Chapitre 2.4 – La réfraction

Chapitre 2.4 – La réfraction
La vitesse de la lumière dans un milieu
La lumière voyage dans le vide à une vitesse c = 3 × 10 8 m/s . Lorsqu’elle voyage dans un milieu, la
lumière se déplace à vitesse v égale à la vitesse dans le vide divisé par un facteur n portant le nom
d’indice de réfraction :
v=
où
c
n
v : Vitesse de la lumière dans un milieu (m/s)
c : Vitesse de la lumière dans le vide, c = 3 × 10 8 m/s
n : Indice de réfraction du milieu
Voici une table d’indice de réfraction :
Air
Eau
Plexiglas
Verre crown
Diamant
n = 1,0003
n = 1,33
n = 1,49
n = 1,52
n = 2,42
La loi de la réfraction
La réfraction est le phénomène qui permet à la lumière de
passer d’un milieu à un autre ce qui occasionne une déviation.
La loi de la réfraction établie un lien entre l’angle d’incidence
θ1 d’un rayon voyageant dans un milieu n1 et l’angle de
réfraction θ 2 du même rayon réfracté dans un milieu n2 . Les
angles sont mesurés par rapport à la normale à la surface de
l’interface (dioptre) délimitant les deux milieux. Cette relation
fut établie par Willebord Snell et René Descartes au 17e siècle :
n2 sin (θ 2 ) = n1 sin (θ1 )
où
n2 : Indice de réfraction du milieu de réfraction
θ 2 : Angle de réfraction par rapport à la normale
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
René Descartes
(1596-1650)
Rapprochement
θ1
milieu n1
milieu n2
n1 < n2
θ1'
θ2
Éloignement
n1 : Indice de réfraction du milieu incident
θ1 : Angle incident par rapport à la normale
Willebord Snell
(1580-1626)
θ1
milieu n1
milieu n2
n1 > n2
θ1'
θ2
Page 1
Preuve : (principe de Fermat)
Considérons un objet ponctuel qui émet de
la lumière dans toutes les directions.
Étudions la trajectoire de la lumière qui est
transmise via une interface plane (dioptre
plan) d’un milieu d’indice de réfraction n1
vers un milieu d’indice de réfraction n2 et
qui se dirige vers un point P. Considérons
n1 < n2 .
Milieu
n1
Milieu
n1 < n2
v2
v1
n2
P
Trajectoire
hypothétique
*
Objet
ponctuel
Milieu de
transmission
À partir du principe de Fermat, évaluons la trajectoire de la lumière qui minimise le
temps de parcours t afin d’établir un lien entre l’angle d’incidence θ1 et l’angle de
réfraction θ 2 .
Puisque la lumière ne voyage pas toujours
dans le même milieu, elle ne se déplace
pas toujours à la même vitesse. Utilisons
l’indice de réfraction afin de définir la
vitesse de la lumière dans un milieu
d’indice n :
Milieu
n1
Milieu
n1 < n2
v2
v1
*
v = c/n
Objet
ponctuel
n2
P
D2
D1
Milieu de
transmission
À partir des équations du MUA, nous pouvons déterminer une relation de temps de parcours t1 et t 2
pour la lumière dans le milieu n1 et dans le milieu de réfraction n2 sachant que la lumière voyage en
ligne droite. Le temps de parcours total t sera l’addition de ces deux temps :
∆x = vt
⇒
Milieu n1 :
D1 = v1 t1
⇒
t1 = D1 / v1
Milieu n2 :
D2 = v 2 t 2
⇒
t 2 = D2 / v 2
Alors :
t = t1 + t 2
⇒
t=
D1 D2
+
v1 v 2
À partir du théorème de Pythagore, nous
pouvons évaluer la distance D 1 à partir de
x1 et y1 et la distance D2 à partir de x 2
et y 2 :
D1 = x1 + y1
2
Milieu
n1 < n2
v1
*
D2 = x 2 + y 2
2
n1
v2
θ1
θ2
2
Objet
ponctuel
n2
P
y2
x2
2
et
Important :
Milieu
y1
x1
Milieu de
transmission
y1 + y 2 = constante
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Dans le calcul du temps de parcours t, les variables sont y1 et y 2 (distance verticale variable à
parcourir verticalement dans chaque milieu) et les constantes sont x1 et x 2 (distance horizontale
obligatoire à parcourir dans chaque milieu).
Appliquons la dérivée à l’équation du temps de parcours t et égalisons la à zéro afin de trouver la
solution qui minimise le temps de parcours :
dt = 0
(Minimiser t)
⇒
D D 
d 1 + 2  = 0
 v1 v 2 
(Remplacer t )
⇒
 D
D
d 1 + 2
 c / n1 c / n2
⇒
1
d(n1 D1 + n2 D2 ) = 0
c
(Simplifier et factoriser 1/c)
⇒
d(n1 D1 + n2 D2 ) = 0
(Multiplier par c)
⇒
∂
(n1 D1 + n2 D2 )dy1 + ∂ (n1 D1 + n2 D2 )dy 2 = 0
∂y1
∂y 2
(Différentiel : df (x, y ) =
⇒
 ∂ (n1 D1 ) ∂ (n2 D2 ) 
 ∂ (n1 D1 ) ∂ (n2 D2 ) 
+
+

