Analyse spectrale du signal

Analyse spectrale du signal
1 Principe de l’analyse spectrale (ou harmonique)
La réponse en fréquence des circuits est un élément caractéristique du comportement dynamique des
circuits R, L et C. L’autre élément caractéristique est la réponse libre (exemple: on charge un
condensateur, puis oin le laisse se décharger librement à travers une bobine ou une résistance dans un
circuit sans générateur); cette réponse libre est encore appelée réponse impulsionnelle car on obtient le
même résultat pour un condensateur non chargé alimenté par un générateur d’impulsions. Ces deux
types de comportement représentent la dualité d’une même réalité.
L’analyse spectrale est étroitement liée à la notion de bande passante. En effet la bande passante d’un
filtre va modifier la composition de fréquences d’un signal sonore. Un amplificateur large bande
transmet toutes les composantes du spctre fréquentiel et le son n’est pas déformé. Par contre un
correcteur de graves va privilégier les fréquences basses alors qu’un correcteur d’aigus va privilégier
les fréquences hautes. Pour savoir de quelle manière un filtre interfère avec le signal, il faut connaître
sa composition en fréquences encore appelée composition spectrale ou composition harmonique.
Le spectre de fréquence F(f) est obtenu en appliquant la transformation mathématique de Fourier TF à
un signal fonction du temps s(t).
De même, si on connait le spectre de fréquence F(f), on peut retrouver le signal s(t) par la
transformation de Fourier inverse TFI.
e(t)
E(f)
TF
ω
t
| R (f) |
ω
s(t)
TFI
t
S(f)
ω
La transformation de Fourier s’applique à tous les types de signaux. Toutefois l’étude dans le cas général
étant assez compliquée, on se limitera à celle des signaux périodiques (répétitifs)
2 Décomposition en séries de Fourier
2.1 définition
Tout signal périodique de période T peut de décomposer en une somme limitée ou illimitée de
sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence de base: f1 = 1 / T
v(t) = V1 sin ω 1 t + V2 sin 2ω 1 t + V3 sin 3ω 1 t + V4 sin 4ω 1 t + ... + Vk sin kω 1 t
Le spectre de fréquence de v(t) est une série de raies fréquentielle:
spectre
V1
V2
0
f1
2f1
V3
3f1
V4
4f1
V5
5f1
V6
6f1
V7
V8
7f1
8f1
f
Si le signal possède une composante continue, alors il faut ajouter à la série précedente une valeur
constante V0 :
v(t) = V0 + V1 sin ω 1 t + V2 sin 2ω 1 t + V3 sin 3ω 1 t + V4 sin 4ω 1 t + ... + Vk sin kω 1 t
Le spectre possède alors une raie supplémentaire d’amplitude V0 et de fréquence nulle:
spectre
V1
V0
V2
0
f1
2f1
V3
3f1
V4
4f1
V5
5f1
V6
6f1
V7
V8
7f1
8f1
f
Si on considère qu’une sinusoïde peut se représenter soit par une fonction sinus soit par une
fonction cosinus on peut écrire de manière tout à fait générale:
v(t) = V0 + A1 cos ω 1 t + B1 sin ω 1 t + A2 cos 2ω 1 t + B2 sin 2ω 1 t + A3 cos 3ω 1 t + B3 sin ω 4 t + ...
Ce qui s’écrit mathématiquement:
v(t) = A0 +
∞
le terme
∑ Bn
1
∞
∑ An
1
cos nω1 t +
∞
∑ Bn
sin nω1 t
1
sin nω 1t se lit : Somme de n=1 jusqu’à l’infini de sin nω 1t
la sinusoïde de fréquence f1 s’appelle le fondamental, les sinusoïdes de fréquence n.f1 s’appellent
les harmoniques de rang n
2.2 calcul des coefficients de la décomposition en série de Fourier
Pour une fonction périodique de période T les 3 formules ci-dessous donnent les valeurs des
coefficients A0 , An et Bn de la série ci-dessus:
1
T
A0 =
An
2
=
T
T
∫ f(t) dt
est la formule de la valeur moyenne de f(t)
0
T
∫ f(t) cos nω1t dt
Bn
0
2
=
T
T
∫ f(t) sin nω1t dt
0
3 Applications
3.1 décomposition d’un signal carré
v(t)
V0
0
T/2
T
t
8f1
f
spectre
2V0 /π
V0
2
2V0 /3π
2V0 /5π
0
f1
2f1
3f1
4f1
5f1
2V0 /7π
6f1
7f1
l’application des formules précédentes fournit les résultats suivants:
A0 = V/2
Bn = 0
An = 2V/nπ pour n impair et = 0 pour n pair
Ce signal ne possède pas de termes en sinus.
Remarque: le signal carré ne possède pas de fréquences multiples (harmoniques) pairs.
3.2 décomposition d’un signal redressé simple alternance
v(t)
Vm
0
T/2
T
t
spectre
Vm/2
Vm
π
2Vm/3π
2Vm/15π
0
f1
2f1
A0 = Vm/π
3f1
4f1
5f1
2Vm/35π
2Vm/63π
6f1
8f1
7f1
An =
Bn = 0
f
2Vm
1
pour n pair
2
π n −1
An = 0 pour n impair sauf n=1
A1 = Vm/2
Ce signal ne possède pas de termes en sinus.
3.3 décomposition d’un signal redressé double alternance
v(t)
Vm
0
T/2
T
t
spectre
2Vm
π
2Vm/3π
2Vm/15π
0
f1
2f1
2Vm/35π
3f1
2Vm/63π
4f1
f
A0 = 2Vm/π
2Vm
1
2
π 4n − 1
An =
Bn = 0
Ce signal ne possède pas de termes en sinus.
Remarque: le signal redressé double alternance a une période de T / 2; sa fréquence fondamentale
est double de la tension alternative qui l’a produite (ex: 100 Hz pour une sinusoïde de
50 Hz); la fréquence de ronflement que l’on peut entendre à vide dans un amplificateur
est de 100 Hz; c’est la fréquence de l’ondulation résiduellen après redressement et
filtrage de l’alimentation stabilisée.
3.4 décomposition d’un signal en dent de scie
v(t)
Vm
0
T/2
T
t
8f1
f
Vm
spectre
2Vm/π
2Vm/3π
2Vm/5π
2Vm/7π
0
A0 = 0
f1
2f1
3f1
4f1
5f1
6f1
An = 0
Ce signal ne possède pas de composante continue.
Il ne possède pas de termes en cosinus.
7f1
Bn = −
2Vm (−1)n
π
n