Cours de Mathématiques IUT Orsay DUT INFORMATIQUE 1A

Partie VII : Matrices
A. Généralités
Définitions
Matrices Particulières
Égalité de deux matrices
Transposée d’une matrice
B. Opérations sur les matrices
Addition de deux matrices
Multiplication d’une matrice par un réel λ
Multiplication de deux matrices
C. Matrices et systèmes linéaires
D. Matrice et application linéaire associée
E. Matrices carrées
Généralités
Matrices inversibles
F. Déterminant
Déterminant d’une matrice de taille 2,2
Déterminant d’une matrice 3,3 : formule récursive
Déterminant d’une matrice n, n : formule récursive
Comatrice, déterminants et inversion de matrice
Cours de Mathématiques
IUT Orsay
DUT INFORMATIQUE 1A - Semestre 1
2012-2013
I Introduction
II Wims
III Calcul ensembliste
IV Relations binaires, applications
V Logique
VI Raisonnements par récurrence, suites récurrentes
VII Calcul matriciel
VIII Résolution de systèmes d’équations linéaires
A. Généralités
A. 1. Définitions
Quelques applications du calcul matriciel
�
95/154
Une matrice réelle est un tableau dont les éléments (ou les
coefficients) sont des réels.
Opérations sur les relations binaires (matrice d’adjacence
d’une relation)
�
Suites récurrentes doubles ...
�
Outil de l’algèbre linéaire
�
Résolution de systèmes linéaires
�
Représentation de transformations géométriques
�
Infographie, robotique
Si n est le nombre de lignes et p le nombre de colonnes de ce
tableau, on dit que la matrice est une matrice (de taille) n, p et
on note Mn,p l’ensemble des matrices réelles, de taille n, p.
Les coefficients de la matrice sont les réels aij = (A)ij
�
le premier indice i est l’indice de ligne
�
le deuxième indice j est l’indice de colonne.
Une matrice n lignes, p colonnes comporte np coefficients.
96/154
Écritures d’une matrice n, p

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n

A= .
..
..
 ..
. ...
.
an1 an2 . . . ann
97/154
Cas particuliers

. . . a1p
. . . a2p 

. 
. . . .. 
• Si n = p, on dit que la matrice est carrée et on note Mn
l’ensemble Mn,n des matrices carrées de taille n, n.
Exemple
. . . anp
I2 =
ou
A = (aij )1≤i≤n,1≤j≤p
ou
A=
A = (aij )ij
lorsqu’il n’y a pas de confusion possible.
98/154
�
�
1 0
0 1
a11 a12
a21 a22
�
�
∈ M2
∈ M2

1
I3 = 0
0

a11
A = a21
a31

0 0
1 0 ∈ M 3
0 1

a12 a13
a22 a23  ∈ M3
a32 a33
99/154
• Si n = 1, on dit que l’on a une matrice ligne.
A. 2. Matrices Particulières
Exemple
�
2 −7
�
�
5 ∈ M1,4
1
3

• Si p = 1, on dit que l’on a une matrice colonne.
Exemple


2
−7
 1  ∈ M4,1
 
3
5
� �
x1
X =
∈ M2,1
x2
On identifie
�
�
Rn = Mn,1
Matrices diagonales aij = 0 si i �= j
a1

0
A=
 ..
.
0
0
..
.
..
.
···
···
..
.
..
.
0
0
..
.
0 ···
0 ···
0 0 ···
an 0 · · ·

0

0
 = Diag(a1 , · · · , an ) ∈ Mn,p

0
0
Matrices triangulaires supérieures aij = 0 si i > j


a11 a12 · · · · · · · · ·
a1p

.. 
..
..
 0
.
. ··· ···
. 
 ∈ Mn,p
A=
 ..