 dy1 + 
 dy 2 = 0
∂y1 
∂y 2 
 ∂y1
 ∂y 2
(Distribuer la dérivée)
⇒
 ∂D1
 ∂D1
∂D2 
∂D2 
+ n2
+ n2
n1
 dy1 + n1
 dy 2 = 0
∂y1 
∂y 2 
 ∂y1
 ∂y 2
(Factoriser constante n)

 = 0

Puisque la distance D 1 ne dépend pas de
y 2 , alors :
(Remplacer v = c / n )
∂f
∂f
dx + dy )
∂x
∂y
Puisque la distance D 2 ne dépend pas de
y1 , alors :
2
2
∂ x1 + y1 
∂D1
 =0
= 
∂y 2
∂y 2
2
2
∂ x 2 + y 2 
∂D2
 =0
= 
∂y1
∂y1
Ces calculs permettent de simplifier l’équation précédente de la façon suivante :
 ∂D1
 ∂D1
∂D2 
∂D2 
+ n2
+ n2
 dy 2 = 0
n1
 dy1 + n1
∂y1 
∂y 2 
 ∂y1
 ∂y 2
(Équation précédente)
⇒
n1
∂D1
∂D2
dy1 + n2
dy 2 = 0
∂y1
∂y 2
(
⇒
n1
∂D1
∂D2
dy1 = −n2
dy 2
∂y1
∂y 2
(Séparer les termes)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
∂D1
∂D2
= 0)
= 0 et
∂y1
∂y 2
Page 3
Lorsqu’on recherche la position où se produit le changement de milieu, il faut faire varier y1 par dy1 et
y 2 par dy 2 . Étant donné que y1 et y 2 se partage un espace constant ( y1 + y 2 = constante ), les
variations de ces deux variables sont toujours de sens contraire (si dy1 ↑ , alors dy 2 ↓ ). On peut donc
affirmer la relation suivante :
dy 2 = −dy1
(car y1 + y 2 = constante )
Cette relation nous permet alors d’obtenir :
n1
∂D1
∂D2
dy1 = −n2
dy 2
∂y1
∂y 2
(Équation précédente)
⇒
n1
∂D1
∂D2
(− dy1 )
dy1 = −n2
∂y1
∂y 2
(Remplacer dy 2 = −dy1 )
⇒
n1
∂D1
∂D2
= n2
∂y1
∂y 2
(Simplifier dy1 )
⇒
2
2
2
2
∂ x1 + y1 
∂ x 2 + y 2 




