f1(x)=ln(x2 + 1) f2(x)=ln(x2 +36) f3(x)=ln(x2 + 9) f4(x)=e−x2 f5(x)=e
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f1(x)=ln(x2 + 1) f2(x)=ln(x2 +36) f3(x)=ln(x2 + 9) f4(x)=e−x2 f5(x)=e
Université de Nice Sophia Antipolis L1 Sciences économiques - Gestion Mathématiques 2 (DL1EMA2) - Unité U5 Année 2006/2007 ———————–———————–———— Enseignant: J. YAMEOGO Chargés de TD: E. AUBRY, F. BARKATS, M. VIRAT ———————–———————————–————– Feuille TD Nř1 - semaine du 5 février 2007 Exercice 1. (révision) a) a, b et c étant des nombres réels fixés, on suppose a 0. Rappeler la règle du signe du trinôme (de la variable réel x) T = ax2 + bx + c. b) Dans la liste des fonctions définies par les formules ci-dessous, dites lesquelles sont convexes sur l’intervalle [2, 5]. Justifiez votre réponse. f1(x) = ln(x2 + 1) f2(x) = ln(x2 + 36) f3(x) = ln(x2 + 9) f4(x) = e − x2 2 f7(x) = x + f5(x) = e 1 x −3 x2 7 f8(x) = x − x2 f6(x) = e 3 x − 12 7 f9(x) = x − x Exercice 2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, Ii , Ij ), a) dessiner sur l’intervalle [1, 3], les graphes des fonctions suivantes: • f1: [1, 3] • f2: [1, 3] • f3: [1, 3] f4: [1, 3] • R; x R; x R; x R; x 3 1+ x 11x − 3 2x x+7 2 −x+5 b) Sans les calculer, comparer les quatre intégrales suivantes: I1 = Z 3 Z 3 Z 3 I2 = f2(x)dx, I3 = f3(x)dx, I4 = f4(x)dx . 1 1 Z 3 f1(x)dx, 1 1 Justifiez votre réponse. Exercice 3. a) Dessiner dans un repère orthonormé, le graphe de la fonction f : [1, 5] R R définie par définie par f(x) = x2 − 6x + 8 puis celui de la fonction g: [1, 5] g(x) = f (x). b) Calculer l’aire A du domaine D = (x, y) ∈ R2 /1 6 x 6 5, 0 6 y 6 g(x) . 1 −π π , ] R, définie par f (x) = |sin(x)|. 2 2 p Dessiner le graphe de f et calculer la primitive F de f qui prend la valeur 1 en . Exercice 4. Soit f : [ 2 Exercice 5. x + 15x8. On considère la fonction réelle f définie par f(x) = q 1 2 2 3 + 2x a) Dans la liste (F1, F2, F3, F4) ci-dessous, trouver une fonction qui soit une primitive de f : ! r r 1 2 1 5 5 9 F1 = 2 3+ x F2 = 3 + x2 + x9 + 15, + x, 2 2 3 3 ! r √ 5 1 5 6 + x2 + x9 + 8, F4 = ln 3 + x2 + x9. F3 = √ 3 2 3 2 (Vous devez justifier votre choix) b) Calculer I1 = Z 1 f(x)dx et I2 = Z 1 f(x)dx. 0 −1 Exercice 6. Calculer des primitives pour les fonctions suivantes: √ √ 5 1 f1(x) = 3x( x − 23 x ), f2(x) = − x2 + 4x + − 3 , x x f3(x) = 7x2 − x + 2 √ , x f4(x) = 1 3√ x−√ 2 x Exercice 7. Calculer les intégrales suivantes: Z 1 Z 1 i1 = |2x2 − 3|dx, i2 = (2x2 − 3)dx, 0 −1 2 . i3 = Z 1 −2 (x3 − x)dx. ------------------------------------------------------- 2