Lycée Jules Renard NEVERS Lycée Raoul Follereau

Lycée Jules Renard
NEVERS
Lycée Raoul Follereau
Mathématiques
Devoir passerelle Troisième → Seconde
A rendre à la rentrée de septembre 2010
Ce devoir est à chercher et à rédiger dans les quinze jours précédents la rentrée et à rendre
à votre professeur de mathématiques le jour de la rentrée scolaire 2010-2011.
Il n’utilise que des notions de collège.
On considère la suite de Fibonnaci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 …..
Objectif : On considère trois nombres consécutifs de cette suite. On se demande si à l’aide de
ces trois nombres, il est possible de construire un carré et un rectangle de même aire ?
Partie 1 : manipulation et conjecture.
Pour étudier la notion d’aire de polygones, on a proposé à des élèves de 6ème le travail suivant.
1) Tracer un carré ABCD en prenant a = 5
cm et b = 8 cm et le partager comme
l’indique le dessin.
a
a
a
b
b
b
a
b
fig A
2) Découper chaque partie du
carré (fig A) et former avec
elles un rectangle EFGH de
longueur 21 cm et de largeur 8
cm.
Coller cet assemblage sur la
copie.
Les deux quadrilatères ont-ils
la même aire ?
a+b
b
a
b
b
a
b
a+b
fig B
Les élèves de 6ème peuvent-ils réussir cet exercice ? Justifier votre réponse.
Partie 2 : condition d’égalité des deux aires
On se propose de trouver une condition pour des nombres non nuls a et b tels que les aires du
carré et du rectangle soient égales.
Considérons un carré de côté (a + b) et un rectangle de côtés (a + 2b) et b.
L’aire du carré en fonction de a et b est (a + b ) 2 et celle du rectangle est (a + 2b ) × b .
Pour que les deux aires soient égales, il faut avoir (a + b) 2 = (a + 2b ) × b .
1) Vérifier que cela revient à résoudre après développement et simplification l’égalité (E)
suivante : a 2 + ab − b 2 = 0 .
2) Les nombres non nuls a et b donnés aux élèves de 6ème vérifient-ils cette égalité ?
1
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Partie 3 : calcul d’une dimension pour obtenir l’égalité des aires
Dans cette partie on pose a = 1 et b = x .
1) Montrer que l’égalité (E) précédente devient : 1 + x − x 2 = 0 .
2) Avec un tableur on a calculé des images puis on a obtenu une représentation graphique
de la fonction f ( x ) = − x 2 + x + 1 .
y
1
0
1
2
x
-1
a) Donner par lecture graphique (à 0,1 près) un antécédent de 0 par la fonction f .
2
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b) Les trois tableaux de valeurs ci-dessous nous permettent de donner une valeur approchée à
0,1 près, puis 0,01 près et enfin 0,001 près de la valeur x dont l’image est 0 par la fonction f.
Après lecture de ces tableaux, donner un encadrement de x à 0,1 près, puis à 0,01 près et
enfin à 0,001 près (vous expliquerez la méthode employée).
x
f (x)
x
f (x)
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
1.000
0.890
0.760
0.610
0.440
0.250
0.040
-0.190
-0.440
-0.710
-1.000
1.5
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.6
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.7
0.250
0.230
0.210
0.189
0.168
0.148
0.126
0.105
0.084
0.062
0.040
0.018
-0.004
-0.027
-0.050
-0.072
-0.096
-0.119
-0.142
-0.166
-0.190
x
1.61
1.611
1.612
1.613
1.614
1.615
1.616
1.617
1.618
1.619
1.62
1.621
1.622
1.623
1.624
1.625
1.626
1.627
1.628
1.629
1.63
f (x)
0.018
0.016
0.013
0.011
0.009
0.007
0.005
0.002
0.000
-0.002
-0.004
-0.007
-0.009
-0.011
-0.013
-0.016
-0.018
-0.020
-0.022
-0.025
-0.027
On retiendra :
Ce nombre lu est une valeur approchée du nombre d’or (noté ϕ ) dont la valeur exacte est
1+ 5
.
2
On retiendra que le carré aura la même aire que le rectangle si le rapport entre la longueur b et
la largeur a est ϕ . Un rectangle qui respecte ce rapport est appelé rectangle d’or.
ϕ=
3