= n2
n1
∂y1
∂y 2
⇒
⇒
n1
n1
(
1
2 x1 + y1
2
1
2 x1 + y1
2
n1 y1
⇒
2
x1 + y1
2
2
2
=
y1
∂ x1 + y1
∂y1
2
(2 y1 ) = n2
x2 + y 2
2
= n2
⇒
n1
⇒
n1 sin (θ1 ) = n2 sin (θ 2 )
x1 + y1
(
1
2
2 x2 + y 2
2
1
2 x2 + y 2
2
2
2
∂ x2 + y 2
∂y 2
2
(2 y 2 )
2
) (Dérivée : ∂( f (x ) ) = n f (x )
n
∂x
2
n −1
∂ f (x )
)
∂x
( )
∂ xn
(Dérivée :
= n x n −1 )
∂x
(Simplifier facteur 2)
2
y2
n1
2
)=n
2
n2 y 2
⇒
2
2
(Pythagore : D1, 2 = x1, 2 + y1, 2 )
x2 + y 2
2
(Réécriture)
2
y1
y
= n2 2
D1
D2
(Remplacer D = x 2 + y 2
(Définition sinus : sin (θ ) = y / h )
■
Schéma :
Remarque :
Milieu
n1
Milieu
n1 < n2
Bonne θ
trajectoire 1
*
Objet
ponctuel
θ2
n2
P
Trajectoire
hypothèse
Milieu de
transmission
• La lumière voyage plus de distance dans
le milieu n1 , car la vitesse dans ce
milieu est plus grande .
• La lumière voyage moins de distance
dans le milieu n2 , car la vitesse dans ce
milieu est plus petite.
• Ce choix minimise le temps de parcours
t globalement.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Situation 2 : Du verre à l’air. Un rayon voyageant dans un le verre (n = 1,5) avec une orientation
φ = −50° rencontre un dioptre horizontal qui sépare le verre et l’air. On désire déterminer l’angle
(a) de réflexion et (b) de réfraction.
Évaluons l’angle d’incidence à la surface :
θ1 = 90 − φ1
⇒
θ1 = 90 − (50°)
⇒
θ1 = 40°
φ1 50°
θ1 θ1'
Appliquons la loi de la réflexion pour évaluer l’angle de
réflexion :
θ '= θ
⇒
θ1 ' = θ1
⇒
θ1 ' = 40°
verre (n1)
air (n2)
40° 40°
θ2
74,6°
(a)
Appliquons la loi de la réfraction pour évaluer l’angle de réfraction :
n2 sin (θ 2 ) = n1 sin (θ1 )
⇒
(1)sin (θ 2 ) = (1,5)sin (40°)
(Remplacer valeurs num.)
⇒
θ 2 = sin −1 (0,9642)
(Isoler θ 2 )
⇒
θ 2 = 74,62°
(Évaluer θ 2 )
(b)
L’angle critique et la réflexion totale interne
L’angle critique θ c correspond à l’angle d’incidence où un rayon
incident sera réfracté sur un dioptre avec un angle θ 2 = 90° . Lorsque
l’angle d’incidence est supérieur à θ c , il n’y a pas de réfraction et la
lumière est complètement réfléchi ce qui porte le nom de réflexion
totale interne (RTI). Cela se produit uniquement lorsque la lumière
passe d’un milieu tel que n1 > n2 :
θ c = arcsin (n2 / n1 )
où
La surface de l’eau se comporte
comme un miroir, car il y a RTI pour
l’observateur dans l’eau.
θ c : Angle critique
n1 : Indice de réfraction du milieu incident
n2 : Indice de réfraction du milieu de réfraction
R&R
90°
milieu n2
milieu n1
n1 > n2
θ c RTI
Un diamant bien taillé favorise la sortie de la
lumière sur le devant de la pierre par RTI.
*
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Preuve :
Considérons un rayon incident à une surface avec un angle θ c tel que l’angle de réfraction est égal à
90o. À partir de la loi de la réfraction, établissons une relation entre les indices de réfraction des deux
milieux et l’angle critique θ c :
n2 sin (θ 2 ) = n1 sin (θ1 )
P.S.
⇒
n2 sin (90°) = n1 sin (θ c )
(Remplacer θ 2 = 90° et θ1 = θ c )
⇒
n2 = n1 sin (θ c )
(Simplifier sin (90°) = 1 )
⇒
sin (θ c ) =
⇒
θ c = arcsin
n2
n1
 n2
 n1
(Isoler sin (θ c ) )



