Sur une inégalité de type Poincaré

Sur une inégalité de type Poincaré
Fabrice Planchon ∗
Résumé. On démontre que pour une fonction f dont le spectre fréquenciel est
disjoint de la boule unité, k|f |q−1 kLq′ . k∇(|f |q−1 )kLq′ , pour q ≥ 2. Pour q =
2 ceci n’est que l’inégalité de Poincaré, et en utilisant Hölder on peut obtenir
k|f |q/2 kL2 . k∇(|f |q/2 )kL2 , qui a d’intéressantes applications pour les équations
aux dérivées partielles.
Abstract. Let f be such that its Fourier transform is supported outside the unit
ball. We prove the following inequality k|f |q−1 kLq′ . k∇(|f |q−1 )kLq′ , for q ≥ 2.
For q = 2 this is nothing but Poincaré inequality, while by using Hölder we get
k|f |q/2 kL2 . k∇(|f |q/2 )kL2 , which has interesting applications for partial differential equations.
Introduction
Considérons une fonction f qu’on prendra dans la classe de Schwartz,
dont le support de la transformée de Fourier est compact et ne contient pas
zéro. Les théorèmes classiques de multiplicateur de Fourier nous assurent
alors que contrôler f ou ∇f est équivalent dans tous les espaces de Lebesgue
Lp . Considérons maintenant β ≥ α > 1, q = α + β > 2 : par application
successive de l’inégalité de Hölder et de l’inégalité de Bernstein, il vient
Z
|∇f |α |f |β . kf kqLq ,
(1)
inégalité que l’on peut ré-écrire de la manière suivante :
(2)
q
k∇(|f | α )kLα
. k|f |
q
α
kLα .
On peut alors se demander si l’inégalité inverse demeure vraie : l’obstacle
est alors la mélange fréquenciel induit par la fonction puissance. En effet
Laboratoire d’Analyse Numérique, URA CNRS 189, Université Pierre et Marie Curie,
4 place Jussieu BP 187, 75 252 Paris Cedex
∗
1
q
le spectre de |f | α n’est plus distinct de zéro. Dans [4], l’inégalité renversée
suivante a néanmoins été montrée : soit q = 2m, m entier positif, alors
(3)
kukLq
. k∇(|u|m)k2,
ceci sous des hypothèses restrictives sur le support de û. Nous nous proposons de généraliser cette inégalité, sous des hypothèses beaucoup moins
restrictives, et d’en donner quelques applications potentielles, développées
dans [2] et [3].
1
Résultat et démonstration
Nous allons démontrer l’inégalité suivante, qui constitue en quelque sorte
une inégalité de type Poincaré.
Théorème 1
Soit f une fonction dont le support de la transformée est inclus dans |ξ| > 1.
Alors, on a, pour 2 ≤ q < +∞ et 1 ≤ λ ≤ q − 1,
Z
Z
′
′
q
λ
|∇f |λq |f |q (q−1−λ) ,
(4)
|f | ≤ C(q − 1)
où q ′ désigne l’exposant conjugué de q.
Le cas q = 2, λ = 1 serait l’inégalité de Poincaré, et le cas particulier q ′ λ = 2
la généralisation à tout réel q de (3). Remarquons qu’à l’autre extrémité
λ = q−1, l’inégalité est vraie et résulte juste d’un théorème de multiplicateurs
de Fourier.
La démonstration, très simple, repose sur une intégration par partie, après
un découpage sectoriel de la fonction f suivant chaque direction fréquencielle
ξj . On écrit donc
¯ |q−2 ,
|f |q = f f|f
et l’on introduit une partition de fˆ suivant des secteurs coniques dans les
directions des axes xj , et, avec des notations évidentes,
f=
n
X
j=1
2
fj .
Par intégration par partie,
Z
q
|f | =
n Z
X
¯ |q−2 ),
Fj ∂j (f|f
j=1
1 ˆ
où F̂j = −iξ
fj . Ceci définit bien Fj puisque le support de fˆj ne contient pas
j
l’origine. Ainsi
kFj kLq . kfj kLq . kf kLq .
