Chapitre 1.2 –La loi de Coulomb

Chapitre 1.2 –La loi de Coulomb
La loi de Coulomb en électrostatique
Dans les années 1780, le physicien français Charles-Augustin de
Coulomb découvre expérimentalement l’expression décrivant le
module de la force électrique que s’exercent deux charges
électriques immobiles disposées sur des sphères. De nos jours, nous
savons que la loi de Colomb s’applique à toutes les particules pouvant
être considérées comme étant ponctuelles. Coulomb réalise que le
module de la force électrique dépend des paramètres suivants :
Fe  q1 q 2 : La force électrique est proportionnelle au produit des deux
charges q1 et q 2 en attraction ou en répulsion.
Charles A. Coulomb
(1736-1806)
Fe  1 / r 2 : La force électrique est inversement proportionnelle au
carré de la distance entre les deux charges.
Fe  k :
La force électrique est proportionnelle à une constante
afin d’évaluer la force électrique en newton.
Voici l’expression scalaire de la loi de Coulomb en électrostatique1 :
Fe  k
où
q1q2
r2
Fe : Force électrique en newton (N)
q1 : Charge #1 qui applique la force électrique sur la charge #2 en coulomb (C)
q 2 : Charge #2 qui applique la force électrique sur la charge #1 en coulomb (C)
r : Distance entre les deux charges ponctuelles en mètre (m)
k : Constante de la loi de Coulomb, k  9,00  10 9 N  m 2 /C 2
Attraction
Charges signes contraires ( q1 q 2  0 )

Fe21
q1
Répulsion
Charges signes semblables ( q1 q 2  0 )
 q2
Fe12 

Fe12 
q1

Fe 21
r
q2
r
1
La loi de Coulomb tel que présentée s’applique uniquement à deux regroupements de charges immobiles et
porte le nom de loi de Coulomb en électrostatique.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Situation 2 : Une bille chargée en équilibre. Une petite bille
chargée A est suspendue au plafond par une corde de 25 cm de
longueur dont la masse est négligeable. On place une petite bille B
dont la charge est égale à +5 μC à l’extrémité d’une baguette en
bois et on l’approche de la bille A. On obtient la situation
d’équilibre illustrée sur le schéma ci-dessous : la corde fait un angle
de 30o avec la verticale et la bille B est à 10 cm à droite de la bille
A, à la même hauteur. On désire déterminer la charge de la bille A,
sachant que sa masse est égale à 0,004 kg.
Voici le schéma des forces de
la situation :
B
r
B
A
Résolution de la 2ième
loi de Newton graph. :
Décomposition des forces
selon l’axe xy :

Fe
y

a 0
r


T

T cos 
 A
Fe 
mg
Fe

T

mg
x
T sin 
m Ag

T
Appliquons la 2ième loi de Newton selon l’axe y :
F
y
 T cos   mA g  0
mA g
cos 

T

T

T  0,0453 N
(Isoler T)
0,0049,8
cos30
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer T)
Appliquons la 2ième loi de Newton selon l’axe x :
F
x
  Fe  T sin    0

Fe  T sin  
(Isoler Fe )

Fe  0,0453sin 30
(Remplacer valeurs num.)

F e  0 , 02265
(Évaluer Fe )
N
Avec la définition de la force électrique, nous pouvons évaluer la charge de la bille A :
Fe  k
qA qB
r2
Fe r 2

k qB

qA

qA 

q A  5  10 9 C
(Évaluer q A )

q A  5  10 9 C
(Attraction et q B  0 )
(Isoler q A )
0,022650,12
9  10 5  10
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
9
6
(Remplacer valeurs num.)
Page 2
La loi de Coulomb sous forme vectorielle
La définition vectorielle de la force électrique nécessite le
vecteur unitaire r̂ désignant l’orientation radiale de la force
électrique. Dans cette définition, il faut préciser quelle charge
Q applique la force et quelle charge q subit la force :

qQ
Fe  k 2 rˆ
r
où

Fe
q>0
r̂
r
Q>0

Fe : Force électrique en newton (N)
Q : Charge qui applique la force électrique en coulomb en coulomb (C)
q : Charge qui subit la force électrique en coulomb (C)
r : Distance entre les deux charges ponctuelles en mètre (m)
k : Constante de la loi de Coulomb, k  9,00  10 9 N  m 2 /C 2
r̂ : Vecteur unitaire orientation de Q (source) à q (cible)
( rˆ  1 )
Remarque :
 Le terme k qQ / r 2 représente le module de la force électrique.
 Le terme r̂ désigne l’orientation de la force de la source Q vers la cible q.
 Le signe du produit qQ désigne la nature de l’interaction (attraction (-) ou répulsion (+)).
Le vecteur orientation r̂
Lorsqu’on utilise le vecteur orientation r̂ , il est important de ne pas confondre ce vecteur

avec la notion de déplacement r et de distance r. Cependant, toutes ces notions sont reliées
mathématiquement par l’équation suivante :

r
rˆ 
r
où
ou

r  r rˆ
Q
r̂
r̂ : Vecteur unitaire orientation.