■
(Isoler θ c )
Lors d’une réfraction avec n1 > n2 , si l’on utilise un angle d’incidence θ1 > θ c , la loi de la
réfraction donne un l’angle de réfraction θ 2 indéterminé, car :
sin −1 (> 1) = non défini
La fibre optique
En 1970, l’entreprise américaine Corning Glass Works a
développé la fibre optique pouvant guider la lumière 1 d’un
laser d’un endroit à un autre par réflexion totale interne 2.
Fabriquée habituellement en verre ou en plastique, la fibre
optique permet de transporter de l’information encodée dans
un signal lumineux. La fibre optique est constituée d’un cœur
d’indice de réfraction légèrement supérieure à la gaine qui
recouvre le cœur et une gaine de protection recouvre le tout.
Regroupement de plusieurs fibres optiques
Voici le comportement de la lumière dans différents guides lumineux de grande taille :
Dans du verre
Dans de l’eau
1
Dans la littérature, on mentionne également que la fibre optique est un guide d’onde, car la lumière est une onde
électromagnétique dans le modèle ondulatoire de la lumière.
2
Il est important de préciser que l’interprétation physique du comportement de la fibre optique devient très complexe
lorsque la fibre devient très mince (taille ≈ longueur d’onde de la lumière), car l’approximation de l’optique géométrique
devient invalide et l’interprétation de la réflexion totale interne devient inappropriée pour expliquer la propagation de la
lumière dans la fibre.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Situation A : La déviation à la sortie d’un cube.
En construction …
n1 = 1
n2 = 1,52
e
d
Changement de milieu sans changement d’indice
L’indice de réfraction est une caractéristique très
importante des objets transparents, car c’est la
déviation qu’elle génère sur la lumière qui la
traverse qui permet à un observateur de voir
l’objet. Pour ne pas dévier de la lumière à une
interface, il suffit d’avoir deux milieux de même
indice de réfraction comme dans la situation
illustré ci-contre. Plus les indices de réfraction
sont semblables, plus les objets transparents nous
paressent « invisibles ».
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
L’indice de réfraction du compte-goutte est
identique à celui de l’huile dans la 3ième bouteille.
Page 7
La réfraction sous forme vectorielle (complément informatique)

À l’aide d’une représentation vectorielle, un rayon incident v

à une normale à la surface N peut être réorienté dans la

direction T lors d’une transmission grâce à la loi de la
réfraction suivante :
(
rayon
incident

v
n=

N
)

  2  
   
2
T = n v +  n(E ⋅ N ) − 1 − n 1 − (E ⋅ N )  N


et
où

E
point de
surface
où il y a
transmission

 n = n1
E = −v ,
n2
n1
n2
n1
n2
rayon
réfracté
(transmis)

T


T : Orientation du rayon réfracté (vecteur unitaire, T = 1 ).


v : Orientation du rayon incident (vecteur unitaire, v = 1 ).


N : Orientation de la normale à la surface (vecteur unitaire, N = 1 ).



E : Orientation inverse du rayon incident ( E = −v ).
n : Rapport entre l’indice de réfraction incident sur réfracté.
n1 : Indice de réfraction du milieu incident.
n2 : Indice de réfraction du milieu réfracté.
Preuve :
Considérons un rayon incident d’orientation

(vecteur unitaire) v se dirigeant vers une surface

dont la normale est orientée selon le vecteur N tel
qu’illustré sur le schéma ci-contre.