On en déduit donc
Z
|f |
q
≤
n
X
kFj kLq (
j=1
.
Z
1
¯ |q−2 ))q′ ) q′ ,
(∂j (f|f
n Z
X
′ 1
kf kLq
( (∂j (f¯|f |q−2))q ) q′ .
j=1
¯ |q−2 ) ≤ (q − 1)|∂j f ||f |q−2|, il vient
Finalement, sachant que |∂j (f|f
Z
Z
′
′
q
(5)
|f | . (q − 1) |∇f |q |f |(q−2)q .
Une application de l’inégalité de Hölder permet alors de récupérer toutes
les valeurs 1 ≤ λ ≤ q − 1. Enfin, un simple changement d’échelle permet
d’obtenir l’inégalité lorsque le support de fˆ est contenu à l’extérieur d’une
boule de rayon quelconque centrée à l’origine.
Applications
L’intérêt de l’inégalité (4) vient du cas particulier correspondant à λq ′ =
2. En effet, considérons ∆j un opérateur de localisation autour de la fréquence
|ξ| = 2j , et uj = ∆j u, où u est une distribution tempérée. Alors, grâce à (4),
on obtient, si u est à valeurs réelles,
Z
2j
q
2 kuj kq . − |u|q−1∇2 u.
(6)
Les applications naturelles de cette dernière inégalité sont les équations paraboliques semi-linéaires, et nous renvoyons à deux exemples de nature diffé3
rente : le premier ([2]) tire partie du meilleur contrôle fourni par (6) sur l’évolution des solutions des équations de Navier-Stokes incompressibles. Énonçons le résultat principal obtenu dans [2] : on dénotera par Ḃps,∞ le complété
de la classe de Schwartz dans l’espace de Besov Ḃps,∞ .
Théorème 22
− ,∞
Soit u0 ∈ Ḃ5 5 (R 3 ), de norme suffisamment petite. Alors il existe une solution globale u(x, t) des équations de Navier-Stokes imcompressibles dans R 3
pour laquelle ku(x, t)k − 25 ,∞ 3 est une fonctionnelle de Lyapunov, c’est à
(R )
Ḃ5
dire une fonction décroissante du temps.
Notons que le choix d’exposant pour l’espace de Besov utilisé est tout à fait
arbitraire et correspond au choix le plus simple en terme d’estimations tempsespace pour l’équation. Nous renvoyons à [1] pour l’existence de solutions
dans de tels espaces fonctionnels. La démonstration du résultat précédent
s’appuie de façon essentielle sur (6) pour obtenir une équation différentielle
2
ordinaire sur les quantités 2− 5 j k∆j u(x, t)k5 , constitutives de la norme Besov
considérée. Le théorème 2 est une généralisation aux espaces de Besov d’un
résultat de Kato pour la norme L3 ([5]).
Le second exemple ([3]) utilise (6) pour obtenir des estimations sur l’évolution de l’équation de la chaleur avec une coefficient de diffusion non-constant.
Dans ce cas, on ne dispose pas de la solution fondamentale et (6) se révèle
un substitut utile pour obtenir des estimations a priori.
L’auteur tient à remercier R. Danchin pour de stimulantes discussions.
Références
[1] M. Cannone. Ondelettes, Paraproduits et Navier-Stokes. Diderot Editeurs, Paris, 1995.
[2] M. Cannone and F. Planchon. More Lyapunov functions for the NavierStokes equations. preprint.
[3] R. Danchin. Local theory in critical spaces for compressible viscous and
heat-conductive gases. preprint.
4
[4] R. Danchin. Poches de tourbillon visqueuses. Journal de Mathématiques
Pures et Appliquées, 1997.
[5] Tosio Kato. Liapunov functions and monotonicity in the Navier-Stokes
equation. In Functional-analytic methods for partial differential equations
(Tokyo, 1989), pages 53–63. Springer, Berlin, 1990.
5