Formulaire tenseurs

Formulaire de calcul tensoriel
1.
Tenseurs
G
Soit Β = (ei )i =1,3 base orthonormée directe cartésienne de \3 .
G
G
Soit le vecteur u = uiei =
3
G
∑u e
i i
i =1
(convention de sommation de l’indice répété),
représentant la vitesse d’un point par exemple. Soit p un scalaire (pression par
exemple).
G
Le vecteur u est un tenseur d’ordre 1. Le tenseur d’ordre 2 est une matrice.
A = Aij 
. Le produit d’une matrice par un vecteur est un vecteur :
i , j =1,2,3
 3

 ∑ A1 j u j 
 j =1

3


G
G
v = A.u = Aij u j =  ∑ A2 j u j 
 j =1

 3

 ∑ A3 j u j 
 j =1

Double contraction :
A : B = Aij Bij =
3
3
∑∑A B
i =1 j =1
ij
ij
est un scalaire.
Produit de deux matrice :
(
A.B = Aik Bkj
)
i , j =1,2,3
est une matrice.
G G
u ⊗ v = uiv j 
est une matrice
i , j =1,2,3
2.
Opérateurs
2.1.
Coordonnées cartésiennes
G G G
Β = (x , y, z )
G
G
G
G
v = ux + vy + wz
Gradient :
JJJJJG
∂p G ∂p G ∂p G
grad p =
x+
y+
z est un vecteur.
∂x
∂y
∂z
 ∂u
JJJJJG
 grad u   ∂x

G  JJJJJG   ∂v
grad v = grad v = 
∂x
 JJJJJG 
grad w   ∂w

 
 ∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂y
∂u 
∂z 

∂v 
est une matrice.
∂z 

∂w 
∂z 
Divergence :
(
)
∂u ∂v ∂w
G
G
est un scalaire.
div v = tr grad v =
+
+
∂x ∂y ∂z
 ∂Axx ∂Axy ∂Axz
+
+
G
 div Ax   ∂x
∂y
∂z


G
JJJG
∂A
∂A
 ∂A
div A =  div Ay  =  yx + yy + yz

∂x
∂y
∂z
G 
 div A  
 ∂Azx ∂Azy ∂Azz
z 

+
+

∂y
∂z
 ∂x
( )



  ∂Aij
 = 
  ∂x j




est un vecteur.


i =1,3
Laplacien :
JJJJJG
∂2 p ∂2 p ∂2 p
∆p = div ( grad p ) = 2 + 2 + 2 est un scalaire
∂x
∂y
∂z
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 
 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 


2
2
2
2
JJJ
G

∂ v ∂ v ∂ v   ∂ ui
G
G
∆v = div grad v =  2 + 2 + 2  = 
∂y
∂z   ∂x j ∂x j
 ∂x
 ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 
 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 


(
)

est un vecteur.


i =1,3
Rotationnel :
 ∂ 
 ∂x 
  u 
JJJG G  ∂     ∂w ∂v  G  ∂u ∂w  G  ∂v ∂u  G
rot v =
∧ v =
−
x +
−
−
y + 
z
 ∂y     ∂y ∂z 
 ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 


  w 
 ∂ 
 ∂z 
Taux de déformation :
 ∂u

 ∂x

D=


sym

1  ∂u ∂v  1  ∂u ∂w  
+
+


2  ∂y ∂x  2  ∂z ∂x  
∂v
1  ∂w ∂v  
+

∂y
2  ∂y ∂z  

∂w

∂z

Remarque :
L’opérateur gradient augmente l’ordre du tenseur, l’opérateur divergence le
diminue et le laplacien le laisse inchangé. Le rotationnel ne s’applique qu’à un
vecteur.
2.2.
Coordonnées cylindriques
G G G
Β = (er , eθ , ez )
z
ez
M
θ
x
G
G
G
G
v = vrer + vθeθ + vzez
Gradient :
JJJJJG
∂p G 1 ∂p G
∂p G
grad p =
er +
eθ +
ez
∂r
r ∂θ
∂z
eθ
er
y
 ∂vr
 ∂r

