IV – EXERCICES RÉSOLUS

IV – EXERCICES RÉSOLUS
EXERCICE 1. RECHERCHE D'UN CENTRE DE SYMÉTRIE
D'après Dimathème 1ère S. N°59 page 202.
Montrer que la courbe représentant
x2 + 4x − 4
f ( x) = 2
x − 2x + 2
admet un centre de symétrie.
Étude sur la TI-83
On peut commencer par construire la courbe :
+¨
¸
Ensuite, il est par exemple possible de rechercher
les minima et maxima de la fonction.
Il reste bien sûr à justifier que ce point est
effectivement centre de symétrie.
On peut vérifier expérimentalement que
f (1 + x ) + f (1 − x )
=1
2
Il suffit de construire une table de valeurs :
Il reste à prendre le milieu de ces deux points.
On peut se placer en mode TRACE et demander à la
TI-83 de se placer sur le point d'abscisse 1.
Résolution à l'aide de la TI-92
On peut faire le même type d'étude qu'avec la
TI-83, mais il est également possible de faire une
étude directe dans l'écran de calcul. On peut par
exemple trouver l'abscisse d'un éventuel centre de
symétrie en recherchant l'intersection de la courbe
et de son asymptote horizontale .
On obtient l'asymptote en calculant la limite avec la
fonction limit (menu F3).La recherche du point
d'intersection peut se faire avec solve (menu F2).
Il reste à vérifier :
TEXAS INSTRUMENTS
1
EXERCICE 2. ÉTUDE D'UNE FONCTION
4° Construction de la courbe
Fractale, Terminale ES, Bordas
5° g ( x ) = f ( x ) − 0,5
Soit f la fonction définie par :
2
x + 2x + 2
f ( x) =
2
2x + x +1
a) Montrer que g est décroissante et positive sur
1° Calculer les limites en −∞ et +∞ .
b) Calculer g(8) .
Interpréter graphiquement ce résultat.
c) Déduire des questions précédentes que, pour
−1
tout nombre entier n ≥ 8 , f ( n ) − 0,5 ≤ 10
§+
2° Déterminer les variations de f puis dresser son
tableau de variations.
3° Soit (D) la droite d'équation y = 0,5 .
Déterminer la position de la courbe (C)
représentative de f par rapport à (D).
d) Déterminer un nombre entier α vérifiant :
Pour tout entier n ≥ α ,
f ( n ) − 0,5 ≤ 10
−2
Résolution avec la TI-82
Étude de la limite
Intersection courbe / asymptote
Pour commencer, définissons la fonction en
utilisant la touche ( :
Nous pouvons à présent utiliser la fonction
intersect (voir tableau, page 7) pour déterminer
une valeur approchée des coordonnées du point
d'intersection de la courbe et de son asymptote.
On calcule ensuite quelques valeurs pour se faire
une idée des limites en −∞ et +∞ . Il suffit
d'utiliser les touches 2 # et & :
Il semble bien que la limite cherchée soit égale à
0,5. Il est facile de le justifier.
N.B. Le choix du mode Indpnt Ask permet d'entrer
librement les valeurs souhaitées dans la première
colonne de la table de valeurs.
Construction
L'étude précédente montre que la droite d'équation
y 1 / 2 est asymptote, il est facile d'en demander
la construction.
Texas Instruments
2
Minimum local
On doit appuyer sur 2 [CALC] ª pour accéder à
l'option minimum . Il suffit ensuite de déplacer le
curseur avec 6 et 9 puis d'appuyer sur ¸
pour fixer les valeurs des bornes inférieures et
supérieures, ainsi que l'estimation de la valeur
cherchée.
On peut aussi obtenir la valeur du minimum sous
forme rationnelle :
N.B. Ici, le choix du mode Indpnt Auto assure une
construction automatique de la table. Il suffit
ensuite d'appuyer sur les touches 7 et 8 pour se
déplacer dans la table de valeurs.
Le nombre cherché est donc α = 76.
N.B. Pour faire afficher seulement les valeurs de Y3
dans la table, il suffit de désactiver les fonctions Y1
et Y2 en se plaçant sur le signe = dans l'écran
précédent puis en appuyant sur la touche ¸ .
On peut aussi utiliser la fonction solve du menu
MATH pour déterminer directement la solution de
l'équation
f ( x ) − 0,5 = 10−2
dans l'intervalle [1, 100].
Cette fonction s'obtient en appuyant sur I o
Tableau de valeurs
Précisons les valeurs de f et de f ' en quelques
points :
Naturellement de nombreux résultats restent à
justifier.
On pourra faire les calculs à la main ou en utilisant
par exemple les programmes de calculs formels sur
les fonctions rationnelles présentés dans le livre TI82, programmes pour le lycée, Editions Dunod.
Distance courbe / asymptote
Le calcul de g(8) est immédiat.
