ii – manipulations de base

II – MANIPULATIONS DE BASE
Avant d'utiliser votre machine pour des études de suites, comme pour les études de fonctions, il pourra
éventuellement être utile de vérifier qu'elle est bien configurée.
• Sur TI-80. Appuyer sur la touche 3 et vérifier que les options RADIAN, FUNC et CONNECTED sont
•
bien sélectionnées.
Sur TI-81. Appuyer sur la touche 3 et vérifier que les options Rad, Function, Connected et Rect sont
bien sélectionnées.
Sur la TI-80 et la TI-81,on peut considérer que l'on étudie une fonction de x, pour les valeurs entières de x. On se
reportera donc au cahier sur les fonctions. Par contre les TI-82, TI-83 et TI-92 disposent d'un mode spécifique.
Choix du
mode
Sequence
Définition de
la suite
TI-82
TI-83
On sélectionne l'option Seq dans le menu
MODE.
On sélectionne l'option Seq dans le menu
MODE.
3
888999¸
3
888999¸
( c 2 [n] | ¨ d e c 2 [n] a
Ǭd
(
On entre l'indice du premier terme et la
définition de la suite.
B
7µ¸
„|¨d
ec„a«¨d
Vérifiez ensuite la valeur de l'indice du
premier terme de la suite :
•
)
2.
2.
TEXAS INSTRUMENTS
1
1. Suites du type un
•
f (n )
Sur TI-82 et TI-83. Appuyer sur la touche 3 et vérifier que les options Radian, Seq, Connected et
FullScreen sont bien sélectionnées. Appuyez ensuite sur ) 9 (TI-82) ou sur
[FORMAT] (TI-83)
pour vérifier que les options de la colonne de gauche sont toutes sélectionnées. Si vous avez utilisé votre
machine pour des calculs statistiques et les représentations graphiques associées, vous aurez également
besoin de sélectionner l'option PlotsOff : 2 " y ¸.
•
‚eY
Sur TI-92. Appuyer sur la touche
et vérifier que les options SEQUENCE, RADIAN, et FULL sont bien
sélectionnées. Si vous avez utilisé votre machine pour des calculs statistiques et les représentations
.
graphiques associées, vous aurez également besoin de sélectionner l'option Data Plots Off :
TI-92
!X•
On sélectionne l'option SEQUENCE dans la boîte de dialogue MODE
‚aM•B°[…CDB°9†ˆ…C•
Choix du
mode
Sequence
Définition de
la suite
‚’•
Vérifier ensuiter la valeur de nmin dans l'écran WINDOW :
TEXAS INSTRUMENTS
2
Suites du type un=f(n)
TI-82
Calcul de
valeurs
On obtient le symbole Un et le symbole
Vn dans le menu Y-VARS, rubrique
Sequence.
2 [Y-VARS]
y
TI-83
On obtient la lettre u en appuyant sur
2 puis m.
2 [u] c z d ¸
2 [u] c ¨ µ d ¸
On peut obtenir des valeurs rationnelles
en utilisant úFrac que l'on obtient en
appuyant sur I ¨
2 [u] c z d I ¨ ¸
2 [u] c ¨ µ d I ¨ ¸
¨c¨µd¸
I¨¸
2#
2#
2&
2&
2.
2.
TEXAS INSTRUMENTS
3
Suites du type un=f(n)
‚
TI-92
Il n'est pas possible d'obtenir les valeurs exactes des termes d'une suite définie en
utilisant l'écran WINDOW en mode SEQUENCE.
En effet les calculs exacts (surtout dans le cas des suites récurrentes) risquent d'être très
complexes.
Voir exemple page Error! Bookmark not defined..
Calcul de
valeurs
Calcul exact
‚•
u1(10)
‚
B°[…CDB°9†ˆ…C„³B°C•
³B…’C•
c‡³B°CA°AC•
Il est cependant possible d'obtenir ce résultat, par exemple en définissant directement la
suite dans l'écran de calcul. Ceci permettra également ici d'étudier directement la limite :
TEXAS INSTRUMENTS
4
II – MANIPULATIONS DE BASE
Sur les TI-80, TI-82 et TI-83, on peut utiliser les instructions sum (somme des termes d'une liste) et seq
(construction d'une liste) en écrivant :
sum seq(f(N), N, N1, N2,1)
Le premier argument permet de définir l'expression (fonction de N) à utiliser, le deuxième indique que c'est la
variable N qui va varier entre les valeurs N1 et N2 définies par les troisième et quatrième arguments de la fonction
seq. Le dernier argument, le plus souvent égal à 1, indique l'écart (le pas) entre deux valeurs de N.
