Exemple : Soit f définie par f (x) =
x² + x – 1
x–1
x² + x – 1 (x – 1) ( x + 2)
–
=
–
=
x+2
1
x+2
x+2
( x² + x – 1) – ( x² + 2 x – x – 2) x² + x –1 – x² – 2 x + x + 2
1
=
=
x+2
x+2
x+2
→
quand x
+∞
1
→ 0
x + 2 → + ∞ donc
x+2
lim [ f (x) – ( x – 1) ] = 0 donc la droite D est asymptote oblique à la courbe C.
x → +∞
On calcule f (x) – ( x – 1) =
M
P
H
HM = f (x) et HP = x –1
o
PM = f (x) – (x – 1); plus x devient grand, plus PM devient petit, plus la courbe se rapproche de la droite.
sur ] - 2 ; + ∞[ , x > – 2 donc x + 2 > 0 donc f (x) – (x – 1) =
droite.
1
> 0 donc la courbe est au-dessus de la
x+2