STI2D - SIN Tableaux de Karnaugh Tableaux de Karnaugh – et qu

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Tableaux de Karnaugh
Tableaux de Karnaugh
Un tableau de Karnaugh est un tableau représentatif du comportement d’une variable.
Ce tableau a pour but de simplifier l’écriture de l’équation de fonctionnement. Il est utilisé
principalement en logique combinatoire. Dans ce tableau chaque case correspond à une
combinaison d’entrées de la variable. Dans chaque case on reporte l’état de la variable [0,1].
Exemple:
La variable de sortie S est active dans deux cas. Les deux combinaisons de sortie sont
respectivement pour a et b, [0,0] ou [0,1]. L’utilisation du tableau de Karnaugh permet de
déterminer très rapidement l’équation de la variable S.
Il faut rechercher les variables qui n’influent pas le comportement de la variable de sortie.
Dans notre exemple les 1 sont dans une colonne, le résultat va donc dépendre directement de la
variable associée à cette colonne, ici "a". La variable de ligne n’a pas d’influence car quel que soit
l’état de b (0 ou 1), la variable de sortie reste à 1. L’équation de sortie sera donc S ≡ .
Lorsqu’un système présente 4 variables d’entrée le principe est le même.
Il faut remarquer la construction de ce tableau. Sur l’exemple suivant, on remarque :
- que le code utilisé est le code binaire réfléchi, ceci est très important dans la mesure où
l’on souhaite voir évoluer le comportement d’une sortie en fonction de plusieurs variables,
- qu’à chaque case correspond une équation de fonctionnement particulière,
- que ce tableau possède des axes de symétrie horizontaux et verticaux,
– et qu’enfin les colonnes ou les lignes extrêmes de ce tableau peuvent être virtuellement
déplacées pour être mise côte à côte pour faciliter les regroupements dans la mesure ou une
seule variable évolue d’une case à l’autre.
GAMBETTA-CARNOT
- ARRAS -
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Tableaux de Karnaugh
Exemple :
pour passer de la première colonne du tableau [b,a] ≡ [0,0] à la dernière colonne [b,a] ≡[1,0]
seule la variable "a" a évolué.
Ce tableau doit être complété par l’état de la sortie à analyser. Une fois terminé on
procédera par regroupement des cases indiquant des états identiques par rapport aux axes
de symétrie.
Exemple :
Dans l’exemple ci-dessus trois groupements sont possibles. Chacun d’entre eux va
donner une partie de l’équation de fonctionnement de "S". Le groupement 1 se fait sur une
ligne donc indépendamment de "a" ou de "b" puisque ces deux variables changent d’état
successivement. L’équation de ce groupement est :"c.d". Le groupement 2 se fait sur une
colonne et deux lignes l’équation va dépendre de "a, b, d" et pas de "c" puisque "c" change
d’état entre les deux lignes sans influer sur la sortie.
L’équation de ce groupement est :"a.b.d".
GAMBETTA-CARNOT
- ARRAS -
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Le groupement 3 se fait sur deux lignes et deux colonnes, ici ce cas est particulier
puisque les cases ne sont pas contiguës, mais il est possible. L’équation va dépendre des
variables "b, d" et non des variables a, c puisque ces variables changent d’état. L’équation de
ce groupement est : "b.d".
L’équation de fonctionnement de S devient :
S = c.d + a.b.d + b.d
On constate, pour un tableau de 16 cases, qu’un regroupement de 2 cases donne un
élément d’équation à 3 variables, qu’un regroupement de 4 cases donne un élément d’équation à
2 variables.
On peut en conclure qu’un regroupement d'une seule case donnera un élément
d’équation à 4 variables qu’un regroupement de 8 cases donnera un élément d’équation à 1
variable, qu’un regroupement de 16 cases donnera une équation de fonctionnement toujours
vraie.
GAMBETTA-CARNOT
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Exercice
Présentation :
On vous propose de réaliser les équations de fonctionnement
d'un afficheur 7 segments. Cet afficheur peut afficher les chiffres
de 0 à 9.
L'étude dans un premier temps consistera à rechercher les
équations de fonctionnement de l'afficheur pour les quatre
premiers chiffres de 0 à 3. Dans un deuxième temps vous devrez
rechercher les équations de fonctionnement de l'afficheur pour
les 10 chiffres de 0 à 9.
Les variables suivront l'évolution du binaire pur.