.
.
.
.
 .
.
. · · · · · · an−1p 
0 ···
0 ann · · ·
anp
Matrices triangulaires inférieures aij = 0 si i < j
100/154
A. 3. Égalité de deux matrices
101/154
A. 4. Transposée d’une matrice
Définition
Définition
Soit A = (aij )ij une matrice de taille n, p. La matrice transposée
de A, notée t A = (aij� )ij , est la matrice de taille p, n avec
Deux matrices A et B sont égales si elles sont de même taille et
si pour tout (i, j), on a aij = bij .
∀(i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , p},
Exemple
�
1 5 1
0 1 1
�
�
�
1 ···
��
n
�
1 1 1
1 1 1
�=
�
�
�=
Ainsi la première colonne de A donne la première ligne de t A ...
�
1 5 1
0 1 0
�
� �
1 = 1 ···
� �
��
m
1 1
1 1
1
�
�
Exemple
�
⇔
aij� = aji
A=
n=m
�
1 2 1
4 −6 0
�
∈ M2,3


1 4
t
A = 2 −6 ∈ M3,2
1 0
Théorème
t t
( A) = A
102/154
B. Opérations sur les matrices
103/154
B. 2. Multiplication d’une matrice par un réel λ
B. 1. Addition de deux matrices
Définition
A = (aij )ij et B = (bij )ij sont deux matrices de même taille n, p.
La matrice λA, produit de A ∈ Mn,p par le réel λ est la matrice
Définition
La matrice somme de A et de B est la matrice
λA = (λaij )ij ∈ Mn,p .
A+B = (aij + bij )ij ∈ Mn,p
Exemple
Exemple
�
0
3
λ = −1 permet de définir l’opposée de A : −A = (−1)A
� 1
2

 
 

1 5 −2 2
2 1 5 −3
1 + 2 6 3 −1
2 −3 2 −2 + 0 5 2
7 = 2
2 4 5
0 0
1
0
1 1 −1 0
1
1 0 0
104/154
�
�
�
1 0
1 6
�
=
�1
2
1
2
La soustraction de deux matrices A et B de même taille est
alors définie par
A−B = A + (−B)
105/154
Propriétés
B. 3. Multiplication de deux matrices
Définition
A, B, C sont trois matrices de même taille n, p.
λ et µ sont deux réels.
�
�
�
�
�
�
�
�
Soit A = (aij )ij une matrice de taille n, p et B = (bij )ij une matrice
de taille p, m.
On appelle produit de A par B la matrice C = AB = (cij )ij de
taille n, m dont les coefficients sont donnés par :
A + B = B + A → addition commutative
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C → addition
associative
∀(i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m}
A + 0np = 0np + A = A → 0np est l’élément neutre de
Mn,p pour l’addition
cij =
A − A = A + (−A) = Onp → −A est l’opposée de A
p
�
k =1
−(−A) = A
aik bkj = ai1 b1j + · · · + aip bpj
Remarques
λ(A + B) = λA + λB
(λµ)A = λ(µA)
�
cij est le produit scalaire Li (A).Cj (B).
(λ + µ)A = λA + µA
�
Le produit AB n’est possible que si le nombre de colonnes
de A est égal au nombre de lignes de B. En particulier, la
situation où AB est possible et BA impossible est fréquente.
106/154
Exemple
Exemple


1 1 2
A = 0 1 −1 ∈ M3,3
1 2 0
�
107/154


2 1
B = 0 0  ∈ M3,2
2 −3
Si A = (aij )ij ∈ Mn,p
Le produit AB est défini car le nombre de colonnes de A est
égal au nombre de lignes de B. On a AB ∈ M3,2 et
�
Le produit AX est défini, AX ∈ Mn,1 = Rn et
 
 x1


� p
a11 . . . . . . . . . a1p  . 
k =1 a1k xk
.




..
..
..
..   .  = 
..
AX =  ...

.
.
.
.  .  
.
�p
 .. 
an1 . . . . . . . . . anp
a
x
k =1 nk k
xp
�
Le produit XA n’est pas défini.

 

2+0+4 1+0−6
6 −5
AB = 0 + 0 − 2 0 + 0 + 3 = −2 3 
2+0+0 1+0+0
2
1
�
Le produit BA n’est pas défini car le nombre de colonnes de
B est différent du nombre de lignes de A.
 
x1
 .. 
.
p

et X = 
 ..  ∈ Mp,1 = R alors
.
xp
108/154
Remarque
Propriétés
Attention !
Si les produits AB et BA sont possibles, en général AB �= BA :
Exemple
�
A=
�
1 1
0 1
�
et B =
AB =
�

