Couple, travail et énergie cinétique

C hapitre 8
Couple, travail
et énergie cinétique
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Activité documentaire n° 1
Couple, puissance et vitesse d’un moteur

• Exploiter :
1. La puissance maximale de 90 kW est obtenue à un régime moteur de 5 000 tr/min.
Le couple maximal de 190 N·m est atteint entre 3 500 et 4 000 tr/min.
2. Sachant qu’un cheval vapeur (ch) correspond à 736 W et que la puissance du moteur est
90 kW :
90 000
P =
= 122,3 ch.
736
en ch
3. À 4 000 tr/min, la lecture du graphe donne respectivement pour puissance et couple du moteur :
En considérant la loi :


P = 78 000 W et C = 195 N·m.
en W
en N·m
P=C×ω
puissance (en W) = couple (en N·m) × régime moteur (en rad·s–1).
Le rapport donne :
P
ω = = 400 rad·s–1.
C
Soit, en tours par minute :
400 × 60
= 3 820 tr/min
2π
Cette valeur correspond à l’ordre de grandeur des 4 000 tr/min lus sur le graphique.
4. C’est la boîte de vitesses qui permet d’adapter la vitesse du moteur pour qu’il fournisse un
couple quelles que soient les conditions de roulage du véhicule.
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Activité documentaire n° 2
Comment assurer l’équilibre d’un solide en rotation ?
• Réaliser et observer :
La barre à trous est de longueur L = 60 cm et a une masse M = 110 g. Son centre de gravité est à
la distance l = 30 cm de l’axe de rotation Δ.
m = 200 g et D = 20 cm = 0,2 m.
L’intensité de la pesanteur est g = 9,8 N·kg-1.
La distance D3 adoptée pour l’expérience est D3 = 50 cm.
Récapitulatif des résultats :
D1 = 60 cm
D2 = 40 cm
D3 = 50 cm
F1 = 1,2 N
F2 = 1,8 N
F3 = 1,4 N
F1 × D1 = 0,7 N·m
F2 × D2 = 0,7 N·m
F3 × D3 = 0,7 N·m
Chapitre 8 - Couple, travail et énergie cinétique
45
F1 × D1 = F2 × D2 = F3 × D3

• Exploiter :
1. L’équilibre à l’horizontale de la barre pour sa rotation autour de l’axe Δ s’écrit lors des trois
situations :
Mgl + mgD = F1 × D1 = F2 × D2 = F3 × D3
Ainsi le tableau vérifie :
F1 × D1 = F2 × D2 = F3 × D3
2. Le produit F × D s’exprime en newton·mètre (N·m).
3. C’est le moment MΔ(tF ) de la force tF qui caractérise l’effet de rotation de la barre à trous autour
de l’axe Δ : MΔ(tF ) = F × D
bras de levier
Le « bras de levier » est la distance D entre la droite d’action de la force tF et l’axe de rotation Δ.
Extraire l’information utile
L’aérodynamique automobile

sans dimension
M·L
L

(L·T )



1
C · ρa · S · v 2 = M · L·T.–2
2 x
–1 2
3
–3

• Exploiter :
1. Analyse dimensionnelle :
masse accélération
La résistance aérodynamique est bien une force, produit d’une masse par une accélération. Elle
s’exprime en newton (N).
2. Un véhicule utilitaire sport (Cx = 0,38 et S = 2,70 m2) à moteur Diesel roule à 130 km/h.
Conversion des km/h en m/s :
130
130 × 1 000
m·s–1 =
130 km·h–1 =
m·s–1.
3,6
3 600
La résistance aérodynamique Frés est :
1
130 2
Frés = × 1,2 × 2,70 × 0,38
= 802,75 N.
2
3,6
3. Sachant qu’il maintient cette vitesse sur 100 km, le travail fourni par cette force est :
WAB(ZFrés) = Frés × AB ⇒ WAB(ZFrés) = 802,75 × 100 × 103 = 80 MJ.