G  ∂vθ
grad v =
 ∂r
 ∂v
 z
 ∂r
1 ∂vr vθ
−
r ∂θ
r
1 ∂vθ vr
+
r ∂θ
r
1 ∂vz
r ∂θ
∂vr
∂z
∂vθ




∂z 
∂vz 

∂z 
Divergence :
∂v
1 ∂vθ vr ∂vz
G
G
div v = tr grad v = r +
+
+
∂r r ∂θ
r
∂z
(
)
Laplacien :
JJJJJG
∂ 2 p 1 ∂p 1 ∂2 p ∂ 2 p
∆p = div ( grad p ) = 2 +
+
+
∂r
r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2
Rotationnel :
JJJG G  1 ∂vz ∂vθ  G  ∂vr ∂vz  G 1  ∂(rvθ ) ∂vr  G
rot v = 
−
er + 
−
−
e + 
 ez
∂z 
∂r  θ r  ∂r
∂θ 
 ∂z
 r ∂θ
Taux de déformation :
 ∂vr
 ∂r


D=


sym

2.3.
1  1 ∂vr vθ ∂vθ  1  ∂vr ∂vz  
−
+
+


2  r ∂θ
r
∂r  2  ∂z
∂r  
1  ∂vθ vr 
1  1 ∂vz ∂vθ  
+ 
+


2  r ∂θ
r  ∂θ
r 
∂z  

∂vz

∂z

Coordonnées sphériques
G G G
Β = (er , eθ , eψ )
z
er
eψ
M
θ
eθ
y
G
G
G
G
v = vrer + vθeθ + vψ eψ
x
ψ
Gradient :
JJJJJG
∂p G 1 ∂p G
1
∂p G
grad p =
er +
eθ +
eψ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ψ
 ∂vr
 ∂r

G  ∂vθ
grad v = 
 ∂r
 ∂vψ

 ∂r
1 ∂vr vθ
−
r ∂θ
r
1 ∂vθ vr
+
r ∂θ
r
1 ∂vψ
r ∂θ

1 ∂vr vψ
−

r sin θ ∂ψ
r

1 ∂vθ vψ cotgθ 
−

r sin θ ∂ψ
r

1 ∂vψ vr vθ cotgθ 
+
+

r sin θ ∂ψ
r
r

Divergence :
2
1 ∂ ( r vr )
1 ∂ (vθ sin θ )
1 ∂vψ
G
G
div v = tr grad v = 2
+
+
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ψ
(
)
Laplacien :
JJJJJG
1 ∂  2 ∂p 
1
∂ 
∂p 
1
∂2 p
∆p = div ( grad p ) = 2
+
θ
+
r
sin




r ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ 
∂θ  r 2 sin θ ∂ψ 2
Rotationnel :
JJJG G
rot v =
1
2
r sin θ
 ∂
∂ (rvθ )  G
1

 er +
r sin θ vψ ) −
(
 ∂θ
r sin θ
∂ψ 

 ∂vr
 G 1  ∂(rvθ ) ∂vr  G
∂
r sin θ vψ )  eθ + 
−
−
(
 eψ

r  ∂r
∂θ 
 ∂ψ ∂r

Taux de déformation :
 ∂vr

 ∂r

D=


sym

1  1 ∂vr vθ ∂vθ 
1  1 ∂vr vψ ∂vψ 
−
+
−
+




2  r ∂θ
2  r sin θ ∂ψ
r
r
∂r 
∂r 
1 ∂vθ vr
1  1 ∂vθ 1 ∂vψ vψ cotgθ
+
+
−
2  r sin θ ∂ψ r ∂θ
r ∂θ
r
r
1 ∂vψ vr vθ cotgθ
+
+
r sin θ ∂ψ
r
r