Évaluons le vecteur transmis T à l’aide du vecteur


E = −v en respectant la loi de la réfraction étant
n1 sin (θ 1 ) = n 2 sin (θ 2 )


où θ1 représente l’angle entre E et N et θ 2


représente l’angle entre T et − N .
rayon
incident
n=

v
sin (θ1 )
cos(θ1 )

E
point de
surface
où il y a
transmission

P sin (θ1 )
n1
n2

N

v
θ1 N cos(θ )
1
θ1

P
n1

v
θ2

T
n2
rayon
réfracté

À partir de l’angle d’incidence θ1 , nous pouvons construire un vecteur unitaire parallèle à la surface P
étant

 v + N cos(θ 1 )

 
.
⇒
P=
P sin (θ1 ) = v + N cos(θ1 )
sin (θ 1 )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8

N
À partir de l’angle de réfraction θ 2 , nous

pouvons construire le vecteur unitaire T
étant
 

T = P sin (θ 2 ) − N cos(θ 2 ) .

E
θ1

P
θ2

T
sin (θ 2 )
n1
n2
n1

v
cos(θ 2 )
Développons cette dernière expression
afin

d’obtenir une expression de T sans faire
référence à l’angle de réfraction θ 2 :
n=
n2
rayon
réfracté
(transmis)
 

T = P sin (θ 2 ) − N cos(θ 2 )


  v + N cos(θ 1 ) 
 sin (θ 2 ) − N cos(θ 2 )
T = 
 sin (θ 1 ) 
(Vecteur réfracté unitaire)

 v + N cos(θ 1 )
(Remplacer P =
)
sin (θ 1 )
⇒
  
sin (θ 2 ) 
T = (v + N cos(θ 1 ))
− N cos(θ 2 )
sin (θ 1 )
(Regrouper
⇒
  

T = (v + N cos(θ 1 )) n − N cos(θ 2 )
(Loi de la réfraction : n =
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒

 
T = n v + N (n cos(θ 1 ) − cos(θ 2 ))

 
T = n v + N n cos(θ 1 ) − cos 2 (θ 2 )
(

 
T = n v + N (n cos(θ ) −
1
)
1 − sin 2 (θ 2 )
1
( cos(θ 2 ) = cos 2 (θ 2 ) )
)
( cos 2 (θ 2 ) = 1 − sin 2 (θ 2 ) )
)
(
(Loi de la réfraction : sin (θ 2 ) = n sin (θ 1 ) )
(Développer le carré)
))
( sin 2 (θ 1 ) = 1 − cos 2 (θ 1 ) )
1 − n 2 1 − cos 2 (θ 1 )
(
n1 sin (θ 2 )
)
=
n 2 sin (θ 1 )
(Distribution de n)

 
2
T = n v + N  n cos(θ 1 ) − 1 − (n sin (θ 1 )) 



 
T = n v + N n cos(θ 1 ) − 1 − n 2 sin 2 (θ 1 )
(

 
T = n v + N (n cos(θ ) −
sin (θ 2 )
)
sin (θ 1 )
)

 
  2
 
T = n v + N  n (E ⋅ N ) − 1 − n 2 1 − (E ⋅ N )  ■


 
 
( E ⋅ N = E N cos(θ 1 ) = cos(θ 1 ) )


En remplaçant E = −v , nous obtenons après quelques simplifications de signe négatif l’expression
(
)



 
  2
T = n v −  n (v ⋅ N ) + 1 + n 2 (v ⋅ N ) − 1  N .


Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9
La réflexion totale interne sous forme vectorielle (complément informatique)

À l’aide d’une représentation vectorielle, un rayon incident v à une

normale à la surface N ne pourra subir de réflexion totale interne
sous la condition

v
θ

E
2
  2  n2 
(v ⋅ N ) +   > 1
 n1 
rayon
incident

N
n1
n2
.
(critère pour ne pas avoir de réflexion totale interne)
où


v : Orientation du rayon incident (vecteur unitaire, v = 1 ).


