Corrigendum à l`articleSommes de modules de sommes d

Pacific
Journal of
Mathematics
CORRIGENDUM À L’ARTICLE
SOMMES DE MODULES DE SOMMES D’EXPONENTIELLES
E TIENNE F OUVRY
Volume 225
No. 1
ET
P HILIPPE M ICHEL
May 2006
PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS
Vol. 225, No. 1, 2006
CORRIGENDUM À L’ARTICLE
SOMMES DE MODULES DE SOMMES D’EXPONENTIELLES
E TIENNE F OUVRY
ET
P HILIPPE M ICHEL
Volume 209:2 (2003), 261–288
The bound (1.1) of the article of the title is incorrect when the integer n
therein contains a large power of 2. A revised proof of the results that
depend on this inequality, namely Theorems 1.1, 1.2, 1.3 and Corollary
1.4, is obtained with different constants in the bounds. Other proofs are
unaffected.
La majoration (1.1) de l’article du titre, à savoir :
Kl(a, b; n) ≤ (a, b, n)1/2 2ω(n) n 1/2 ,
peut être fausse pour n divisible par une grande puissance de 2. En se référant à
l’article original de Salié [1931], on a les inégalités
(
b, 2m )1/2 2m/2
si 0 < m ≤ 4,
m
Kl(a, b; 2 ) ≤ 2 (a,
√
(1)
m
1/2
m/2
2 2 (a, b, 2 ) 2
si m ≥ 5.
Pour m ≤ 5, ces inégalités se déduisent directement de la majoration triviale
Kl(a, b; 2m ) ≤ 2m−1 .
Le cas m ≥ 6 se déduit des relations (18), (23), (35) et (49) de [Salié 1931]. √
Signaest
lons que les égalités (47) et (48) de [Salié 1931] montrent que la constante 2√
optimale et que [Estermann 1961, lemme
3] fournit un énoncé où la constante 2
√
est essentiellement remplacée par 2 2.
√
Pour pallier l’absence du facteur 2 dans l’inégalité (1.1) de notre article,
définissons la somme de Kloosterman modifiée par la formule
√ Klmodif (a, b; n) =
Kl(a, b; n), si n est impair et Klmodif (a, b; n) = Kl(a, b; n)/ 2 si n est pair. Puisque
ces sommes
modifiées
vérifient la multiplicativité croisée, l’inégalité (1) et l’inégalité Kl(a, b; p m ) ≤ 2(a, b, p m )1/2 p m/2 valable pour p premier impair et m ≥ 1
MSC2000: primary 11L05; secondary 11L07.
Mots-clefs: exponential sums, Sato–Tate law.
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ETIENNE FOUVRY
ET
PHILIPPE MICHEL
[Estermann 1961, lemmes 4 et 8], entraı̂nent
Klmodif (a, b; n) ≤ (a, b, n)1/2 2ω(n) n 1/2 .
Par analogie aux sommes A∗ (x) et Ã(x) de notre article, on définit les quantités
A∗modif (x) et Ãmodif (x) en remplaçant Kl par Klmodif . Les arguments utilisés s’appliquent alors à l’étude de ces sommes modifiées conduisant à l’exactitude des
théorèmes 1.1, 1.2, 1.3 et le corollaire 1.4 pour les diverses sommes modifiées
A∗modif (x), Ãmodif (x) et Klmodif (1, 1; n). Pour prouver les théorèmes 1.1, 1.2, 1.3 et
le corollaire 1.4 sur les fonctions A∗ (x), Ã(x) et Kl(1, 1; n) elles-mêmes, il suffit
de faire appel à l’encadrement trivial
√ Klmodif (a, b; n) ≤ Kl(a, b; n) ≤ 2 Klmodif (a, b; n),
quitte à modifier les valeurs des constantes c0∗ (k), c1∗ , c̃0 (k) et c̃1 , apparaissant dans
ces énoncés.
L’erreur décrite ci-dessus n’affecte pas les démonstrations du théorème 1.5 et du
corollaire 1.6 de notre article qui traitent de sommes d’exponentielles très générales,
modulo des entiers sans facteur carré.
Références
[Estermann 1961] T. Estermann, “On Kloosterman’s sum”, Mathematika 8 (1961), 83–86. MR 23
#A3716 Zbl 0114.26302
[Salié 1931] H. Salié, “Über die Kloostermanschen Summen S(u, v; q)”, Math. Z. 34 :1 (1931),
91–109. MR 1545243 Zbl 0002.12801
Received March 17, 2006.
E TIENNE F OUVRY
M ATH ÉMATIQUE
C AMPUS D ’O RSAY
91405 O RSAY C EDEX
F RANCE
[email protected]
P HILIPPE M ICHEL
M ATH ÉMATIQUE
U NIVERSIT É M ONTPELLIER II, CC 051
34095 MONTPELLIER C EDEX
F RANCE
[email protected]