3.
Relations usuelles
JJJJJG
JJJJJG
grad ( ∆p ) = ∆ ( grad p )
JJJJJG
JJJJJG
JJJJJG
grad ( fg ) = f grad ( g ) + ggrad ( f )
G
G
G JJJJJG
grad ( pu ) = pgrad (u ) + u ⊗ grad p
T G
T G
JJJJJG G G
G
G
grad (u.v ) = grad (u ) .v + grad (v ) .u
) (
(
)
G G JJJJJG  u 2  JJJG G
G
grad (u ) .u = grad   + (rot u ) ∧ u
 2 
T G
T G
1
1
G
G
G
grad (u ) = D + Ω , D = grad (u ) + grad (u ) , Ω = grad (u ) − grad ( u )
2
2
G
G
div u = tr grad u
G
G
div ( ∆u ) = ∆ (div u )
JJJG G
div (rot u ) = 0
G
G G JJJJJG
div ( pu ) = pdiv u + u.grad p
JJJG
JJJG
JJJJJG
div pA = pdiv A + A.grad p
JJJG
JJJJJG
div pI = grad p
G JJJG G G JJJG G
G G
div (u ∧ v ) = v .rot u − u .rot v
(
)
)
(
(
( )
( )
(
)
( )
JJJG G G
G
G
G G
div (u ⊗ v ) = udiv v + grad u .v
(
)
JJJG
1 JJJJJG
1 G
G 1 JJJG JJJG G
G
div D = ∆u + rot (rot u ) = grad (div u ) + ∆u
2
2
2
JJJG
1 JJJG JJJG G
div Ω = − rot (rot u )
2
JJJJJG
∆p = div ( grad p )
JJJJJG
JJJG JJJG G
G JJJG
G
G
∆u = div grad u = grad (div u ) − rot (rot u )
JJJJJG JJJJJG
∆ ( fg ) = f ∆g + g ∆f + 2grad f .grad g
G
G G
G JJJJJG
∆ ( pu ) = p ∆u + u ∆p + 2 grad u .grad p
( )
( )
(
)
(
)
G
JJJG JJJJJG
rot ( grad p ) = 0
JJJG
JJJG G
G
rot ( ∆ u ) = ∆ (rot u )
JJJJJG
JJJG G
JJJG G
G
rot ( pu ) = p.rot u + ( grad p ) ∧ u
JJJG G G
G G
G G
G
G
G G
rot (u ∧ v ) = udiv v − vdiv u + grad u .v − grad v .u
(
) (
)
)
4.
Equations de Navier-Stokes en incompressible
Continuité :
G
div v = 0
Navier-Stokes (Quantité de mouvement) :
G
∂v
µ
G G 1 G 1 JJJJJG
G
+ grad v v = f − grad p + ν∆v
, ν =
ρ
ρ
ρ
∂t
(
4.1.
)
Coordonnées cartésiennes
Continuité :
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z
N.S. :
∂u
∂u
∂u
∂u 1
1 ∂p
 ∂ 2u ∂2u ∂ 2u 
+u
+v
+w
= fx −
+ν  2 + 2 + 2 
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
ρ
ρ ∂x
 ∂x
2
2
∂v
∂v
∂v
∂v 1
1 ∂p
 ∂ v ∂ v ∂ 2v 
+u
+v
+w
= fy −
+ν  2 + 2 + 2 
ρ ∂y
∂t
∂x
∂y
∂z ρ
∂y
∂z 
 ∂x
∂w
∂w
∂w
∂w 1
1 ∂p
 ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 
+u
+v
+w
= fz −
+ν  2 + 2 + 2 
ρ
ρ ∂z
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
 ∂x
4.2.
Coordonnées cylindriques
Continuité :
∂vr 1 ∂vθ ∂vz vr
+
+
+
=0
r
∂r r ∂θ
∂z
N.S. :
∂vr
+ vr
∂t
∂vθ
+ vr
∂t
v2
v 
1
1 ∂p
1 ∂ 2vr ∂ 2vr 1 ∂vr
2 ∂v
∂vr vθ ∂vr
∂v
 ∂ 2v
+
+ vz r − θ = fr −
+ ν  2r + 2
+ 2 +
− 2 θ − r2 
2
r ∂θ
r
r ∂θ
r ∂r r ∂θ r 
∂r
∂z
∂z
ρ
ρ ∂r
 ∂r
vr v
∂vθ vθ ∂vθ
∂v
1
1 1 ∂p
+
+ vz θ − θ = fθ −
r ∂θ
r
ρ
ρ r ∂θ
∂r
∂z
2
2
 ∂ 2vθ
v 
1 ∂ vθ ∂ vθ 1 ∂vθ
2 ∂v
+ν  2 + 2
+
+
+ 2 r − θ2 
2
2
∂z
r ∂θ
r ∂r r ∂θ r 
 ∂r
v ∂v
1
1 ∂p
1 ∂2vz ∂ 2vz 1 ∂vz 
∂vz
∂v
∂v
 ∂ 2v
+ vr z + θ z + vz z = fz −
+ ν  2z + 2
+ 2 +
∂t
∂r
∂z
∂z
ρ
ρ ∂z
r ∂θ
r ∂θ 2
r ∂r 
 ∂r
4.3.
Coordonnées sphériques
Continuité :
∂vr 1 ∂vθ
1 ∂vψ 2vr vθ cotgθ
+
+
+
+
=0
r
r
∂r r ∂θ r sin θ ∂ψ
N.S. :
v ∂v
vψ ∂vr vθ 2 + vψ 2
∂vr
∂v
1
1 ∂p
+ vr r + θ r +
−
= fr −
∂t
∂r
r ∂θ r sin θ ∂ψ
r
ρ
ρ ∂r
∂vψ 2vr 2vθ cotgθ 
 ∂ 2v
∂ 2vr 2 ∂vr cotgθ ∂vr
1 ∂ 2vr
1
2 ∂v
2
+ν  2r + 2
+
+
+
− 2 θ − 2
− 2 −