L'inégalité du d) en découle en utilisant la
décroissance et la positivité.
Pour le d) on peut introduire une fonction Y3 :
Les pièges du calcul de limites sur
les calculatrices numériques
Prenons l'exemple tiré du livre Mathématiques au
lycée avec la TI-82, Editions Dunod.
Soit f la fonction définie sur § par :
TEXAS INSTRUMENTS
3
f ( x) = x + x + 1 − x − x + 1
En multipliant haut et bas par la quantité conjuguée, on obtient :
2x
f ( x) =
2
2
x + x +1 + x − x +1
Plaçons la première expression dans Y1 et la
seconde dans Y2. Les deux courbes semblent être
superposées, et avoir la droite d'équation y = 1
comme asymptote lorsque x tend vers l'infini. La
table de valeurs ci-dessous donne pourtant des
résultats étranges, dus à des problèmes d'arrondis.
2
2
‚
On ne rencontre pas ce problème avec Y2 qui utilise
la somme de ces deux expressions.
N.B. Ces problèmes ne se rencontrent pas sur la
TI-92, les calculs étant exacts.
c# #
Résolution avec la TI-92
•
On entre la fonction à l’aide
, suivi de
, on se trouve ainsi dans la ligne d’édition.
Appuyer sur
15
Par exemple, lors du calcul de Y1, avec x 10 , et
2
30
2
10 , les valeurs de x x 1 et de
donc x
2
30
x x 1 sont arrondies à 10 par la machine. La
valeur approchée de la différence des racines
carrées de ces expressions est donc nulle.
•
…
• •
y1(x),x)
pour achever la saisie.
‚ •
L'étude de la dérivée peut se faire formellement :
y1(x),x)
Sous cette forme l'étude du signe de la dérivée est
immédiate.
On peut aussi utiliser directement les fonction fMin
et fMax pour déterminer les abscisses des extrema.
Ces fonctions se trouvent dans le menu F3:Calc qui
regroupe les principales fonctions destinées à
l'analyse.
y1(-2)
•
On peut de même obtenir le maximum :
TEXAS INSTRUMENTS
4
c‡
b… ‚
‚
d† •
La TI-92 donne directement la limite de la fonction
en ±∞ , ainsi que le point d'intersection avec
l'asymptote. On utilise pour cela la fonction limit
) et solve du menu F2 (
)
du menu F3 (
La représentation graphique de la fonction s’obtient
d’une façon analogue à celle de la TI-82. Après
avoir réglé la fenêtre de tracé à l’aide de
, le tracé s’obtient avec
.
On peut l’obtenir également en entrant la
commande graph (
) dans la ligne d’édition de
l’écran de calcul, suivi de y1(x), puis
.
Ici aussi, il est possible de détailler ce calcul :
La fonction solve permet d'obtenir le résultat de la
question e).
On obtient ici la valeur exacte.
Il est possible de faire une vérification numérique
en validant avec
.
Par contre, l'étude du signe de cette différence n'est
pas directement effectuée :
‚•
Il reste donc à étudier le signe du numérateur et du
dénominateur.
La TI-92 permet par contre de vérifier l'absence de
racines au dénominateur et d'étudier le signe des
facteurs du premier degré :
TEXAS INSTRUMENTS
5
EXERCICE 3. INTÉGRATION
X
Calcul de I = Y
Z
TA1/B Bordas. N°21 page 182.
3
−1
3x2 + 4 x − 5
x+2
dx
Vérification numérique sur TI-82 ou TI-83
Les calculatrices numériques (TI-80, TI-81, TI-82
et TI-83) permettent de vérifier le résultat.
Vous trouverez dans la dernière partie de ce cahier
un programme de calcul approché d'intégrales
destiné aux TI-80 et TI-81.
Sur la TI-82 et la TI-83, la fonction fnInt permet
d'obtenir le calcul approché d'une intégrale. On y
accède en appuyant sur I o .
Résolution sur TI-92
1. Calcul exact direct.
On peut commencer par définir la fonction, puis on
demande le calcul de l'intégrale de cette fonction
entre les bornes -1 et 3 :
B‡´9†ˆX´[YCDB´ˆ†C
„¯B´C•
¯B´CA´A”…A‡C•
"•¨´‡•
!”…•
Il reste à calculer les valeurs de cette primitive en -1
et en 3 :
Il ne reste plus qu'à faire la différence de ces deux
valeurs pour retrouver la valeur de l'intégrale.
2. La TI-92 permet également de retrouver facilement les principales étapes conduisant à ce calcul.
On doit ici décomposer la fonction rationnelle, puis
rechercher une primitive.
La décomposition se fait en utilisant la fonction
expand, présente dans le menu F2.
f(x))¸
f(x),x)
b‡ ••
TEXAS INSTRUMENTS
6
Texas Instruments
7