Cet argument est optionnel sur la TI-83.
TI-80
Calcul de la somme des
termes de rang
1,3,5,…,49 de la suite
définie par un = 1 / n 2 .
TI-82
TI-83
Montrons que :
Calcul approché de e :
10
∑ n3 − n = 110 .
1
27
n=2
20
∑
n =0
xn
n!
(¨e@a
2=9z
2=99z
On choisit l'option sum
dans le menu MATH :
2=z
2=9z
1/(n^3ìn),n,2,
10,1)¸
¨e„I6y
2 = 9 z
Puis l'option seq dans le
menu OPS
I¨¸
2=y2G
¨c@db@b
¨bzµb©d
¸
TEXAS INSTRUMENTS
b„bµb©µ
d¸
2[e]¸
5
2. Somme de termes
La seule limitation à l'utilisation de cette fonction, sur la TI-80 ou sur la TI-82, réside dans l'obligation d'utiliser
des listes de moins de 100 nombres.
Vous trouverez, page 35, un programme utilisable sans restriction sur toutes les calculatrices graphiques
numériques (TI-80, TI-81, TI-82 et TI-83).
TI-92
•
•
La TI-92 dispose d'une fonction permettant de calculer directement une somme de termes.
1/(n^3-n),n,2,10)
(2/3)^k,k,1,n)
¨ ••
p^n,n,0,
)
p>0 and p<1
k^2*(2/3)^(2k+1),k,1,
)
1/k^2,k,1,
1/k^4,k,1,
•
•
)
)
TEXAS INSTRUMENTS
6
II – MANIPULATIONS DE BASE
Étude des suites vérifiant un = f ( un −1 ) .
Soit u une suite telle que un =
Définition de
la suite
1
un −1 + 1 avec u0 = 10 .
2
TI-80
TI-81
(@e©«¨
(@e©«¨
¨µ
„
@¸
TI-82
(M2me©
Ǭ
¨µ§ „¸
)
Note. La formule de
récurrence est placée dans
l'écran Y=. Par contre,
l'indice du premier terme
(nStart) et sa valeur
(UnStart) sont définis dans
l'écran WINDOW.
Calcul des
premiers
termes
2G
¨§@
¸
¸
…
•
M2G
2#
¨§ „¸
¸
¸
…
2&
TEXAS INSTRUMENTS
7
3. Suites définies par récurrence
TI-83
TI-92
3888999
¸
On sélectionne l'option SEQUENCE dans la boîte de
dialogue MODE, puis on entre la définition de la suite et
la valeur du premier terme dans l'écran Y= et l'indice du
premier terme dans l'écran WINDOW.
!X•
‚aM• • •
Définition de
la suite
u1(n-1)/2+1
10
(7µ¸
M2mc„
|¨de©«¨
¸
¨µ¸
2#
2&
Dans l'écran ci-dessus,
l'affichage de la formule
de récurrence a été
obtenu en plaçant le
curseur sur la case u(n).
‚’•
‚
Calcul des
premiers
termes
‚
‚¯
Note. Il est possible d'augmenter ou de diminuer la largeur des
colonnes de la table en tapant
puis en sélectionnant le
nombre de caractères souhaités.Le nombre de décimales
dépend du choix effectué dans la rubrique DISPLAY DIGITS de
la boîte de dialogue MODE.
TEXAS INSTRUMENTS
8
Suites récurrentes
Calcul direct
du terme
d'indice n
TI-80
TI-81
TI-82
Utilisation d'un
programme spécifique.
Utilisation d'un
programme spécifique.
2#
889¸
Voir page Error!
Bookmark not defined..
Voir page Error!
Bookmark not defined..
2&
z¸¨µ¸©
µ¸
Calcul sous
forme
rationnelle
On utilise J © pour
afficher les fractions sous
la forme b/c.
¨µ
„ •
@
Utilisation d'un
programme spécifique.
Voir page Error!