2
2
2
2
2
r ∂θ
r sin θ ∂ψ
r ∂r
r
∂θ r ∂θ r sin θ ∂ψ
r
r2
 ∂r

∂vθ
∂v
v ∂v
vψ ∂vθ vr vθ vψ 2 cotgθ
1
1 1 ∂p
= fθ −
+ vr θ + θ θ +
+
−
r ∂θ r sin θ ∂ψ
r
r
ρ
ρ r ∂θ
∂t
∂r
2
vθ
∂2vθ 2 ∂vθ cotgθ ∂vθ
 ∂ 2vθ

1 ∂ vθ
1
2 cos θ ∂vψ
2 ∂vr
+ν  2 + 2
+
+
+
−
+
−

r ∂θ 2 r 2 sin2 θ ∂ψ 2 r ∂r
r 2 ∂θ r 2 sin2 θ ∂ψ r 2 ∂θ r 2 sin2 θ 
 ∂r
v ∂v
vψ ∂vψ vr vψ vθ wcotgθ
∂vψ
∂v
1
1
∂p
+ vr ψ + θ ψ +
+
+
= fψ −
r ∂θ r sin θ ∂ψ
r
r
ρ
ρr sin θ ∂ψ
∂t
∂r
 ∂ 2vψ
ν
2
 ∂r
+
2
∂ 2vψ 2 ∂vψ cotgθ ∂vψ
v

∂vr
1 ∂ vψ
1
2 cos θ ∂vθ
2
+
+
+
+ 2
+ 2
− 2 ψ2 
2
2
2
2
2
2
2
2
∂θ r sin θ ∂ψ r sin θ ∂ψ r sin θ 
r ∂θ
r sin θ ∂ψ
r ∂r
r