Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d`incertitude » ψ ψ

Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Avec quelle précision peut-on mesurer une observable ?
On considère N systèmes tous préparés dans le même état
N(a)
ψ
Valeur moyenne des résultats :
Variance : ∆a = a
2
a
a1 a2 a3 a4
2
− a
2
(
= ψ Aˆ 2 ψ − ψ Aˆ ψ
)
2
Peut-on avoir un résultat certain, c’est-à-dire
∆a = 0 ?
Oui, si le système est dans un état propre de
Â
ψ = ψα
a = aα
Avec quelle précision peut-on mesurer deux observables ?
On considère 2N systèmes tous préparés dans le même état
D. Marchand
a = ψ Aˆ ψ
ψ
∆a = 0
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude » (suite)
N(a)
N(b)
a
b
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3
Mesure de A sur N systèmes
a
∆a
Peut-on avoir simultanément
b
∆b
∆a et ∆b = 0 ?
En général, NON ! Plus précisément :
D. Marchand
Mesure de B sur N systèmes
∆a ∆b ≥
1
ψ  Aˆ , Bˆ  ψ
2
avec
ˆ ˆ − BA
ˆˆ
 Aˆ , Bˆ  = AB


Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Exemple d’application : position & impulsion (1)
2N particules dans
le même état
x
N particules
N particules
détecteur
Mesure de la position selon
D. Marchand
∆x∆px ≥ ?
Mesure de l’impulsion selon
x
détecteur
x
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Exemple d’application : position & impulsion (2)
Commutateur
[ xˆ, pˆ x ] =
?
 = ∂ = ∂ 
x ψ ( x ) = i=ψ ( x )
−
x
 i ∂x i ∂x 
La relation générale
1
∆a∆b ≥ ψ  Aˆ , Bˆ  ψ
2
[ xˆ, pˆ x ] = i=
donne alors :
∆x∆px ≥
=
2
(Autre démonstration possible à partir des propriétés de la transformée de Fourier)
Cette relation d’incertitude n’a rien à voir avec la résolution des
appareils de mesure, c’est-à-dire la largeur des canaux des
histogrammes.
D. Marchand
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein (1)
On prépare les atomes avec un
moment magnétique opposé à
G
B
:
G G G
G G G
E = − µ .B ( r ) = + µ B ( r )
=
1
m (ω x2 x 2 + ω y2 y 2 + ω z2 z 2 )
2
Hamiltonien :
2
2
2
ˆ
p
ˆ
ˆ
p
p
y
x
z
+
+
+"
Hˆ =
2m 2m 2m
1
" m (ω x2 x 2 + ω y2 y 2 + ω z2 z 2 )
2
D. Marchand
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein (2)
On effectue un refroidissement
Et un piégeage de ces atomes
à l’aide d’un piège magnétooptique
Principe du piège magnéto-optique :
La résultante des deux forces de
pression de radiation dans un
gradient de champ magnétique
permet de créer une force de
rappel vers le centre.
D. Marchand
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein (3)
Refroidissement par évaporation à l’aide d’un piège harmonique
107 à 109 atomes
103 à 106 atomes
Si la température est assez basse, la
majeur partie des atomes restants
s’accumulent dans l’état fondamental
du piège
Principe de l'évaporation :
Après une collision élastique, une particule
dispose de l'énergie suffisante pour s'échapper
du piège de profondeur U. Les particules
restantes se thermalisent a une température
inférieure la température initiale.
D. Marchand
nx = 0, n y = 0, nz = 0
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein (4)
Observation expérimentale
Par absorption de lumière et fluorescence
Mesure simultanée de x et z pour un
grand nombre de systèmes quantiques
(atomes) tous préparés dans le même
état
D. Marchand
T>Tc
T<Tc
T<<Tc
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
Une illustration de ces résultats : condensats de Bose-Einstein (5)
TEST DE L’INEGALITE DE HEISENBERG
Pour des atomes de sodium :
ωx
= 300 Hz
2π
ωz
= 5 Hz
2π
∆x =
∆z =
=
= 3µ m
mω x
=
= 23µ m
mω z
(coupure du champ magnétique
dans le piège)
Un meilleur confinement selon x que selon z entraîne une dispersion en vitesse
grande que
∆v z
=ω x
∆vx =
= 2 mm.s -1
m
conformément à l’inégalité de Heisenberg.
D. Marchand
=ω z
∆vz =
= 0,3 mm.s -1
m
∆vx plus
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
RELATION D’INCERTITUDE TEMPS-ENERGIE (1)
=
x
p
∆
∆
≥
x
La relation
2 se déduit DIRECTEMENT des postulats et de la relation de
commutation des opérateurs
système.
xˆ et pˆ x c’est donc une propriété INTRINSEQUE de tout
Il n’en est plus de même pour la relation
∆E ∆t ≥
=
2 car le temps n’est pas un
opérateur mais un paramètre qui a une valeur bien définie dans les équations : bien
qu’on puisse le mesurer, ce n’est pas une OBSERVABLE. Les interprétations de cette
relations sont multiples. On se limite ici à quelques remarques.
SYSTEMES ISOLES ET INTERPRETATION INTRINSEQUE :
Etats stationnaires : Ce sont les états propres de l’énergie dont l’évolution se ramène à un
simple facteur de phase global :
tel état, la valeur moyenne
a
ψ (t ) = e
i
− Et
=
ψ ( 0 ) . Si le système est préparé dans un
de toute observable A ne change pas au cours du temps.
Un système isolé dont l’énergie est bien définie ( ∆E = 0 ) n’évolue pas.
D. Marchand
Inégalités de Heisenberg – ou – « relations d’incertitude »
RELATION D’INCERTITUDE TEMPS-ENERGIE (2)
Evolution d’un système : Le système n’a pas d’énergie bien définie (son état
exemple une superposition de plusieurs états propres de l’énergie.
d a
1
ˆ
ˆ


On a d’après la relation générale : ∆a∆E ≥ ψ  A, H  ψ . Soit v =
dt
2
d’évolution de
a
d a
1
t
ψ
est par
la vitesse
t
ˆ ˆ
t , d’après le théorème d’Ehrenfest : v = dt = i= ψ  A, H  ψ
et en
∆a
∆a
=
=
τ
combinant les deux relations : τ∆E = v ∆E ≥ 2 où
v est un temps caractéristique
d’évolution de la grandeur A . On retrouve une propriété intrinsèque du système quantique
Plus l’écart ∆ E sur l’énergie est grand, plus le temps caractéristique d’évolution de toute
grandeur peut être court.
Désintégration d’un système instable : son énergie n’est définie qu’avec une incertitude
reliée à la durée de vie
τ
=
E
∆
=
par
2τ . On retrouve la forme précédente et c’est encore
une propriété intrinsèque du système.
D. Marchand