Justification théorique des formules de débit

Dimensionement d’une station NITROX
PUJOLLE SYLVAIN
17/05/2006
1 Justification des formules
le volume de mélange produit est V
V = Vair + VO2 (pur)
où :
– Vair est le volume d’air aspiré
– VO2 (pur) le volume d’oxygène pur introduit
Donc le volume total d’oxygène dans le mélange produit VO2
VO2 = VO2 (air) + VO2 (pur)
ou : VO2 (air) le volume d’oxygène apporté par l’air Or :
VO2 (air) = 0, 2.Vair
donc :
VO2 = 0, 2.Vair + VO2 (pur)
VO2 = 0, 2(V − VO2 (pur)) + VO2 (pur)VO2 = (1 − 0, 2)VO2 (pur) + 0, 2V
Finalement le taux d’O2 du mélange est :
VO 2
0, 8.VO2 (pur) + 0, 2V
=
V
V
D’où le débit d’O2 à injecter en fonction du débit du compresseur et du taux d’O 2
désiré dans le nitrox :
R O2 =
(RO2 − 0, 2)
0, 8
Ce qui pour faire du 35% avec un compresseur de 100 m3 nous donnerait 18,75
m3 .
VO2 (pur) = V.
2 Calcul du gicleur
2.1 Formule approchée du débit du gicleur
Le débit volumique d’un gicleur est donné par la formule :
Dv (m3 /h) = 0, 74.s.P0
avec :
1
– Dv : débit volumique en m3 /h
– s : section du gicleur en mm2
– P0 : pression en amont du gicleur en bar
Les conditions pour pouvoir appliquer cette formule sont :
– gaz diatomique (O2 , N2 , mais PAS He )
– P0 > 2bar (cond de régime critique)
– Pression aval du gicleur : 1 bar
– température amont : entre -30˚C et + 30˚C
– température aval : 20 ˚C
On obtient ainsi le debit en m3 d’air détendu à 1 bar et à 20˚C debité par le gicleur.
Dans la fourchette de température amont indiquée l’erreur théorique de la formule
reste de ± 6 % (2 % d’erreur par 10˚C).
Exemple :
On veut limiter le debit à 18m3 /h, le détendeur delivre au maximum 10 bar.
sc =
Soit un trou de Φ = 1, 76mm
18
= 2, 43mm2
10 × 0, 74
2.2 Etablissement de la formule de débit
On suppose une détente adiabatique et on considère le gicleur comme une tuyère
de Laval.
2.2.1 Conditions à la section critique (col) du gicleur
Sous ses conditions on a, au niveau du col un debit en régime sonique où :
Tc
T0
Pc
P0
ρc
ρ0
=
=
=
2
γ+1
γ
2 ( γ−1
)
γ+1
1
2 ( γ−1
)
γ+1
(1)
(2)
(3)
avec :
– T : température absolue
– P : pression absolue
– ρ : densité
C
– γ = Cvp : rapport des chaleurs massique et volumique
Les indices c désignant les conditions au col et les indices 0 désignant les conditions
“génératrices” (en amont du gicleur).
Pour tous les gaz parfaits diatomiques (tous les gaz qui nous concernent sauf l’hélium)
on à γ = 1, 4.
2
On peut donc retenir :
Tc
T0
Pc
P0
ρc
ρ0
= 0, 83
(4)
= 0, 53
(5)
= 0, 63
(6)
2.2.2 Vitesse du son
La vitesse du gaz au niveau du col etant exactement sonique on va pouvoir la calculer à partir de la température ce qui nous ammenera vers le debit.
Pour un gaz parfait la vitesse du son se calcule de la façon suivante :
s
γP
C =
(7)
ρ
p
γRT
(8)
C =
Avec R = 287 J.Kg −1 K−1. C’est bien sur la deuxième formule qui nous interesse le
plus puisque nous connaissons la température au col du gicleur.
Donc
r
hT i r
h 2 i
p
c
γRTc = γRT0
(9)
Cc =
= γRT0
T0
γ+1
r
h 2γ i
(10)
=
RT0
γ+1
2.2.3 Calcul du d´
ebit volumique
Le débit volumérique au col Dv (c) est égal à la vitesse Cc multiplié par la section
de passage sc .
r
h 2γ i
Dv (c) = Cc .sc = sc T0 R
(11)
γ+1
On note :
A=
r h
2γ i
R
γ+1
DVc
= A.sc
d’où :
p
(12)
T0
(13)
Ce debit est exprimé en volume par seconde au niveau du col et nous nous interressons en réalité au débit volumique au niveau de l’utilisation (du mélangeur). En utilsant
la loi de Marriote nous passons des conditions du col aux conditions d’utilisation :
PV
T
= cte
(14)
En appliquant cette règle directement aux débits volumique au col (noté D v (c)) et à
l’utilisation (noté Dv (u)) :
3
Pc
Tc
= Dv (u)
Pu
Tu
Nous calculons le rapport
Pc
Tc
Dv (c)
Pc
Tc
Pc
Tc
(15)
à partir des conditions génératrices
γ
Pc /P0 P0
(2/(γ + 1)) γ−1 P0
=
.
=
.
Tc /T0 T0
2/(γ + 1)
T0
1
2 γ−1
P0
.
=
γ+1
T0
On note
Q=
d’où :
Dv (u)
1
2 γ−1
γ+1
Pu
Tu
= Q.Dv (c).
(16)
(17)
(18)
P0
T0
(19)
p P 0 Tu
P 0 Tu
.
= Q.A.sc T0 . .
T0 P u
T0 P u
P 0 Tu
= Q.A.sc √ .
T0 Pu
Dv (u) = Q.Dv (c).
(20)
(21)
Avec :
r h
2γ i
R
γ+1
1
2 γ−1
Q=
γ+1
A=
(22)
(23)
Application numérique :
– Gaz diatomique : γ = 1, 4
– R = 287J.Kg −1.K −1
– Température en entrée gicleur : froide = 0˚C
– Temperature au mélangeur : ambiante = 20˚C = 293˚K
– Pression au mélangeur : ambiante = 1 bar
A = 18, 298
Q = 0, 634
(24)
(25)
293
Dv (u) = 18, 298 × 0, 634 × √
.P0 .s
273
= 205, 72.P0 .s
A ce niveau le débit est en m3 /s si la section est en mm2 .
4
(26)
(27)
Pour passer en m3 /h avec une section en mm2 on multiplie par 3600 et on divise
par un million :
Dv (u) = 0, 740 P0 sc
(28)
On pourra travailler avec cette formule bien qu’on ne connaisse pas vraiment la
température T0 . En effet on se rends compte que dans une fourchette assez large autour
de 0˚C l’influence de cette température est faible : environ 2 pour 1000 par degré.
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