Les tableaux de KARNAUGH

1 ELN : COURS D' ÉLECTRONIQUE
TABLEAUX DE KARNAUGH
page 1 / 2
4 CONSTITUTION D'UN TABLEAU DE KARNAUGH A 4 VARIABLES
I RÔLE
Le tableau de Karnaugh est un outil de résolution graphique qui permet :
- De simplifier une équation logique.
- De déterminer l'équation logique simplifiée correspondant à une table de vérité.
cd
S
00
01
11
EXEMPLE :
10
00 a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d
II FORME DU TABLEAU DE KARNAUGH
01 a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d
1 PRÉSENTATION
ab
Le tableau de Karnaugh comprend toutes les combinaisons possibles des variables d'entrée : si
n
n est le nombre de variables d'entrées le tableau contiendra 2 cases (pratiquement on se limitera à 4
variables).
Les cases sont désignées afin que 2 cases adjacentes ne diffèrent que par une variable.
On remplit chaque case avec le niveau logique de la sortie correspondant à cette combinaison
des variables d'entrées.
b
0
0 a.b
EXEMPLE :
1
a.b
a
1 a.b
a.b
a
b
0
0
0
1
1
0
1
1
S
0
S
1
0
1
1
10 a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d
cd
S
2 CONSTITUTION D'UN TABLEAU DE KARNAUGH A 2 VARIABLES
S
11 a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d a.b.c.d
b
ab
1
11
a.b
a.b
3 CONSTITUTION D'UN TABLEAU DE KARNAUGH A 3 VARIABLES
0
c
EXEMPLE :
1
00 a.b.c a.b.c
01 a.b.c a.b.c
ab
11 a.b.c a.b.c
10 a.b.c a.b.c
S
a
b
c
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
S
1
1
1
0
0
0
1
0
00
01
ab
11
S=
10
01
10
S
11
1
a
S = a.b + a.b + a.b
01
00
0
a.b
00
10
c
1
S=
a
b
c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
d
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
S
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1 ELN : COURS D' ÉLECTRONIQUE
TABLEAUX DE KARNAUGH
III REGROUPEMENTS
Il est possible de simplifier l'équation de la sortie S si le tableau met en évidence des cases
adjacentes (ayant un côté commun) contenant des '1' :
page 2 / 2
En résumé, pour obtenir l'équation simplifiée de la sortie, il faut :
n
- Que les regroupements soient les plus grands (par 2 cases) et les moins nombreux
possibles.
- Que toutes les cases contenant un '1' fassent partie d'un regroupement (mais elles
peuvent appartenir à plusieurs regroupements).
- Le regroupement de 2 cases adjacentes contenant des '1' (doublet) élimine la variable qui
change d'état.
Les théorèmes de l'algèbre de Boole permettent de
démontrer cette affirmation pour l'exemple donné :
a
S = a b c + a b c = a c (b + b) = a c (1) = a . c
IV SIMPLIFICATION PAR LES '0'
bc
S
00
01
11
10
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
b vaut 0
S=a.c
b vaut 1
- Le regroupement de 4 cases adjacentes contenant des '1' (quartet) élimine les deux variables
qui changent d'état.
bc
S
Les théorèmes de l'algèbre de Boole permettent de
démontrer cette affirmation pour l'exemple donné :
a
S = abc + abc + abc + abc
S = a b (c + c) + a b (c + c)
S = a (b + b) = a
00
01
11
10
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
S=a
c vaut 0
c vaut 1
b vaut 0
b vaut 1
- Le regroupement de 8 cases adjacentes contenant des '1' (octet) élimine les trois variables qui
changent d'état.
Remarque : on effectuera aussi le regroupement d'une case contenant un '1' isolé des autres
mais son expression ne sera pas simplifiée et dépendra de toutes les variables d'entrée
n
La règle générale valable pour tout regroupement (de 2 cases) est la suivante : quand une
variable change d'état dans un regroupement cette variable est éliminée de l'expression. Seules
apparaissent dans l'expression définitive les variables gardant la même forme dans toutes les cases du
regroupement.
L'équation logique de la sortie est la somme logique des termes résultant des regroupements.
Nous avons vu, dans les tableaux de Karnaugh, les regroupements des cases contenant des '1'.
Or, il est parfois plus simple de faire un regroupement des cases contenant des '0'. L'équation qui sera
issue de ces regroupements sera alors le complément (S) de l'équation obtenue par le regroupement
des '1'.
V TABLES DE VÉRITÉS INCOMPLÈTEMENT DÉFINIES
Dans certaines fonctions, Il existe des combinaisons d'entrée pour lesquelles l'état de la sortie
peut être indifféremment à '0' ou '1' (principalement parce que ces combinaisons d'entrées ne doivent
jamais survenir). Pour ces combinaisons d'entrée, l'état de la sortie est noté X ou φ dans les tables de
vérité et indique un état indifférent.
Dans les tableaux de Karnaugh, ces X pourront être considérés comme des '0' ou des '1' en vue
d'établir l'expression de sortie la plus simple.