diagramme de Karnaugh

MVA003
Combinatoire, probabilités
ordre, calcul booléen
séance n°9 (addendum)
séance n°9bis
1
MVA003
Chapitre 12
Simplification des formules
1. Le problème de la simplification
2. Formules polynomiales
3. La méthode de Karnaugh
Plan ch12-1
2
La méthode de Karnaugh (prononcer car-no) est
une méthode graphique qui permet de trouver la
forme polynomiale la plus simple pour les
fonctions de 4 variables (ou de 3 variables).
On notera les variables
a, b, c, d .
Une fonction booléenne de 4
variables associe 1 bit à chaque
mot binaire de longueur 4. Elle est
représentée par sa table de vérité.
Karnaugh range les mots binaires dans
une disposition intermédiaire entre le
« à la queue leu-leu » et le 4-cube.
karnaugh-1
3
On dispose les 16 mots binaires de longueur 4 dans un carré à 4
lignes et 4 colonnes. Le mot abcd est rangé selon la règle suivante :
karnaugh-2
4
Pour simplifier, on écrit :
Chaque mot binaire est
dans une case et chaque
case contient un et un seul
mot binaire.
L'intérêt de cette disposition
est que des mots qui ne
diffèrent que par 1 seul bit sont
« presque » dans des cases
voisines.
karnaugh-3
5
karnaugh-4
6
On dira que deux cases sont adjacentes quand elles contiennent
des mots binaires qui ne diffèrent que par 1 seul bit.
karnaugh-5
7
On a une fonction booléenne de
4 variables et sa table de vérité .
Pour obtenir le diagramme de
Karnaugh de la fonction, on
noircit les cases qui contiennent
des mots binaires où la fonction
prend la valeur 1.
karnaugh-6
8
On appelle souvent diagramme de Karnaugh de f l'ensemble des
cases noircies.
Si on note Kar(f) l'ensemble des cases noircies dans le diagramme de
Karnaugh de f, on a la propriété :
Conséquence : Écrire f comme une somme booléenne de monômes
revient à écrire son diagramme de Karnaugh comme une réunion de
diagrammes de Karnaugh de monômes …
Comment est fait le diagramme de Karnaugh d'un monôme ?
Théorème
Le diagramme de Karnaugh d'un monôme qui comporte
p facteurs est un « rectangle » formé de
cases et
réciproquement (dans cette expression, n = 3 ou n = 4).
karnaugh-7
9
Un « rectangle » dont le nombre de cases est une puissance de 2
s'appelle une cellule.
Exemples
Plus un monôme est simple (moins il a de facteurs) plus son diagramme
est grand.
karnaugh-8
10