r : Vecteur déplacement entre deux points.

r : Distance entre deux points ( r  r )
Dans un système d’axe xy, le vecteur unitaire r̂ peut être
décomposé de la façon suivante :


rˆ  cos i  sin   j
où

r  rrˆ
 : Angle entre le vecteur r̂ et l’axe x
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina

r
q
r
y
r̂

sin   j


cos i
x
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Situation A : Deux charges alignées sur l’axe x.
Une charge A de 8 µC est située à 2 m à droite
d’une charge B de -3 µC. Les deux charges sont
alignées sur l’axe x. On désire évaluer (a) la force
électrique appliquée par la charge A sur la charge B
et (b) la force électrique appliquée par la charge B
sur la charge A.
QB
QA
2m
xm 
Voici les informations pertinentes au calcul de la force électrique appliquée par la charge A
sur la charge B :

QA  8 μC
QB

q B  3 μC

r2 m

rˆ  i (A vers B)


FAB
r̂
QA
2m
xm 
Évaluons la force électrique que la charge QA applique sur la charge q B :

q Q
FAB  k B 2 A rˆ
r







 3  10 6 8  10 6
FAB  9  10 9
 i 
2
2


FAB  0,054 i N
(a)

Appliquons la 3ième loi de Newton afin d’évaluer la force électrique que la charge B
applique sur la charge A :




FAB   FBA

FBA   0,054 i N


FBA  0,054 i N (b)



Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Situation B : Deux charges non alignées sur un axe. On désire évaluer la force électrique



qu’applique la particule A de 7 μC située à la position rA  i  2 j sur la particule B
 

3 μC située à la position rB  3 i  j .
Voici la représentation graphique de
y (m)
la situation dans un système d’axe
QA

rA
cartésien xy. Notons la présence des
les vecteurs positions suivants :



rA  i  2 j
 

rB  3 i  j

rB

r
QB

 rA

r

FAB
x (m)

Évaluons le vecteur déplacement r de la particule A vers la particule B à partir des deux


vecteurs positions rA et rB :
 


  

r  rB  rA

r  3 i  j   (i  2 j )
(Remplacer valeurs num.)
 


r  2i  j

(Évaluer r )

Évaluons la distance entre la particule A et la particule B à partir du vecteur déplacement r :

r r

r  rx  ry

r

r 5
2
2
(Distance selon xy)
22   12
(Remplacer rx et ry )
(Évaluer r)

Évaluons le vecteur unitaire r̂ à partir du vecteur déplacement r et de la distance r :

 
1
r

rˆ 
2 ij
rˆ  

(Remplacer r et r)
r
5


Évaluons la force de Coulomb vectoriellement :

qQ
Fe  k 2 rˆ
r





q Q
FAB  k B 2 A rˆ
r

7  10 6 3  10 6
FAB  9  10 9
2
5

0,189  
FAB 
2 ij
5 5



FAB  0,034i  0,017 j  N




 

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Remplacer q  q B et Q  QA )
 
1

 5
2 i  j  (Remplacer valeurs num.)

(Calcul)
(Calcul)
Page 5
Situation C : Force électrique provenant
de deux charges. On désire évaluer la
force électrique résultante (module et
orientation) exercée par Q1 de 4 μC et Q2
de  2 μC sur Q3 de 3 μC sachant que
les charges sont situées aux endroits
spécifiés sur le schéma ci-contre.
Q3
3 cm
Q1
Q2
4 cm
Voici la représentation graphique de la situation.
Identifions nos vecteurs positions pour l’ensemble
de nos charges à l’aide d’un système d’axe xy
lorsque l’origine est située à la position de la charge
Q2 (choix arbitraire) :


Q1  4 μC
r1  0,04 i

Q2  2 μC
r2  0


q 3  3 μC
r3  0,03 j
ycm

F13
Q3

r3

F23
Q1

r1
Q2 xcm

Évaluons nos vecteurs déplacement r ainsi que la distance r entre nos charges :



 