Partie 1
Question N°1: Combien de variables seront nécessaires pour décrire les quatre premiers
chiffres. ( de 0 à 3 )
Question N°2: Définir à l'aide de 7 tableaux de Karnaugh (un par segment) le fonctionnement
de l'afficheur.
Partie 2
Question N°1: Combien de variables seront nécessaires pour décrire le fonctionnement de
tous les chiffres.
Question N°2: Définir à l'aide de 7 tableaux de Karnaugh (un par segment) le fonctionnement
de l'afficheur.
Question N°3: Réaliser le schéma électrique de l'équation du segment A (SA).
Question N°4: Réaliser le schéma électrique de l'équation du segment B (SB).
Question N°5: Réaliser le schéma électrique de l'équation du segment C (SC).
Remarque : Les cases des tableaux de Karnaugh qui sont vides pour la description du
fonctionnement seront utilisées pour faciliter les regroupements et donc les équations.
GAMBETTA-CARNOT
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PARTIE 1
Il faut deux variables d'entrées b et a pour réaliser ce dispositif
Table de vérité
b
a
SA
SB
SC
SD
SE
SF
SG
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
Tableaux de Karnaugh
.b\a
0
1
0
1
.b\a
0
1
SA =
.b\a
0
1
0
1
SB =
0
1
.b\a
0
1
SD =
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
SC =
0
1
SE =
.b\a
0
1
.b\a
0
1
.b\a
0
1
SF =
0
1
0
1
1
1
1
1
SG =
.b\a
0
1
0
1
1
1
0
1
.b\a
0
1
SA = b + a/
.b\a
0
1
SB = 1
0
1
1
1
0
1
.b\a
0
1
SD = SA
SC = a + b/
0
1
1
1
0
0
SE = a/
.b\a
0
1
.b\a
0
1
.b\a
0
1
SF = a/ . b/
0
0
1
1
0
1
SG = b
GAMBETTA-CARNOT
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Schéma structurel
VCC
U1:A
U3:A
B
1
A
2
A
A
1
1
2
SA
3
SC
7432
7404
0
A
SE
SF
4
A
B
1
5
B
6
B
U1:B
U3:C
7432
0
B
U3:B
3
A
4
5
7404
B
U2:A
B
7404
6
A
1
2
&
3
7408
B=0 ; A=0
B=0 ; A=1
B=1 ; A=0
B=1 ; A=1
SA
SA
SA
SC
SC
SC
SC
SE
SF
SE
SF
SE
SF
SE
SF
GAMBETTA-CARNOT
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SA
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Tableaux de Karnaugh
PARTIE 2
Il faut quatre variables d'entrées d, c, b et a pour réaliser ce dispositif
Table de vérité
d
c
b
a
Sa Sb
Sc
Sd
Se
Sf
Sg
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
GAMBETTA-CARNOT
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Affichage
0
1
2
3
4
5
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7
8
9
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Tableaux de Karnaugh
Recherche des équations des fonctions SA, SB, … … , SF et SG
. dc \ ba
00
01
11
10
00
01
11
10
SA =
. dc \ ba
00
01
11
10
. dc \ ba
00
01
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10
00
01
11
10
SB =
00
01
11
SD =
10
. dc \ ba
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10
00
01
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00
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SC =
00
01
11
10
SE =
. dc \ ba
00
01
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10
. dc \ ba
00
01
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10
. dc \ ba
00
01
11
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SF =
00
01
11
10
SG =
GAMBETTA-CARNOT
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Tableaux de Karnaugh
Corrigé
Recherche des équations des fonctions SA, SB, … … , SF et SG