Bookmark not defined..
On utilise I ¨ pour
obtenir un affichage
rationnel
2Gy
•
2G¨J
y§@
¸c{dI¨
¸
TEXAS INSTRUMENTS
9
Suites récurrentes
‚###!#
TI-83
TI-92
2#
889¸
2&
z¸¨µ¸©
µ¸79
5
Calcul direct
du terme
d'indice n
•#••‚
aM•
•#•!•# •#
10
20
30
50
2.
2 [u] c z d ¸
2 [u] c z d
I¨¸
2 [u] c ¨ µ d
I¨¸
Le calcul exact des différents termes d'une suite
récurrente est possible en définissant cette suite dans
l'écran de calcul à l'aide de la fonction when.
‚ „
when(n=0,10,u(n-1)/2+1)
u(5)
Calcul sous
forme
rationnelle
u(n)
• • •
u(10)
u(20)
Voir également page Error! Bookmark not defined..
TEXAS INSTRUMENTS
10
Suites récurrentes
Étude
graphique
de Un en
fonction
de n
TI-82
TI-83
)
choix du cadrage
)
choix du cadrage
Dans le menu FORMAT on choisit Time,
et dans MODE Dot.
Dans le menu FORMAT on choisit Time
2$
)98¸
388889¸
388889 ¸
+9…9
+9…9
En mode G-T on peut afficher les points
et le tableau de valeurs :
38…899¸
+9…9
Le tableau défile automatiquement
lorsque l'on est en mode TRACE.
TEXAS INSTRUMENTS
11
Suites récurrentes
‚
TI-92
Étude
graphique
de Un en
fonction
de n
g!
…•
‚
Choix du cadrage et des points à construire
c!‚!
…
TEXAS INSTRUMENTS
12
Suites récurrentes
TI-80
TI-81
Étude
graphique
de la
convergence
TI-82
)
choix du cadrage
)989¸
Utilisation d'un programme spécifique.
Voir page Error! Bookmark not defined..
38888¸
+9…9
TEXAS INSTRUMENTS
13
Suites récurrentes
TI-83
Retour en mode plein
écran :
‚
TI-92
Étude
graphique
de la
convergence
38…8¸
2$9¸
)
choix du cadrage
g!#
•#!
+9…9
••‚
Note. Si on choisit le mode AUTO, la construction de la toile se
fait directement. Avec l'option TRACE, elle est construite en
mode TRACE lorsque l'on appuie sur .
!
choix du cadrage
‚c! !
…
TEXAS INSTRUMENTS
14
Suites récurrentes
TI-82
TI-83
Somme des
termes
L'idée est de définir une seconde suite par vn = un −1 + vn −1 avec v0 = 0 . On obtient
dans vn+1 la somme des termes jusqu'à un .
Récurrence
linéaire
d'ordre 2
Etudions par exemple
u n = 3 u n −1 − 2u n − 2 avec u 0 = 2 et u 1 = 1
On remplace la relation de définition
par le système :
RSu n = 3 u n −1 − 2 v n −1
Tv n = u n −1
Sur la TI-83, il est possible de définir
directement une relation de récurrence
faisant intervenir n et les termes d'indices
n − 1, n − 2 , etc.
On entre alors les valeurs de u0 et u1
respectivement dans VnStart et UnStart,
et on choisit nStart=1.
TEXAS INSTRUMENTS
Dans ce cas, on entre la liste des termes
initiaux dans la rubrique u(nMin)
Note. On entre la liste dans l'ordre
u1 , u 0
l
q
15
Suites récurrentes
TI-92
Dans le tableau de valeurs, on peut par exemple lire sur la ligne correspondant à n = 5,
que u5 = 2.25 et que u0 + u1 + +u4 = 25.5 .
Somme des
termes
Sur la TI-92, il est possible de définir directement une relation de récurrence faisant
intervenir n et les termes d'indices n − 1, n − 2 , etc.
Récurrence
linéaire
d'ordre 2
Dans ce cas, on entre la liste des termes initiaux dans la rubrique ui1
l
Note. On entre la liste dans l'ordre u 1 , u 0
q
Voir également l'exemple d'étude des suites de Fibonacci, page 3.
TEXAS INSTRUMENTS
16
Suites récurrentes
TEXAS INSTRUMENTS
17