Charge 1 vers 3 :
r13  r3  r1

r13  0,04 i  0,03 j
Charge 2 vers 3 :

r13  r13

r13 

 
r23  r3  r2



 
r23  r3  r2  0,03 j

r23  r23

r23 
0,042  0,032
0,032
 0,05
 0,03
Évaluons la force électrique à l’aide de la formule suivante modifiée2 :



qQ
qQ r

Fe  k 2 rˆ

Fe  k 2
(Remplacer rˆ  r / r )
r
r r

qQ 
Fe  k 3 r

(Simplification)
r

1 / r 3 utilise la notion de vecteur déplacement r et non le vecteur

orientation r̂ . Utilisez cette expression avec précaution. Rappel : r  r et rˆ  1
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Page 6
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
2
L’équation de la force électrique en
Appliquons cette équation à nos deux paires de charges :

qQ 
F13  k 3 31 r13
r13



qQ 
F23  k 3 32 r23
r23










3  10 6 4  10 6
F13  9  10 9
0,04 i  0,03 j 
3
0,05



F13  34,56 i  25,92 j N



Évaluons la force résultante F sous forme vectorielle :
 





F  F13  F23

F  34,56 i  25,92 j    60 j 



F  34,56 i  34,08 j  N

Évaluons le module du vecteur force F :

2
2
2
2
F  F  Fx  F y 
F  34,56    34,08




3  10 6  2  10 6
F23  9  10 9
0,03 j 
3
0,03


F23  60 j N
F  48,53 N
(Remplacer force)

(Évaluer F )
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer F)
Nous pouvons évaluer l’orientation de la force à l’aide d’un angle par rapport à l’axe x
grâce à la relation trigonométrique tangente :
tan   
Fy
Fx



 Fy
  tan 1 
 Fx



(Isoler θ)
  34,08 

  tan 1 
 34,56  
  44,6
(Remplacer valeurs num.)
(Évaluer θ)
Voici la représentation graphique de la solution :

F13
 44,6
48,53 N

F23

F
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7
Gravitation vs Électromagnétisme
Voici un tableau comparatif entre la force gravitationnelle et la force de coulomb :
Force gravitationnelle
Mm
Fg  G 2
r
Force électrique

Fg
M

Fe
qQ
Fe  k 2
r
m
r
Q
q
r

Fe
Fg : Force gravitationnel (N)
Fe : Force électrique (N)
M : Masse qui applique la force (kg)
m : Masse qui subit la force (kg)
G : Constante de gravitation
G  6,672  10 11 N  m 2 /kg 2
r : Distance entre les deux masses (m)
• Type de force : Attraction
• Portée : Infinie
Q : Charge qui applique la force (C)
q : Charge qui subit la force (C)
k : Constante de la loi de Coulomb
k  9,00  10 9 N  m 2 /C 2
r : Distance entre les deux charges (m)
•Type de force : Attraction ou répulsion
•Portée : Infinie
Effectuons une comparaison entre la force gravitationnelle et la force électrique entre deux
électrons en effectuant un rapport entre la force électrique et la force gravitationnelle :
Information gravitation
Information électrique
Masse électron : 9,11  10 31 kg
M  m  me  9,11  10 31 kg
Charge électron :  1,6  10 19 C
Q  q  e  1,6  10 19 C
Ainsi :
k qQ
k e2



2
2
Fe
9  10 9 1,6  10 19
r2 
r 2  ke 

Fg GMm 2 Gme 2 2 Gme 2
6,672  10 11 9,11  10 31
r
r



2
 4,2  10 42
≈ 10
42
Conclusion :
 La force électrique est beaucoup plus grande que la force gravitationnelle.
 Notre Univers est neutre (planète et étoile).
 Les objets gardent leur structure grâce à l’interaction électrique entre les atomes.
 Déséquilibre électrique  rééquilibre violent
étincelle
foudre
Coke diet et mentos
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Plastique explosif
Page 8
La constante électrique
La loi de Coulomb peut être évaluée à partir de la constante électrique dans le vide.
Historiquement, cette constante portait également le nom de permittivité du vide. Cette
constante est principalement utilisée pour simplifier d’autres expressions mathématiques en
lien avec la force électrique :
Fe 
où
1 qQ
4 0 r 2
Fe : La force électrique en newton (N)
q : Charge qui subit la force en coulomb (C)
Q : Charge qui applique la force en coulomb (C)
r : Distance entre les deux charges en mètre (m)
 0 : Constante électrique (permittivité du vide),  0  8,85  10 12 C 2 N -1m -2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(0 
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1
)
4 k