. dc \ ba
00
01
11
10
00
1
0
01
0
1
1
1
11
1
1
10
1
1
SA =
. dc \ ba
00
01
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. dc \ ba
00
01
11
10
00
1
1
01
1
0
1
1
11
1
1
10
1
0
SB =
00
1
0
01
0
1
1
1
11
1
0
10
1
1
SD =
. dc \ ba
00
01
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10
00
1
1
01
1
1
1
1
00
1
1
01
0
1
1
1
11
1
1
10
0
1
11
0
0
10
0
1
SC =
00
1
0
01
0
0
1
0
11
0
0
10
1
1
SE =
. dc \ ba
00
01
11
10
. dc \ ba
00
01
11
10
. dc \ ba
00
01
11
10
SF =
00
0
1
01
0
1
1
1
11
1
0
10
1
1
SG =
. dc \ ba
00
01
11
10
00
1
0
01
0
1
1
1
11
1
1
10
1
1
SA =
SA = c.b.a + d.c.b.a
. dc \ ba
00
01
11
10
00
1
1
01
1
0
1
1
11
1
1
10
1
0
SB = ( ( c . b/ . a ) + ( c . b . a/ ) )/
SB = c . (a ⊕ b)
GAMBETTA-CARNOT
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Tableaux de Karnaugh
. dc \ ba
00
01
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00
1
1
01
1
1
1
1
11
1
1
10
0
1
SC =
SC = c.b.a
. dc \ ba
00
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00
1
0
01
0
1
1
1
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1
0
10
1
1
SD =
SD = c.b.a + c.b.a + d.c.b.a
. dc \ ba
00
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00
1
0
01
0
0
1
0
11
0
0
10
1
1
SE =
SE = (c . a) + (b . a) = a . ( c + b )
. dc \ ba
00
01
11
10
00
1
1
01
0
1
1
1
11
0
0
10
0
1
SF =
SF = d + c.a + c.b + b.a
GAMBETTA-CARNOT
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Tableaux de Karnaugh
. dc \ ba
00
01
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00
0
1
01
0
1
1
1
11
1
0
10
1
1
SG =
SG = d + c.b + c.b + b.a
Synthèse :
SA = c.b.a + d.c.b.a
SB = c . (a ⊕ b)
SC = c.b.a + d.c.b.a
SD = c.b.a + c.b.a + d.c.b.a
SE = (c . a) + (b . a)
SF = d + c.a + b.a
SG = d + c.b + c.b
GAMBETTA-CARNOT
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Tableaux de Karnaugh
U2:A
1
2
13
C
B
A
&
12
U6:A
2
7411
3
4
5
D
C
B
1
2
B
B
2
SD
U5:A
1
=1
2
3
&
2
3
SB
7400
74LS386
U6:B
U2:C
9
10
11
C
B
A
&
5
8
6
C
4
1
10
SA
SB
SC
SD
SE
SF
SG
SC
U6:C
1
12
B
8
A
11
C
C
1
7402
U6:D
C
0
12
1
C
7411
1
1
7427
B
4
U8:A
1
2
13
12
U4:A
A
3
3
7408
&
SA
7411
A
0
&
U9:A
1
2
13
1
7402
1
2
A
B
6
7411
A
0
U7:A
&
A
C
B
A
1
3
U2:B
13
9
SE
7402
D
7402
0
D
3
4
D
U7:B
U10:C
4
C
&
5
B
6
9
8
1
10
D
7408
U10:A
1
7432
7404
U11:A
U11:B
C
B
A
5
4
1
6
2
2
3
SF
7432
1
1
3
1
7402
7402
U7:C
A
B
9
10
&
7408
C
B
8
U12:A
D
=1
3
13
7432
1
2
U10:D
12
1
11
U10:B
4
5
1
6
SG
7432
74136
GAMBETTA-CARNOT
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Tableaux de Karnaugh
U2:A
1
2
13
C
B
A
&
12
U6:A
2
7411
3
4
5
D
C
B
1
2
C
4
3
U8:A
7408
&
1
2
13
12
2
12
SD
U5:A
=1
2
1
C
1
3
&
2
3
SB
7400
74LS386
9
10
11
C
B
A
U6:B
U2:C
&
5
8
6
1
10
SA
SB
SC
SD
SE
SF
SG
SC
1
12
B
8
A
11
C
C
4
U6:C
U6:D
C
THUMBSW ITCH-BCD
1
7402
7411
1
1
7427
B
SW1
&
U9:A
1
2
13
U4:A
B
B
1
2
SA
7411
A
4
6
1
7402
7411
A
A
3
U7:A
&
A
C
B
A
1
3
U2:B
13
9
SE
7402
7402
D
3
4
D
U7:B
U10:C
4
C
&
5
B
6
9
8
1
10
D
7408
U10:A
1
7432
7404
U11:A
U11:B
C
B
A
5
4
1
6
2
2
3
SF
7432
1
1
3
1
7402
7402
U7:C
A
B
9
10
&
7408
C
B
8
U12:A
D
=1
3
13
7432
1
2
U10:D
12
1
11
U10:B
4
5
1
6
SG
7432
74136
Bernard LEWANDOWICZ 16/05/14 Tableaux de Karnaugh.odt
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