N : Orientation de la normale à la surface (vecteur unitaire, N = 1 ).
n1 : Indice de réfraction du milieu incident.
n2 : Indice de réfraction du milieu réfracté.
À partir du critère de l’angle critique de réflexion totale interne θ c , développons le critère à satisfaire
pour ne pas avoir de réflexion ( θ i < θ c ) :
 n2
 n1
θ i < θ c = arcsin

 ⇒

sin (θ i ) <
n2
n1
(Appliquer la fonction sinus)
2
⇒
n
sin (θ i ) <  2
 n1
⇒
n
− sin (θ i ) > −  2
 n1
2



2
(Mettre au carré)



2
(Multiplier par -1, inversion de l’inégalité)
2
⇒
⇒
n 
cos (θ i ) > 1 −  2 
 n1 
2
  2
 n2 
(E ⋅ N ) > 1 −  
 n1 
2
(Additionner 1 et cos 2 (θ ) = 1 − sin 2 (θ )
 
 
E⋅N
( cos(θ c ) =   = E ⋅ N )
E N
2
⇒
⇒
⇒
 
(E ⋅ N )2 +  n2  > 1
 n1 
2
  2  n2 
((− v ) ⋅ N ) +   > 1
 n1 
2
  2  n2 
(v ⋅ N ) +   > 1 ■
 n1 
(Regrouper les termes)


(Remplacer E = −v )
(Simplifier signe négatif)
On peut également démontrer que cette expression est équivalente à l’expression précédente
  2
1 − n 2 1 − (E ⋅ N ) > 0 où n = n1 / n2 .
(
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
)
Page 10
Exercices
Exercice A : Réfraction sur un ¼ de disque. Un rayon de
lumière voyageant dans l’air touche le centre d’un ¼ de
disque de plastique (n = 1,33) tel qu’illustré ci-contre. On
désire évaluer l’angle de déviation du rayon à la sortie du
¼ de disque par rapport au rayon initial.
Situation 5 : Double réfraction dans un prisme. Un prisme
de zircon (n = 1,92) entouré d’eau (n = 1,33) possède
un angle au sommet a = 70° (schéma ci-contre). (a)
Un rayon frappe la face de gauche avec un angle
d’incidence θ1 = 50° : on désire déterminer l’angle
de réfraction du rayon θui ressort dans l’eau (face
de droite). (b) On diminue graduellement l’angle θ1
et on désire déterminer pour à partir de θuelle
valeur de θ1 on assiste à une réflexion totale
interne sur la face de droite.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
R/2
R/2
eau
a
θ1
zircon
Page 11
Solutions
Exercice A : Réfraction sur un ¼ de disque.
Évaluons l’angle d’incidence de la première réfraction :
sin θ =
y
h
⇒
(R / 2 ) = 1
(R ) 2
⇒
θ = 30°
(1,33)sin (θ 2 ) = (1)sin (30°)
⇒
θ 2 = 22,08°
sin θ =
Évaluons l’angle de la 1ière réfraction :
n2 sin (θ 2 ) = n1 sin (θ1 )
⇒
À partir du schéma ci-contre, on peut
évaluer l’angle d’incidence de la 2ième
réfraction en utilisant le fait qu’un
triangle possède 180o d’angle intérieur.
Évaluons l’angle de la 2ième réfraction :
30
n2 sin (θ 2 ) = n1 sin (θ1 )
⇒
(1)sin (θ 2 ) = (1,33)sin (7,92°)
⇒
θ 2 = 10,56°
22,08o
30o
o
7,92o
10,56o
150o
30o
Puisque le 2ième angle de réfraction est mesuré par rapport à l’horizontale qui était l’orientation du rayon
initial, l’angle θ 2 = 10,56° correspond également à la déviation.
Situation 5 : Double réfraction dans un prisme.
En construction …
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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