1 2
en mètres


4. Le rendement du moteur étant de 40 %, seul 40 % de l’énergie fournie par le gazole sert à faire
avancer la voiture, le reste est dispersé dans l’atmosphère extérieure sous forme de chaleur.
40
× V × PCI = WAB(ZFrés)
100
volume d’essence en L

Ce qui correspond à la valeur indiquée.
5. Pour CX = 0,30 :
1
130 2
Frés = × 1,2 × 2,70 × 0,30
= 633,75 N.
2
3,6
WAB(ZFrés) = 633,75 × 100 × 103 = 63,4 MJ.

1 2
en mètres

100 63,4
V =
×
= 4,4 L/100 km.
40
36
volume d’essence en L
Ce qui correspond encore à la valeur indiquée.
46
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pour 100 km
100 80
V =
×
= 5,5 L/100 km.
40
36
volume d’essence en L
Réaliser un TP
Mesure du moment d’un couple
• Réaliser et observer :
m (kg)
D (m)
C (N·m)
C
D
C
mD
0,2
0,3
0,59
1,96
9,8
0,2
0,2
0,39
1,95
9,75
0,2
0,1
0,196
1,96
9,8

• Exploiter :
1. Pour une poulie de rayon R en rotation, l’application du principe fondamental de la dynamique
donne :
MΔ (ZFext) = JΔ α = R mg – R F1 ⇒ F1 = mg.
≈0
Ainsi :


La corde a une masse négligeable, le principe fondamental de la dynamique pour sa translation
permet d’écrire : mcorde aG = FB – F1 – mcorde ⇒ FB = F1.
≈0
≈0
FB = mg.
2. Un couple de forces est un ensemble de deux forces de somme nulle : tFA + tFB = t0. Ces forces
sont parallèles, de sens contraires et de même intensité : FA = FB = mg.
3. Le centre de gravité de la barre passe par l’axe de rotation Δ. Ce point étant le point d’application du poids de la barre à trous, le bras de levier de cette force de pesanteur est nul. Elle n’exerce
donc aucune action sur la rotation de la barre et son moment est nul.
4. À l’équilibre :
C
C = mg D ⇒
= g.
mD
Le résultat final est l’intensité de la pesanteur : g = 9,8 N·kg-1.
S’entraîner
Testez vos connaissances
Applications directes du cours
11 Écrou serré
0,2 m

200 N

Le moment de la force tF par rapport à l’axe de rotation Δ passant par O et pour un bras de levier
d est :
MΔ (ZFext) = F × d = F × D × cos α ; MΔ (tF ) = 37,6 N·m.

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1.b) ; 2. a) et c) ; 3. c) ; 4. a) ; 5. a) ; 6. c) ; 7. b) et c) ; 8. a) et c) ; 9. b) et c) ; 10. a)
20°
12 Clé à bougie
La valeur du couple de forces ne dépend que de la distance AB qui sépare leurs droites d’action et
de l’intensité de la force. Dans les deux cas :
C = F × AB ; C = 18 N·m.
Cette valeur est indépendante de la hauteur EO.
Chapitre 8 - Couple, travail et énergie cinétique
47
13 Travail du poids
1. Le travail du poids est W = m g h , soit W = 500 J.
2. C’est un travail moteur car il favorise la chute du solide.
14 Travail d’un couple
1. Un couple de forces est un ensemble de deux forces de sens contraires, de même intensité F et
dont les droites d’action sont parallèles. Nous sommes bien ici dans ce cas de figure.
2. Le couple est défini par C = F × d et, pour une rotation d’un angle α = 2π rad, le travail de ce
couple est : W = F × d × α soit W = 69,1 J.
15 Valise et travail
Pour une vitesse de déplacement constante de la valise, le théorème de l’énergie cinétique donne :
ΔEC = W(tF ) + W(tP ) = 0.
tF est la force motrice exercée et tP le poids de la valise dont le travail est négatif, car résistant :
W(tP ) = – m g h.
Le travail que vous fournissez est donc : W(tF ) = m g h soit W = 150 J (réponse c).
16 Péniche et tracteur
5 000 m

1 500 N


WAB(tF ) = tF · EAB = F × AB × cos α ; WAB(tF ) = 7 × 106 J = 7 MJ.
20°
17 Grue et puissance


