Franck BOYER , Stella KRELL , Flore NABET

Stabilité Inf-Sup du schéma DDFV
pour le problème de Stokes 2D
1
BOYER ,
Franck
Stella
2
KRELL ,
Flore
1
NABET
1
Aix-Marseille Université, 2 Université de Nice
[franck.boyer,flore.nabet]@univ-amu.fr, [email protected]
On propose un schéma DDFV (D ISCRETE D UALITY F INITE
VOLUME) pour le problème de Stokes :
Trouver u : Ω → R2 et p : Ω → R,

−∆u + ∇p = f , dans Ω,



div(u) = 0, dans Ω,
Z
(P)
1



p(x)dx = 0;
u = 0, sur ∂Ω, m(p) =
|Ω| Ω
Ω ouvert polygonal borné connexe de R2, f ∈ (L2(Ω))2.
• Inf-Sup inégalité :
Z


pdiv(v)


Ω
 > 0.
β = inf 
sup
p∈L2(Ω) v∈(H 1(Ω))2 kvkH 1 kp − m(p)kL2 
Principales questions :
1. Bien posé : Pour un maillage donné, a-t-on βT > 0 ?
2. Stabilité : Pour une famille de maillages, a-t-on
lim inf βT > 0 ?
size(T )→0
2. Formulation comme un problème de valeurs
propres
• Quelques matrices utiles :
Rigidité RT : (RT uT , vT ) = (∇DuT : ∇DvT )D,
Divergence BT : (BT vT , pD) = (divDvT , pD)D,
Masse en pression MT : (MT pD, q D) = (pD, q D)D.
0
1. Cadre DDFV
Lemme : Relation avec le complément de Schur
• Maillages DDFV : primal, dual et ”diamant”.
βT 2 = la seconde plus petite valeur propre de la matrice ST
− 12
L∗
xL
− 21
= λ2(ST ) où ST = MT BT RT−1tBT MT .
xL∗
xK
L
1
K∗
K
Remarque : p̄D = MT2 1 ⇒ ST p̄D = 0 ⇒ λ1(ST ) = 0.
xK∗
Maillage diamant D
Maillage dual M∗
Maillage primal M
• Zoom sur les cellules diamants : (supposées convexes)
~
nσK
~
τK,L
~
τK∗ ,L∗
mσ
~
nσ∗ K∗
Définition : Mode en damier
Le mode en damier ψ D est défini par :
D
ψ = +1 si l’arête primale de D est horizontale,
ψ D = −1 si l’arête primale de D est verticale.
Remarque : m(ψ D) = 0 et kψ DkD,2 = 1.
Théorème : Maillage cartésien uniforme
Soit T un maillage cartésien uniforme, alors :
(divDvT , ψ D)D = 0,
∀vT ∈ E0.
Théorème : Maillage cartésien non conforme
Soit T un maillage cartésien non conforme (cas 5 et 6),
alors il existe C1, C2 > 0 (indépendantes de size(T )) telles
que :
!
1
1
(divDvT , ψ D)D
2.
C1size(T ) 2 ≤ sup
≤
C
size(T
)
2
|||∇DvT |||D,2
vT ∈E0
4.2 Résultats numériques
• Comparaison des valeurs propres de ST avec :
m(pD)=0
• Méthode numérique :
Méthode d’itération de sous-espaces avec projection de
Rayleigh-Ritz.
Résolution d’un problème de Stokes à chaque itération.
xK ∗
xK
Preuve : Manipulations algébriques à partir de la formule :
!
(BT vT , pD)
βT = inf
sup
.
1
1
pD∈RD
vT ∈E0 (RT vT , vT ) 2 (MT pD, pD) 2
4.1 Inf-Sup instabilité
fT =
β
inf
pD∈{ψ D}⊥
(divDvT , pD)D
sup
D T
D
D
vT ∈E0 |||∇ v |||D,2kp − m(p )kD,2
Cas 5
100
!
.
Cas 6
100
αD
xL
mσ∗
3. Stabilité Inf-Sup inconditionnelle
xL∗
10−1
Cas 2
Cas 1
• Inconnues discrètes :
D
D
p = p D∈D ∈ RD,
T
u =
∗
uM, uM
∈
R2
T
10−2 −3
10
∗
M
M
où u = (uK)K∈M∪∂M, u
= (uK∗ )K∗∈M∗∪∂M∗ .
• Gradient discret : ∇D est constant sur chaque diamant,
Maillage triangles conforme
Maillage triangles non conforme
Cas 3
Cas 4
∇D uT .(xL − xK) = uL − uK,
∇D uT .(xL∗ − xK∗ ) = uL∗ − uK∗ ,
uL − uK
uL ∗ − uK ∗
1
D T
⊗~
nσ ∗ K ∗ .
⊗~
nσK +
∇ u =
sin(αD )
mσ∗
mσ
10−1
pente 0.5
β
pT
λ3(S)
fT
β
10−2size(T )10−1
pente 0.5
β
pT
λ3(S)
fT
β
10−2 −3
10
100
10−2size(T )10−1
100
=⇒ Instabilit
p é mais il y a un unique mode instable.
fT ∼ λ3(ST ).
=⇒ β
=⇒ ψ D bonne approximation du mode instable.
• Modes instables :
Cas 5
Cas 6
• Divergence discrète sur le maillage diamant :
divD uT = Tr(∇D uT ),
∀D ∈ D.
Maillage en ”damier”
Maillage avec interfaces tri./rect.
Maillages Inf-Sup stables
• Divergence discrète sur les maillages primal et dual :