�
�
2 1
0 0
2 1
0 0
�
�
�= BA =

�
�
1 1
2 1 0
A =  0 1 et B =
0 −1 1
−1 2

�
2 3
0 0
109/154
Soient (A, A� ) ∈ (Mn,p )2 , (B, B � ) ∈ (Mp,m )2 , C ∈ Mm,r et λ ∈ R
�
�
A(B + B � ) = AB + AB � → multiplication distributive à
gauche par rapport à l’addition.
�
(A + A� )B = AB + A� B → multiplication distributive à
droite par rapport à l’addition.
�
(AB)C = A(BC) = ABC → multiplication associative.
�
A(λB) = λ(AB)
Propriétés de la transposée
� t (A

�
�
2
0 1
2 3
AB =  0 −1 1 �= BA =
−1 1
−2 −3 2
110/154
+ A� ) = t A + t A�
� t (λA)
= λt A
� t (AB)
= t Bt A
111/154
C. Matrices et systèmes linéaires
�
�
Diviseurs de zéro
�
Il existe des matrices A et B, non nulles, avec
c’est déterminer S = {X ∈ Rp ; AX = B}, l’ensemble des
solutions du système linéaire de n équations à p inconnues
suivant :


 a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1p xp = b1
..
(S)
.


an1 x1 + an2 x2 + . . . + anp xp = bn
 
x1
 
b1
 .. 
.
.. 
 et B = 
où X = 

.
 .. 
.
bn
xp
De telles matrices s’appellent des diviseurs de zéro.
Elément neutre pour la multiplication dans Mn


1 ... 0


In =  ... . . . ...  ∈ Mn
0 ... 1
Propriété :
∀A ∈ Mn ,
Résoudre l’équation matricielle
AX = B
AB = 0
�
Données : A = (aij ) ∈ Mn,p et B ∈ Rn .
AIn = In A = A
112/154
113/154
D. Matrice et application linéaire associée
Théorème
Soit (S0 ) : AX = 0 un système linéaire homogène.
�
�
2
∀(X , X ) ∈ S0 , ∀(α, α ) ∈ R ,
�
Définition
Soit A = (aij )ij ∈ Mn,p et l’application associée à A définie par :
�
αX + α X ∈ S0

Rp  





x1
.
fA :
.

X =

.



xp
Théorème
Soit (S) : AX = B un système linéaire et (S0 ) : AX = 0n le
système linéaire homogène associé à (S).
�
�
L’ensemble S0 des solutions de (S0 ) n’est pas vide car
0p ∈ S0 .
−→ Rn
−→ fA (X ) = AX
Propriétés de fA
Si (S) admet une solution notée Z , alors l’ensemble S des
solutions de (S) est égal à
�
�
S = {X0 + Z ; X0 ∈ S0 }
∀(X , X � ) ∈ (Rp )2 ,
∀X ∈
Rp ,
∀λ ∈ R,
fA (X + X � ) = fA (X ) + fA (X � )
fA (λX ) = λfA (X )
On dit que fA est linéaire.
114/154
115/154
E. Matrices carrées
Propriétés
E. 1. Généralités
�
�
�
∀(A, B) ∈ Mn,p )2 ,
Définition
fA = fB ⇔ A = B
∀(A, B) ∈ Mn,p )2 , ∀λ ∈ R, fA+B = fA + fB et fλA = λfA
�
Une matrice est carrée, de taille n si elle a n lignes et n
colonnes. Elle possède n2 coefficients.
On note Mn l’ensemble Mn,n des matrices carrées de taille
n, n.
�
A ∈ Mn est symétrique si t A = A
∀A ∈ Mn,p et ∀B ∈ Mp,m , AB ∈ Mn,m et
fA ◦ fB = fAB
�
En effet :
fA ◦ fB : Rm −→ Rn et est définie par
�


x1
 
X =  ...  −→ fA ◦ fB (X ) = fA (fB (X )) = A(BX ) = (AB)X
xm
A ∈ Mn est antisymétrique si t A = −A
A ∈ Mn est orthogonale si A(t A) = (t A)A = In
Théorème
∀A ∈ Mn ,
fA = IdRn ⇔ A = In
Théorème
116/154
Si A ∈ Mn est antisymétrique, alors ∀i ∈ {1, . . . , n}, aii = 0.
117/154
E. 2. Matrices inversibles
Théorème
�
La somme de deux matrices symétriques de Mn est
symétrique
�
Le produit d’une matrice symétrique de Mn par un réel est
symétrique
�
Le produit de deux matrices symétriques de Mn n’est en
général pas symétrique
�
La somme de deux matrices antisymétriques de Mn est
antisymétrique
�
Le produit d’une matrice antisymétrique de Mn par un réel
est antisymétrique
�
Le produit de deux matrices antisymétriques de Mn n’est
en général pas antisymétrique
Définition
Une matrice A ∈ Mn est inversible si
∃B ∈ Mn ;
BA = AB = In
Théorème et définition
Si A est inversible, la matrice B est unique.
La matrice B est alors appelée matrice inverse de A
Elle est notée B = A−1
Théorème
Si A et B sont deux matrices carrées inversibles de taille n, alors
AB est inversible et (AB)−1 = B −1 A−1 .
118/154
Inversibilité d’une matrice et application linéaire
associée
Exemple
�
�


1 0 1
Montrer que la matrice A = 0 1 0 est inversible et
1 0 0
calculer son
inverse.
�
�
a b
Soit A =
. Vérifier que si ad − bc �= 0, alors A est
c d
inversible et
�
�
1
d −b
A−1 =
ad − bc −c a
�
Matrices diagonales
�
Matrices triangulaires
�
Matrices orthogonales
119/154
A ∈ Mn
Théorème
fA−1
Résumé
�
−→ AX

Rn





 
y1
.
:

.

Y
=

.



yn
−→ Rn
−→ A−1 Y
121/154
Problèmes posés
A ∈ Mn
�
−→ Rn
A inversible si et seulement si l’application fA est bijective.
Si A est inversible, l’application récoproque de fA est fA−1 = fA−1 :
120/154
Théorème

Rn  





x1
.
et fA :

.

X
=

.



xn

Rn  





x1
.
et fA :

.

X
=

.



xn
−→ Rn
�
−→ AX
Avoir des critères simples pour savoir si une matrice carrée
est inversible ou pas
−→ Calcul de déterminant
A est inversible ⇐⇒ fA est bijective
⇐⇒ ∀Y ∈ Rn , le système AX = Y a une solution unique.
�
Calculer l’inverse d’un matrice carrée
−→ Résolution de système linéaire
−→ Algorithme de Gauss
Si A est inversible,
AX = Y ⇐⇒ X = A−1 Y
−→ Calcul de A−1 en résolvant le système AX = Y .
122/154
123/154
F. Déterminant
Propriétés du déterminant d’une matrice 2,2
F. 1. Déterminant d’une matrice de taille 2,2
Définition
�
Si A =
∀(A, B) ∈ (M2 )2 , ∀λ ∈ R
�
a11 a12
, le déterminant de A est
a21 a22
�
�
�a
a12 ��
det(A) = �� 11
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22 �
�
det(AB) = det(A) det(B) = det(BA)
�
det(λA) = λ2 det(A)
�
�
Exemple
�
�
�
�
� 1 3�
� = 1 × 5 − (−2) × 3 = 11
det(A) = ��
−2 5�
�
�
� 1 1�
�=0
det(A) = ��
2 2�
det A = det(t A)
A est inversible si et seulement si det(A) �= 0
et dans le cas où A est inversible,
�
�
det A−1 =
1
det(A)
124/154
F. 2. Déterminant d’une matrice 3,3 : formule
récursive
�
Soient
A = (aij )ij ∈ M3
Mineurs de A : sous-matrices Akl ∈ M2 obtenues à partir
de A en supprimant la ligne k et la colonne l
Exemple

et

�
�
�
�
1 3 −1
5 0
1 3
A = −2 5 0  A11 =
A23 =
9 −4
8 9
8 9 −4
Une matrice de taille 3,3 a 9 mineurs
�
pour i = 1, 2, 3
Dj� = a1j C1j + a2j C2j + a3j C3j ,
pour j = 1, 2, 3
det(A) = D1 = D2 = D3 = D1� = D2� = D3�
En pratique : on choisit une ligne ou une colonne
Cofacteurs de A : Ckl = (−1)k +l det(Akl )
• Développement suivant la i e ligne → det(A) = Di
• Développement suivant la j e colonne → det(A) = Dj�
C11 = −20 C23 = −(−15) = 15
Une matrice de taille 3,3 a 9 cofacteurs.
Comatrice de A : Aco = (Ckl )kl ∈ M3 est la matrice des
cofacteurs.
Di = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ai3 Ci3 ,
Théorème et définition
Exemple
�
125/154
126/154
127/154
Règle de Sarrus et propriétés
Exemple