Comme pour l’exercice 15, le travail fourni par la grue est : W = m g h. Sur une durée Δt = 60 s,
la puissance moyenne qu’elle fournit est :
Δt Δt
W
mgh
Pm =
=
; Pm = 750 W.
Δt
Δt
18 Vitesse d’une pomme
1. Le travail du poids est W = m g h soit W = 2,6 J .
2. Le théorème de l’énergie cinétique donne :
1 2
mv – 0 = W(tP ) = m g h ⇒ v = 72 g h soit v = 6,3 m·s–1.
2
Notons qu’en l’absence de frottements avec l’air, le mouvement de la pomme est indépendant de
sa masse.
ΔEC =
19 Voiture en pente
1. Théorème de l’énergie cinétique : ΔEC = 0 – 1 mvi2 = W(tP ) – FR × d = m g h – FR × d avec
soit : d =
1
2
1 200 ×
1 2
60
3,6
2
8
2 200 – 1 200 × 10 ×
100
mvi2
FR – m g
8
100
,
= 134 m.
2. La quantité d’énergie dissipée sous forme de chaleur par le freinage est : FR × d = 295,7 kJ.
20 Accélération
1. Pour la translation, le principe fondamental de la dynamique donne:
Fm – FR
; aG = – 0,03 m·s–2 .
100
2. L’accélération est négative, le train ralentit (la force de freinage est supérieure à la force
motrice).
maG = Fm – FR soit aG =
48
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2
h
8
1 2
8
1
=
⇒ mvi = FR × d – m g
d et d =
d 100
2
100
2
21 Disque en rotation
1. L’accélération angulaire est : α = ω – 0 = ω avec Δt = 75 s et ω = 1 500 × 2π rad·s–2.
Δt
Δt
60
α = 2,1 rad·s–2.
2. Le principe fondamental de la dynamique donne pour la rotation : C = J × α ; C = 0,1 N·m.
Exercices d’entraînement
22 Freinage d’une roue
1. La puissance P du moteur vérifie la relation : P = C ω ou C = P avec ω = 1 000 × 2 × π rad·s–1.

ω
60
C = 9,5 N·m.
La roue est en rotation uniforme, donc d’accélération angulaire nulle : C – CR = JΔ α .
≈0
Le couple de frottement est ainsi : C – CR = 9,5 N·m.
2. L’énergie cinétique due à la rotation de la roue est : Ec = 1 Jω2 soit Ec = 493,5 J.
2
3. La perte d’énergie cinétique lors de l’arrêt de la roue correspond à la dissipation d’énergie liée
au couple de frottement :
1 2
Jω = – CR θ = – 2πnCR.
2
Ec
; n = 8,2 tours.
Le nombre n de tours est défini par : n =
2πCR
ΔEc = 0 –
23 Résistance à l’avancement d’un TGV

