Devoir maison n° 4 A rendre mardi 19 décembre 2006 ABCD est un

Devoir maison n° 4
A rendre mardi 19 décembre 2006
ABCD est un trapèze rectangle tel que
AB = 6 cm, CD = 2 cm, AD = 4 cm.
M est un point de [AD] . On pose AM = x cm.
On construit le rectangle AMNP inscrit dans ABCD comme sur la figure.
1° Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB).
a) Montrer que le triangle BCH est isocèle rectangle.
b) Montrer que le triangle BPN est isocèle rectangle.
c) Montrer que AM = BP = x.
A quel intervalle I appartient x ?
2° Démontrer que : aire (AMNP) = 6 x – x 2 .
a) Calculer l’aire du trapèze ABCD.
b) Calculer l’aire des triangles CDM et ABM.
c) En déduire que : aire (BCM) = 12 – 2 x.
3° On pose f(x) = 6 x – x 2 avec x appartenant à l’intervalle I.
D
C
M
N
A
P
g(x) = 12 – 2 x
a) Utiliser la calculatrice pour compléter le tableau de valeurs de f :
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
f(x)
b) Tracer la courbe de f dans le repère ci-dessous.
y
8
6
4
2
x
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
c) Tracer sur le même repère la représentation graphique de la fonction g.
d) Lire sur le graphique les coordonnées du point d’intersection K des deux courbes.
Quels renseignements les coordonnées de ce point donnent-elles à propos des aires de BCM et AMNP ?
4° On se propose de déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle les aires de AMNP et de BCM sont
égales.
a) Développer (x – 4) 2 – 4.
b) Ecrire l’équation permettant de calculer x pour que les deux aires soient égales.
c) A l’aide de la réponse obtenue au a), résoudre cette équation et conclure.
B
ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 6 cm, CD = 2 cm, AD = 4 cm. M est un point de [AD]. On pose AM = x cm.
On construit le rectangle AMNP inscrit dans ABCD comme sur la figure. 1° Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB).
D
C
a) Montrer que le triangle BCH est isocèle rectangle.
 AHC = 90
 DAH= 90° donc AHCD est un rectangle.
 ADC = 90°
CH = AD = 4 cm et HB = AB – AH = AB – CD = 6 – 2 = 4 cm
Donc CHB est rectangle isocèle en H.
M
N
b) Montrer que le triangle BPN est isocèle rectangle.
BHC rectangle isocèle en H donc HBC = 45° = PBN
Le triangle BPN est rectangle en P et il a un angle de 90°
D
il est donc rectangle isocèle.
H
A
C
P
B
c) Montrer que AM = BP = x.
PNB est rectangle isocèle en P donc
PN = PB
AMNP est un rectangle donc PN = AM
On a bien AM = BP = x cm
M
N
A quel intervalle I appartient x ?
M ∈ [AD] donc 0 ≤ x ≤ 4 donc x ∈ ( 0 , 4 ]
H
A
aire (AMNP) = AM × AP
AP = AB – PB = 6 – x
Donc : aire (AMNP) = x (6 – x) = 6 x – x2.
P
y
2° Démontrer que : aire (AMNP) = 6 x – x 2 .
B
8
a) Calculer l’aire du trapèze ABCD.
6
1
1
aire (ABCD) = (AB + CD) × AD = (6 + 2) × 4 = 16 cm2
2
2
b) Calculer l’aire des triangles CDM et ABM.
4
1
1
DC × DM = × 2 × (4 – x) = 4 – x.
2
2
1
1
aire (ABM) = AB × AM = × 6 × x = 3 x.
2
2
2
air (CDM) =
c) En déduire que : aire (BCM) = 12 – 2 x.
x
0
0
Aire BCM = aire ABCD – air DCM – aire ABM
= 16 – (4 – x) – 3 x = 16 – 4 + x – 3 x = 12 – 2 x.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
3° On pose f(x) = 6 x – x2 avec x appartenant à l’intervalle I. g(x) = 12 – 2 x
a) Utiliser la calculatrice pour compléter le tableau de valeurs de f :
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
f(x)
0
2,75
5
6,75
8
8,75
9
8,75
8
b) Tracer la courbe de f dans le repère ci-dessous.
c) Tracer sur le même repère la représentation graphique de la fonction g.
x
g(x)
3
0
1
10
d) Lire sur le graphique les coordonnées du point d’intersection K des deux courbes.
Quels renseignements les coordonnées de ce point donnent-elles à propos des aires de BCM et AMNP ?
K(2, 8). Si x = 2 alors les aires des triangles BCM et AMNP sont égales.
4° On se propose de déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle les aires de AMNP et de BCM sont égales. a)
Développer (x – 4)2 – 4.
(x – 4)2 – 4 = x2 – 8 x + 16 – 4 = x2 – 8 x + 12.
b) Ecrire l’équation permettant de calculer x pour que les deux aires soient égales.
Les aires des triangles BCM et AMNP sont égales si et seulement si :
f (x) = g(x) ⇔ 6 x – x2 = 12 – 2 x
c) A l’aide de la réponse obtenue au a), résoudre cette équation et conclure.
6 x – x2 = 12 – 2 x ⇔ 6 x – x2 – 12 + 2 x = 0 ⇔ – x2 + 8 x – 12 = 0 ⇔ x2 – 8 x + 12 = 0
⇔ (x – 4)2 – 4 = 0 ⇔ (x – 4)2 = 4 ⇔ x – 4 = 2 ou x – 4 = – 2 ⇔ x = 6 ou x = 2.
la première solution n'est pas acceptable la seconde correspond bien à l'abscisse du point d'intersection des
courbes C f et C g
4