1 3 1
A = −2 5 0 
8 9 −4
Règle de Sarrus
Calcul par développement suivant L2
det(A) = x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − (x1 y3 z2 + x2 y1 z3 + x3 y2 z1 )
det(A) = D2� = a21 C
� 21 + a22 C22
� + a23�C23
�3 1 �
�
�
3
4
� + 5(−1) �1 1 � + 0
= −2(−1) ��
�
�
9 −4
8 −4�
= 2 × (−21) + 5 × (−12) = −102
Propriétés
∀(A, B) ∈ (M3 )2 , ∀λ ∈ R
Calcul par développement suivant C3
det(A) =
a13 C
� 13 + a23 C23
� + a33�C33
�−2 5�
� 1 3�
4
6
�
�
�
= +1(−1) �
− 4(−1) ��
8 9�
−2 5�
= −102

x1 y1 z1
A = x2 y2 z2 
x3 y3 z3
D3�� =
128/154
�
det(AB) = det(A) det(B) = det(BA)
�
det(λA) = λ3 det(A)
�
det A = det(t A)
�
A est inversible si et seulement si det(A) �= 0
�
�
et dans le cas où A est inversible, det A−1 =
1
det(A)
129/154
F. 3. Déterminant d’une matrice n, n : formule
récursive
�
�
�
Exemples
A = (aij ) ∈ Mn
Mineurs de A : sous-matrices Akl ∈ Mn−1 obtenues à partir
de A en supprimant la ligne k et la colonne l
Une matrice n, n a n2 mineurs
Cofacteurs de A : Ckl = (−1)k +l det(Akl )
Une matrice n, n a n2 cofacteurs.
Comatrice de A : Aco = (Ckl )kl ∈ Mn est la matrice des
cofacteurs.
�
Matrices diagonales
Si A = Diag(a1 , · · · , an ), alors
det(A) = a1 × · · · × an = Πni=1 ai .
�
Matrices triangulaires
Si A = (aij )ij ∈ Mn est triangulaire, alors
det(A) = a11 × · · · × ann = Πni=1 aii
Soit Di = ai1 Ci1 + · · · + ain Cin pour i = 1, · · · , n et
Dj� = a1j C1j + · · · + anj Cnj pour j = 1, · · · , n.
Théorème et définition
det(A) = D1 = · · · = Dn = D1� = · · · = Dn�
En pratique : on choisit une ligne ou une colonne
Choisir une ligne ou une colonne avec un maximum de 0 !
130/154
Propriétés du déterminant
131/154
�
Soit A1 la matrice obtenue à partir de A en multipliant une
ligne de A par un réel λ
det(A1 ) = λ det(A)
∀(A, B) ∈ (Mn
)2 ,
∀λ ∈ R
�
det(AB) = det(A) det(B) = det(BA)
�
det(C1 , · · · , λCi , · · · , Cn ) = λ det(C1 , · · · , Ci , · · · , Cn )
�
det(λA) = λn det(A)
�
�
�
Soit A2 la matrice obtenue à partir de A en échangeant les
lignes i et j de A (i �= j)
det(A2 ) = − det(A)
det A = det(t A)
�
A est inversible si et seulement si det(A) �= 0
Soit A3 la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la
ligne i de A λ fois la ligne j de A (i �= j)
det(A3 ) = det(A)
�
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F. 4. Comatrice, déterminants et inversion de matrice
Théorème
A est inversible si et seulement si det(A) �= 0 et
A−1 =
1 t co
A
det(A)
où Aco , comatrice de A est la matrice des cofacteurs.
Aco = (Cij )ij ,
Cij = (−1)i+j det(Aij )
→ très bon critère d’inversibilité
→ ok si le calcul explicite de A−1 n’est pas trop lourd
Remarque : At Aco =t Aco A = det(A)In
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Si deux lignes de A sont égales, alors det(A) = 0.
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