1. Le TGV se déplaçant à vitesse constante, la force motrice F1 et la force FR due aux frottements
s’équilibrent exactement :
F1 – FR = m aG ; F1 = FR = 2,5 × 104 N.
≈0
La puissance développée par le moteur est :
216 –1
216 × 1 000
m·s–1 =
m·s .
3,6
3 600
P1 = 1,5 MW.
2. La perte d’énergie cinétique lors de l’arrêt du train correspond à la dissipation d’énergie liée
aux forces de frottements :
1
1 mv12
; L = 21,6 km.
ΔEC = 0 – mv12 = – FR L1 ⇒ L1 =
2
2 2 FR 1
mv12
3. Pour une distance d’arrêt de 3 km : F2 = 1
; F = 1,8 × 105 N.
2 2 L1
4. La force de résistance à la pente qui doit s’ajouter aux effets de frottement est la projection du
poids du TGV selon la direction de déplacement du train, soit Fp = mg sin α.
La puissance P2 que devra déployer le moteur pour conserver cette vitesse est P2 = (F1+ Fp)v1 ;
P2 = (FR+ mg sin α)v1 ;
P2 = (2 × 104 + 0,01 × 300 × 103 × 10) × 100 = 1,5 MW.
3,6
© NATHAN - La photocopie non autorisée est un délit.
P1 = F1v1 avec 216 km·h–1 =
24 Démonter une roue
1. Moment de la force par rapport à l’axe de rotation Δ passant par O pour un bras de levier
d = OH :
MΔ (tF ) = F × d = F × D × cos α ; MΔ (tF ) = 41,2 N·m < CS .
L’automobiliste ne peut pas débloquer la roue car le moment qu’il exerce est inférieur au couple
de serrage.
2. Pour un bras de levier d = D : MΔ (tF ) = F × d ; MΔ (tF ) = 45,5 N·m > CS.
L’automobiliste peut débloquer la roue, le moment qu’il exerce est supérieur au couple de serrage.
Chapitre 8 - Couple, travail et énergie cinétique
49
3. Un couple de forces est un ensemble de deux forces de somme nulle : tF1 + tF2 = t0. Ces forces
sont parallèles, de sens contraires et de même intensité F.
Pour que l’automobiliste puisse desserrer la roue, il faut que le couple qu’il exerce soit supérieur
au couple de serrage :
C
C = F × AB > CS ⇒ F > S ; F > 112,5 N.
AB
L’automobiliste est capable de fournir cette force inférieure à 130 N. Il peut donc desserrer la roue
avec un moindre effort.
25 Faire glisser une malle
1.
rn
yR
déplacement
RN
yRT
r
yF
yP
2. L’équilibre vertical du véhicule est assuré par : P = RN = m g.
3. Lorsque la malle glisse sur le sol, la réaction tR est sur le cône : f = tan α =
Ainsi RT = f mg lorsque la malle glisse sur le sol.
RT
R
⇒ T.
RN
mg
4. Pour que la malle puisse glisser sur le sol, il faut que Fm > RT, soit Fm > f mg ; Fm = 400 N.
5. Si F > Fm : m a = F – RT = F – f mg. L’accélération de la malle est : a = F – f g.
m
26 Résistance aérodynamique
1. Conversion des km/h en m/s, sachant que 1 h = 3 600 s et 1 km = 1 000 m :
46
46 × 1 000
m·s–1 =
m·s–1 = 12,8 m·s–1. C’est bien la valeur attendue.
3,6
3 600
2. Constatons que les valeurs du tableau qui correspondent au premier modèle sont quasiconstantes. La résultante des forces qui contribuent au déplacement du mobile selon la pente
descendante vérifie :
1
mg sin α – ρa S CX v2 = m a = 0.
2
≈0
L’accélération a est nulle car la vitesse du cycliste est constante. Le rapport exprimé dans la dernière colonne du tableau correspond à :
sin α 1 ρa S CX
=
= constante.
v 2
2 mg
h
sin α
=
= constante correspondant au second modèle n’est pas vérifiée.
Remarque : l’égalité
mg
v
3. S désigne le maître-couple ou surface frontale maximale du mobile en translation (en m2).
CX (sans unité) caractérise la propriété de profilage aérodynamique du mobile, sa capacité géométrique de pénétration dans le fluide.
4. S CX = 2 mg sin2 α = 0,40, il s’agit d’un cycliste traditionnel avec bras tendus.
ρa v 27 It’s in English
Énoncé
Le ventricule gauche du cœur envoie à chaque battement une masse m = 90 g de sang dans
l’aorte avec une pression capable d’élever le sang d’une hauteur h = 2 m. Le cœur effectue
90 battements par minute.
50
© NATHAN - La photocopie non autorisée est un délit.

46 km·h–1 =
1. Quelle énergie doit fournir le ventricule gauche à chaque battement ?
2. Quelle est la durée moyenne d’un battement ?
3. En déduire la puissance mécanique moyenne Pm du cœur
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Corrigé
1. À chaque battement, le ventricule gauche doit fournir l’énergie E = m g h, il s’agit de l’énergie
minimale nécessaire pour élever un objet de masse m à une altitude h. E = 1,76 J.
2. Il y a 90 battements en une minute, c’est-à-dire en 60 secondes. La durée d’un battement est
60
donc τ =
s
90
3. La puissance mécanique du cœur est E = 1,76 × 60 = 2,6 W.
τ
90
Chapitre 8 - Couple, travail et énergie cinétique
51