Point de vue de Heisenberg - ESPCI

Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique
« LES POINTS DE VUE » DE HEISENBERG ET SCHRÖDINGER
Deux méthodes (« points de vue ») équivalents pour décrire l’évolution d’un
système en mécanique quantique :
1. Le point de vue de Schrödinger :
Les opérateurs sont indépendants du temps
L’état du système évolue (équation de Schrödinger)
2. Le point de vue de Heisenberg :
L’état du système est indépendant du temps
Les opérateurs évoluent (équation de Heisenberg)
Très utile en Optique Quantique, car on retrouve des équations d’évolution des
opérateurs champ très proches de celles de l’électromagnétisme classique
Lien entre ces points de vue ?
D. Marchand
L’Opérateur d’évolution.
Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique
L’OPERATEUR D’EVOLUTION
Equation de Schrödinger :
i=
* Si Ĥ
dt
= Hˆ ( t ) Ψ( t )
est indépendant du temps, intégration formelle :
d Ψ (t )
Ψ (t )
i ˆ
− Ht
=
ˆ (t) = e
U
où
Attention ! si
Û ( t )
d Ψ( t )
Ĥ
ˆ
iHdt
=−
=
→
Ψ (t ) = e
i ˆ
− Ht
=
est un opérateur unitaire appelé
Ψ ( 0 ) = Uˆ ( t ) Ψ ( 0 )
: « opérateur d’évolution ».
ˆ
dépend du temps (cas général) on a toujours Ψ ( t ) = U ( t ) Ψ ( 0 )
dUˆ ( t ) ˆ
ˆ
est solution de : i= dt = H ( t ) U ( t ) mais généralement.
D. Marchand
Uˆ ( t ) ≠ e
i ˆ
− Ht
=
où
Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique
EQUATION DE HEISENBERG
* Valeur moyenne de l’opérateur
Aˆ S
dans l’état
af
Ψt
:
Ψ ( t ) Aˆ S Ψ ( t ) = Ψ ( 0 ) Uˆ † ( t ) Aˆ SUˆ ( t ) Ψ ( 0 ) = Ψ ( 0 ) Aˆ H ( t ) Ψ ( 0 )
ˆ ( t ) = Uˆ † ( t ) Aˆ Uˆ ( t )
A
S
où H
est l’opérateur
Â
en « point de vue de Heisenberg ».
ˆ
ˆ
ˆ
* Equation d’évolution de AH ( t ) ( AS et H sont indépendants du temps) :
ˆ (t )
dAˆ H ( t ) dUˆ † ( t ) ˆ ˆ
dU
†
=
ASU ( t ) + Uˆ ( t ) AS
dt
dt
dt
dAˆ H ( t )
ˆ Uˆ ( t ) + Uˆ † ( t ) Aˆ HU
ˆ ˆ ( t ) = Uˆ † ( t ) Aˆ Uˆ ( t ) , H 
= −Uˆ † ( t ) HA
i=
S
S
S


dt
dAˆH ( t ) ˆ
=  AH ( t ) , Hˆ 
i=
On obtient l’équation de Heisenberg :
dt
D. Marchand
Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique
EQUATION DE HEISENBERG : remarques...
* Valeur moyenne de l’équation de Heisenberg
dAˆ H ( t )
i=
=  Aˆ H ( t ) , Hˆ 
dt
En prenant la valeur moyenne dans l’état
i=
d Aˆ ( t )
dt
* Cas général où
Aˆ S
et
=  Aˆ , Hˆ  ( t )
Hˆ S
af
Ψ0
:
Théorème d’Ehrenfest
dépendent de
t:
 ∂ Aˆ S ( t ) 
dAˆ H ( t )
= i= 
i=
 +  Aˆ H ( t ) , Hˆ H ( t ) 
 ∂t 
dt


H
avec pour tous les opérateurs
Aˆ H ( t ) = Uˆ † ( t ) Aˆ SUˆ ( t )
Valeur moyenne → théorème d’Ehrenfest généralisé.
D. Marchand