Énoncé

ÉPREUVE d’ENTRAÎNEMENT aux OLYMPIADES
de MATHÉMATIQUES de QUATRIÈME
Vendredi 28 mars 2014 – de 16h15 à 18h
Les calculatrices sont autorisées. On rappelle que toute affirmation doit être prouvée le mieux
possible, mais les candidats sont invités à faire figurer sur les copies les résultats, même partiels,
auxquels ils sont parvenus, et les idées qui leur sont venues.
Exercice 1
On suppose connue la somme, notée A, de tous les nombres entiers de 1 à 1007.
On suppose connue, de même, la somme, notée B, de tous les nombres entiers de 1 à 2014.
a) Calculer alors, en fonction des données, la somme suivante :
C = 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2010 + 2012 + 2014 .
b) Calculer de même, en fonction des données, la somme suivante :
D = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2009 + 2011 + 2013 .
Exercice 2
Prouver que le nombre 102012 + 102013 + 102014 est divisible par 111.
Exercice 3
Déterminer tous les nombres entiers positifs de cinq chiffres au plus, divisibles par 6 et dont les
chiffres sont uniquement des 0 ou des 1.
Exercice 4
Dans un jeu, un entier n est remplacé par l’entier 2(n – 2).
Après avoir effectué cinq fois de suite ce remplacement, on obtient 100. Quel était le nombre de
départ ?
Exercice 5
On peut remplir une cuve avec deux robinets A et B. Le robinet A peut la remplir à lui tout seul en
45 minutes et le robinet B en une heure et demie.
a) Au début, la cuve est vide et on pose le bouchon de fermeture qui permet que la cuve se
remplisse. On ouvre alors les deux robinets au même instant.
En combien de temps la cuve sera-t-elle pleine ?
b) Maintenant, la cuve est pleine et les robinets sont fermés. On sait qu’en retirant le bouchon, la
cuve pleine va se vider en 15 minutes. On retire alors ce bouchon au même instant qu’on ouvre à
nouveau les deux robinets. Expliquer pourquoi la cuve ne va jamais déborder pendant cette
opération de « vidage-remplissage ».
c) Au cours de l’opération décrite à la question précédente, on décide de remettre le bouchon, en
laissant les deux robinets ouverts. À quel instant doit-on le faire pour que la cuve soit à nouveau
pleine 30 minutes après le début de l’opération globale ?
Exercice 6
A, B, C, D et E sont cinq personnes qui peuvent mentir ou dire la vérité. Déterminer ce qu’ils sont
dans chacun des cas suivants en fonction de ce qu’ils disent et de l’éventuelle condition proposée.
1) A dit « B ment », B dit « C ment » et C dit « 1 + 1 = 2 ».
2) A dit « B dit la vérité », B dit « A dit la vérité » et C dit « A ment ». Il y a plus de gens disant la
vérité que de menteurs.
3) A dit « Je dis la vérité », B dit « A dit la vérité », C dit « B dit la vérité » et D dit « C ment ». Il y
a plus de menteurs que de gens qui disent la vérité.
4) A dit « B ment », B dit « C ment », C dit « J’aime lire » et D dit « 2 + 2 = 4 ». Il y a moins de
menteurs que de gens disant la vérité.
5) A dit « Ma couleur préférée est le rouge », B dit « C ment », C dit « A ment », D dit « La couleur
préférée de A est le bleu » et E dit « La couleur préférée de A est le bleu ». Il y a plus de gens
disant la vérité que de menteurs.
6) A dit « B a cassé le vase », B dit « D a cassé le vase », C dit « Je n’ai rien cassé » et D dit
« B ment ».
7) A dit « B et C mentent », B dit « A dit vrai ou (inclusif) C ment » et C dit « A et B disent vrai ».
Remarque : « ou (inclusif) » signifie que les deux affirmations peuvent avoir lieu en même temps.
Exercice 7
La figure ci-dessous est un polygone croisé à sept côtés.
Montrer que la somme S des mesures des angles marqués en A, B, C, D, E, F et G peut s’écrire grâce
aux mesures des angles du pentagone central. En déduire cette somme S.
Exercice 8
Dans un quart de disque de rayon 2, on trace deux demi-disques de rayon 1.
On définit ainsi deux surfaces, dont les aires sont notées « Aire 1 » et « Aire 2 ».
Déterminer laquelle de ces deux aires est la plus grande.
Exercice 9
Au XVIIe siècle, un élève de Galilée, nommé Vincenzo Viviani, a démontré un théorème de
géométrie qui porte aujourd’hui son nom :
« Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d’un point intérieur au triangle
aux trois côtés est égale à la hauteur du triangle. »
Démontrer cette propriété en utilisant les triangles équilatéraux tracés sur la figure ci-dessous.
Exercice 10
Chaque côté d’un carré ABCD a une longueur de 8 cm. On trace un cercle de centre O, passant par
les points A et D et tangent en E au côté [BC].
Quel est le rayon du cercle ?