Algorithmique - maths

Algorithmique : Suites
Terminale S, 2014, L. JAUNATRE
1. Le B.O
Programme officiel :
◇ Dans le cas d’une limite infinie, étant donnée une suite croissante (un ) et un nombre réel
A, déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A
Programme officiel :
⧈ Il est intéressant de démontrer qu’une suite croissante non majorée a pour limite +∞.
Des exemples de suites récurrentes en particulier arithmético-géométriques, sont traités en
exercices.
◇ Des activités algorithmiques sont menées dans ce cadre.
2. Algorithmes pour une suite de limite finie
2.1. Terme de rang n d’une suite définie par récurrence
Activité 1.
Soit (un ) la suite définie par u0 = 0 et un+1 = 0,3 + 0,7un pour n ∈ N. On souhaite écrire un
algorithme qui fait saisir un rang n et qui affiche la valeur du terme un .
1 Quel type de boucle répétitive est le plus adapté à la programmation de cet algorithme :
≪ Tant que ≫ ou ≪ Pour ≫ ?
2 Écrire l’algorithme avec le logiciel algobox.
3 Tester l’algorithme pour de petites valeurs de n.
4 Utiliser l’algorithme pour conjecturer la limite ℓ et les variations de la suite (u ).
n
2.2. Algorithme de seuil
Activité 2.
On souhaite écrire un algorithme qui affiche le premier rang n à partir duquel les termes de la
suite de l’activité 1 sont supérieurs à 0,999 999.
1 Quel type de boucle répétitive est le plus adapté à la programmation de cet algorithme :
≪ Tant que ≫ ou ≪ Pour ≫ ?
2 Écrire l’algorithme avec le logiciel algobox.
2.3. Calcul de la somme des termes d’une suite
Activité 3.
On souhaite écrire un algorithme qui fait saisir un rang n et affiche la somme des termes de la
suite de l’activité 1 de u0 jusqu’à un .
1
2
3
4
Quel type de boucle répétitive est le plus adapté à la programmation de cet algorithme :
≪ Tant que ≫ ou ≪ Pour ≫ ?
Écrire l’algorithme avec le logiciel algobox.
Tester l’algorithme pour de petites valeurs de n.
Quelle conjecture peut-on émettre sur les variations et la limite de cette suite ?
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2.4. Étude mathématique de la suite
Activité 4.
On définit la suite (vn ) par vn = un − 1 pour n ∈ N.
1 Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
n
2 En déduire une expression explicite de (v ). En déduire : u = 1 − 0,7n pour tout n ∈ N.
n
n
3 Vérifier les conjectures émises dans l’activité 1. (limite et variations)
4 Déterminer par le calcul le premier entier n tel que u
n ≥ 0,999 999. (comparer avec le
résultat de l’activité 2)
n+1
5
Montrer que pour tout n ∈ N, u0 + u1 + ⋅ ⋅ ⋅ + un = n + 1 − 1−0,7
0,3
avec le programme de l’activité 3.
puis vérifier cette formule
3. Algorithmes pour une suite de limite infinie
3.1. Terme de rang n d’une suite définie par récurrence
Activité 5.
Un capital de 1000000 CFP est placé le 1er janvier 2014 au taux d’intérêt composé de 5%
annuel, de plus les frais annuels de gestion du capital s’élèvent à 10000 CFP .
On souhaite connaı̂tre le capital disponible chaque 1er Janvier.
Ecrire un algorithme avec le logiciel algobox qui donne le capital disponible le 1er janvier de
l’année 2014 + n.
3.2. Algorithme de seuil
Activité 6.
On souhaite connaı̂tre l’année à partir de laquelle le capital de l’activité 5 au 1er Janvier aura
doublé.
Ecrire un algorithme avec le logiciel algobox qui détermine l’année pour laquelle le capital
aura doublé au 1er Janvier.
3.3. Étude mathématique de la suite
Activité 7.
On désigne par (Cn ) pour n ∈ N , le capital disponible le 1er Janvier de l’année 2014 + n.
1 Que vaut C ? Exprimer C
0
n+1 en fonction de Cn
2 Montrer que la suite (C ) est croissante.
n
On définit la suite (vn ) par vn = Cn − 200000 pour n ∈ N.
1 Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
n
2 En déduire une expression explicite de (v ) puis de C pour tout n ∈ N.
n
n
3 Vérifier par le calcul le résultat obtenu dans l’activité 5 pour l’année 2024.
4 Déterminer par le calcul le premier entier n tel que C
n ≥ 2000000. Comparer avec le
résultat de l’activité 6.
Activité 8.
A l’aide du tableau de langage de programmation, programmer tous les algorithmes précédents
sur vôtre calculette.
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4. Suite de Syracuse
Activité 9.
Une suite de Syracuse est une suite (un ) définie par un terme initial u0 ∈ N − {0} et pour tout
n ∈ N par la relation de récurrence :
un
⎧
⎪
si un est pair
⎪
⎪ 2
un+1 = ⎨
⎪
⎪
3u + 1 si un est impair
⎪
⎩ n
1
Compléter le tableau suivant des termes de suites de Syracuse définies par différents termes
initiaux :
n
un
un
un
un
2
0
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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Émettre une conjecture :
≪
à partir d’un certain rang se reproduit la séquence de termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
≫
Cette conjecture a été formulée en 1928 par le mathématicien allemand Lothar Collatz,
puis présentée à un colloque de l’université de Syracuse (état de New-York) en 1958. Elle a
fait l’objet de nombreuses recherches, mais personne ne l’a, à ce jour, prouvée ou infirmée.
3
On note E(x) le plus grand entier inférieur ou égal au réel x.
√
Calculer E(17,5), E( 2), E(18), E(−1,33).
4
Que fait le programme suivant : (ne pas saisir le programme, mais tester plusieurs valeurs
de U puis expliquer rigoureusement l’effet du programme)
Langage naturel
Programme
≪
Variable
Initialisation
Traitement :
TI 82 83 84
PR ≫
U de type entier
U ∶= 0
Saisir U
Si Ent(U /2) = U /2
Alors
Afficher ‘‘P’’
Fin Si
PROGRAM :PR
:Prompt U
:If int(U /2) = U /2
:Then
:Disp ”P ”
:End
CASIO GRAPH 35
=====PR=====
"U=":?→U↵
If Int(U /2) = U /2
Then ”P ”↵
IfEnd↵
5
Écrire un algorithme puis le programme qui fait saisir dans U le terme initial d’une suite
de Syracuse puis affecte à U le terme suivant et l’affiche.
6
Le temps de vol d’une suite de Syracuse représente le rang du premier terme égal à 1.
Modifier le programme précédent afin qu’il affiche le temps de vol de la suite au lieu de
U (boucle while ?).
7
L’altitude maximale est le plus grand terme de la suite. Modifier le programme précédent
pour qu’il affiche également l’altitude maximale de la suite.
8
Établir un record de temps de vol et d’altitude maximale.
L. JAUNATRE
Terminale S, Algorithmique : Suites
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