1 X
D
K D


div
ξ
=
m
ξ
~
nσK,
∀ K ∈ M,
σ


mK
σ⊂∂ K
divT (ξ D) =
1 X
∗ D

D
K
∗.
∗

∗
∗
∗
div
m
ξ
=
ξ
~
n
,
∀
K
∈
M
σ
σ K


mK∗
σ ∗⊂∂ K∗
∇T pD = divT (pDId).
Gradient de pression
Théorème : Soit T une famille régulière de maillages triangles conformes (cas 1) ou de triangles non conformes
(cas 2) ou de maillages ”en damier” (cas 3). Il existe βT > 0
(indépendante de size(T )) telle que pour tout pD ∈ RD,
!
DvT , pD)
(div
D
βT kpD − m(pD)kD,2 ≤ sup
.
D
T
|||∇ v |||D,2
vT ∈E0
• Produits scalaires discrets et normes associées :
Pour pD, q D ∈ RD et ξ D, φD ∈ (M2(R))D,
1
P
D
D
D D
D
D
D
2
,
(p , q )D =
mD p q ,
kp kD,2 = (p , p )D
P
D
D
(ξ : φ )D =
mD Tr(tξ D φD ),
D∈D
1
Triangles conformes, Cas 1
Triangles non conformes, Cas 2
”Damiers”, Cas 3
Interfaces triangles/rectangles, Cas 4
βT
D∈D
100
2
|||ξ D|||D,2 = (ξ D : ξ D)D
.
10−1 −2
10
10−1
size(T )
100
1
2
D,2 ≤ Csize(T ) ,
5. Conjectures
Cas 5
Cas 6
Les tests numériques semblent montrer que la méthode
DDFV est, en général, Inf-Sup stable. En particulier, on
observe la stabilité dans les cas suivants :
• Constante Inf-Sup discrète associée :
pD∈RD
Théorème : Asymptotique des modes instables
Soit T un maillage cartésien non conforme, il existe C > 0
(indépendante de size(T )) telle que :
4. Stabilité Inf-Sup de codimension 1
n
o
T
où E0 = uT ∈ R2 : ∀K ∈ ∂M, uK = 0, ∀K∗ ∈ ∂M∗, uK∗ = 0 .
inf
Théorème : Soit T un maillage cartésien, il existe βT > 0
(indépendante de size(T )) telle que pour tout pD ∈ RD
vérifiant (pD, ψ D)D = 0 :
!
DvT , pD)
(div
D
βT kpD − m(pD)kD,2 ≤ sup
.
D
T
|||∇ v |||D,2
vT ∈E0
où q D est le mode propre instable observé numériquement.
D∈D
βT =
4.3 Inf-Sup stabilité de codimension 1
kq D − ψ Dk
• Schéma Stokes-DDFV :
Trouver uT ∈ E0 et pD ∈ RD tels que :

T
D uT ) + ∇ T p D = f T ,

−div
(∇



divDuT = 0,
P

D
D

m(p
)
=
m
p
= 0.

D

(divDvT , pD)D
sup
D T
D
D
vT ∈E0 |||∇ v |||D,2kp − m(p )kD,2
Pas de formule explicite pour ces modes !!
• Maillages quadrangles conformes assez proches des
rectangles.
!
Maillage bidomaine
Maillage localement rafffiné
Maillages cartésiens non conformes
• Maillages conformes composés de triangles et de rectangles (cas 4).
References
[1] F. B OYER , S. K RELL ET F. N ABET, Inf-Sup stability of the Discrete Duality Finite Volume method for the 2D Stokes problem, soumis, http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00795362, 2013.
[2] M. D OBROWOLSKI, On the LBB condition in the numerical analysis of the Stokes equations, Applied Numerical Mathematics, Vol. 54, Issue 3-4, 314–323, 2005.
[3] T. G ALLOU ËT, R. H ERBIN ET J.C. L ATCH É, W 1,q stability of the Fortin operator for the MAC scheme, Calcolo, Vol. 49, Issue 1, 63–71, 2012.
[4] S. K RELL, Stabilized DDFV schemes for Stokes problem with variable viscosity on general 2D meshes, Num. Meth. for PDEs, Vol. 27, Issue 6, 1666–1706, 2011.
[5] D.S. M ALKUS, Eigenproblems associated with the discrete LBB condition for incompressible finite elements, International Journal of Engineering Science, Vol. 19, Issue 10, 1299–1310, 1981.