Éléments finis M. Kern PC 2 - mms2

ENSMP – S2733/S2735
2002
Éléments finis
M. Kern
PC 2
Exercice I
Éléments finis en dimension 1 On considère le problème :
−(p(x)u0 (x))0 + q(x)u(x) = f (x) dans ]0, 1[
u(0) = u(1) = 1
où p et q sont définies et bornées sur [0, 1], avec p(x) ≥ p? > 0, q(x) ≥ 0, et f ∈ L2 (0, 1).
1)
En donner une formulation variationnelle. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution.
2)
Posons h = 1/(N + 1), N ∈ N, x j = jh, j = 0, 1, . . . , N + 1, et
Vh = {vh ∈ C0 ([0, 1]), vh ∈ P1 sur ]x j , x j+1 [, ∀ j, vh (0) = vh (1) = 0}
Vérifier que Vh ⊂ H01 (]0, 1[). Montrer qu’il existe une fonction unique de vh telle que
w j (x j ) = 1;
w j (xi ) = 0,
i 6= j
et que (w j ) j=1,N est une base de vh . Donner l’expression de w j .
On définit l’opérateur d’interpolation Ih associé au maillage précédent. Étant donné une fonction v ∈ H 1 (0, 1, on note Ih v la fonction de Vh qui prend les mêmes valeurs que v aux points su
maillage :
Ih v ∈ Vh , Ih v(x j ) = v(x j ), ∀ j = 1, . . . , N.
3)
Écrire le problème approché. Former les intégrales permettant de calculer la matrice et le
second membre du problème approché. Achever le calcul dans le cas où p(x) = 1, q(x) = 0, et
où l’on remplace f par son interpolée.
Exercice II
Estimation de l’erreur On reprend les notations de l’exercice précédent.
On veut majorer l’erreur entre la solution exacte u et la solution approchée uh . On notera kuk1 =
R
1/2
2
1 0
|u
(x)|
dx
la norme sur H01 (0, 1). On fait l’hypothèse (de régularité) u00 ∈ L2 (0, 1).
0
1)
Montrer que ku − uh k1 ≤ C ku − Ih uk, avec une constante C > 0.
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2)
On note e j = (u − Ih u)|[x j ,x j+1 ] . En utilisant e j (x j ) = e j (x j+1 ) = 0, montrer qu’il existe
R
ξ ∈ [x j , x j+1 ] tel que e0j (x) = ξx e00j (t) dt. En déduire que
Z x j+1 Z x j+1 e0j (x)2 dx ≤ h2
u00 (x)2 dx.
xj
3)
xj
Conclure que
ku − Ih uk1 ≤ h
Exercice III
Z
0
1
u (x)2 dx
00
1/2
.
Élément fini P2 Soit T un triangle. On note (N1 , N2 , N3 ) les sommets,
N4 resp (N5 , N6 ) un point de l’arête [N1 , N3 ] ( resp. [N3 , N1 ], [N1 , N2 ]) à choisir.
F IG . 1 – Triangle P2
On note Li l’équation de la droite qui définit le côté 3 − i (la fonction affine telle que un point
est sur la droite N1 N2 ssi L3 = 0). On note P2 l’espace des polynômes de degré ≤ 2.
1)
Quelle est la dimension de P2 ?
2)
Soit P un polynôme en (x, y) de degré d ≥ 1 qui s’annule sur une droite L. Montrer qu’on
a P = LQ , où Q est un polynôme de degré d − 1.
3)
Montrer qu’il existe une unique fonction de P2 prenant des valeurs données aux points
(Ni )i=1,...,6 .
Exprimer les fonctions de base (prenant la valeur 1 en un point et 0 au 5 autres) en fonction
des coordonnées barycentriques sur le triangle.
4)
Soit deux triangles adjacents : Comment doit-on placer les points N4 , N5 , N6 pour qu’une
fonction P2 sur chaque triangle soit continue sur T1 ∪ T2 ?
Exercice IV
Rectangle à 8 noeuds On considère un rectangle à 8 noeuds (figure 3),
et l’espace de polynômes
(
P=
4
5
i=1
i=1
)
p ∈ Q2 , 4p(G) + ∑ p(Ai ) − 2 ∑ p(Ai ) = 0 .
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F IG . 2 – Deux triangles adjacents
F IG . 3 – Triangle P2 bulle
1)
Montrer que P2 ⊂ P.
2)
Montrer que l’élément de Lagrange correspondant est P unisolvant. Calculer les fonctions
de base de cet élément.
3)
Montrer que cet élément fini est conforme H 1 .
Exercice V
Un élément fini « non standard » Étant donné un triangle K, on note
b la fonction « bulle » (faire un dessin pour expliquer le nom de cette fonction)
b(x, y) = λ1 (x, y)λ2 (x, y)λ3 (x, y)
On note P l’espace de polynomes de la forme
P = p = p2 + αb, p2 ∈ P2 , α ∈ R
1)
Quelle est la dimension de P ? Montrer que P2 ⊂ P ⊂ P3 , et que l’ensemble suivant est P
unisolvant
2)
Montrer, avec un minimum de calcul, que cet élément est conforme H 1 .
Exercice VI
Laplacien dans un carré On considère le problème :
(
−∆u = f
u=0
dans Ω =]0, 1[×]0, 1[
sur ∂Ω.
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S2
M3
G
M1
S1
S3
M2
F IG . 4 – Triangle P2 bulle
On discrétise le problème par éléments finis P1 , en prenant un maillage régulier du carré Ω
de pas h = 1/(N + 1).
(i, j+1)
(i−1, j)
(i, j)
(i+1, j)
(i, j−1)
F IG . 5 – Maillage régulier du carré unité
On note Mi j = (ih, jh), i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , N les points du maillage, et ϕi j la fonction de
base associée au point Mi j .
1)
Donner la formulation variationnelle de ce problème.
2)
Quel est le support de ϕi j ? Écrire l’expression de ϕi j et des ses dérivées partielles dans
chacun des triangles contenus dans le support.
3)
4)
Pour les couples (k, l) tels que supp ϕi j ∩ supp ϕkl 6= 0/ calculer
En déduire les équations du système discrèt.
Ω ∇ϕi j ∇ϕkl .
R
On adopte une numérotation des inconues par colonne ;
U = (U11 ,U21 , . . . ,UN,1 ,U12 , . . . ,Ui j . . . ,U1,N , . . . ,UN,N ).
Écrire la matrice du système.