Fonctions holomorphes et dynamique complexe `a

Fonctions holomorphes et dynamique
complexe à plusieurs variables
Td no 1
Thèmes : Application des formules de Cauchy, théorème de Hartogs, domaines de convergence.
Exercice 1 – Pour commencer.
Soit D ⊂ Cn un domaine connexe et f : D → C une fonction holomorphe non constante.
1. Si l’ensemble des zéros de f a un point d’accumulation, f est-elle nécessairement nulle?
2. Montrer que f est une application ouverte.
3. Donner les domaines de convergence des séries suivantes:
X
X n1
X
(z1 z2 )n ,
z1n1 z2n2 ,
z n1 z n2
n2 ! 1 2
n1 ,n2 >0
n>0
n1 ,n2 >0
Exercice 2
Soit (fk : D → C) une suite de fonctions holomorphes sur domaine D ⊂ Cn . On suppose
que (fk ) admet une limite f pour la norme L1 . Montrer que f est holomorphe (ie qu’il existe un
représentant de f holomorphe) et que la convergence est localement uniforme.
Exercice 3
Soit f la fonction sur la boule unité B ⊂ Cn définie par f (z) = − log(1 − ||z||2 ). Calculer
¯ puis i∂ ∂f
¯ ; montrer que les coefficients aij (z) de cette dernière forme définissent une matrice
∂f
hermitienne H(z) qui est définie positive pour tout z ∈ B.
Exercice 4
Soit D ⊂ Cn un domaine connexe contenant 0 et f : D × D → C une fonction holomorphe. On
suppose que pour tout z ∈ D suffisamment proche de 0, on a f (z, z̄) = 0. Montrer que f ≡ 0.
Exercice 5 – Le bidisque et la boule unité de C2 ne sont pas biholomorphes.
On note ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} et B = {(z1 , z2 ) ∈ C2 ; |z1 |2 + |z2 |2 < 1}. On suppose par
l’absurde qu’il existe un biholomorphisme f : ∆ × ∆ → B.
1. Soit (zn ) une suite de ∆ telle que |zn | → 1. Justifier que la suite de fonctions ∆ 3 w 7→
f (zn , w) converge uniformément sur les compacts de ∆ vers une fonction holomorphe ϕ :
∆ → B̄.
2. Déterminer l’image de ϕ, et en déduire que ϕ est constante.
3. Conclure.
Exercice 6 – Un théorème de H. Cartan.
Soit Ω un domaine borné de Cn , et f : Ω → Ω holomorphe. On suppose qu’il existe z0 ∈ Ω tel
que f (z0 ) = z0 et dfz0 = id. On veut montrer qu’alors f = id.
1. En raisonnant par l’absurde, relier le développement asymptotique de f j à celui de f (en
z0 ). Conclure.
2. Trouver un contre-exemple si on ne suppose plus Ω borné.
H. Guenancia
Fimfa, 2013-2014
3. Soient Ω1 et Ω2 deux domaines bornés et circulaires de Cn (ie stables par l’action du tore
S1 sur Cn donnée par eiθ · z := (eiθ z1 , . . . , eiθ zn )) contenant 0. Montrer alors que tout
biholomorphisme f : Ω1 → Ω2 fixant l’origine est linéaire.
4. Déduire de la question précédente que leP
polydisque {z ∈ Cn ; ∀i, |zi | < 1} n’est pas biholon
morphe à la boule euclidienne {z ∈ C ;
|zi |2 < 1}.
Exercice 7 – Exemples de groupes d’automorphismes holomorphes.
Soit Ω un domaine de Cn , on désigne par Aut(Ω) le groupe des biholomorphismes de Ω.
1. Déterminer Aut(C) et Aut(C \ {0}).
2. Est-il vrai que Aut(C2 ) ' Aut(C) × Aut(C)?
3. Soit D le disque unité de C. Montrer que Aut(D) = {z 7→ ω ·(z −a)/(1− āz); a, ω ∈ C, |ω| =
1, |a| < 1}.
4. En utilisant le théorème de Cartan, déterminer le groupe d’automorphismes de la boule
euclidienne de C2 . On considérera pour cela les transformations
!
p
1 − |a|2 z2
z1 − a
,
Ta : (z1 , z2 ) 7→
1 − āz1
1 − āz1
avec a ∈ D (et on vérifiera que l’inverse est donné par Ta ).
5. Déterminer Aut(Ω) pour Ω = {(z1 , z2 ) ∈ C2 ; 0 < α2 < |z1 |2 + |z2 |2 < 1} avec α ∈]0, 1[.
6. Montrer que le groupe d’automorphismes du bidisque D2 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 ; |z1 | < 1, |z2 | <
1} est engendré par Aut(D) × Aut(D) et les transformations (z1 , z2 ) 7→ (ω1 z1 , ω2 z2 ) – avec
|ω1 | = |ω2 | = 1– ainsi que (z1 , z2 ) 7→ (z2 , z1 ).
7. En déduire que D2 n’est pas biholomorphe à la boule euclidienne de C2 .
Exercice 8 – Régions de convergence.
Rappelons qu’on appelle région de convergence d’une série l’intérieur de l’ensemble des points
de convergence de la série.
1. Donner un exemple de série en deux variables où il y a des points de convergence qui ne
soient pas dans la région de convergence.
2. Soit f une fonction holomorphe sur le polydisque D(0, R) = {z ∈ Cn , ∀i, |zi | < R}. Rappeler
pourquoi le rayon de convergence de la série associée à f est au moins égal à R.
3. Soit Ω la région de convergence d’une série. Montrer que Ω∗ := {(log |z1 |, . . . , log |zn |); z ∈
Ω} est convexe.
4. Donner un exemple de domaine de C2 qui soit un domaine de Reinhard complet mais pas
logarithmiquement convexe.
Exercice 9 – Jacobien complexe.
Soit U ⊂ Cn un ouvert, et f : U → Cn une fonction holomorphe. On désigne par JC f =
(∂fi /∂zj )16i,j6n la matrice jacobienne complexe de f , et par JR f la matrice jacobienne réelle
de f , c’est-à-dire la matrice de la différentielle de f vue de U ⊂ R2n → R2n via l’identification
naturelle de C à R2 . Montrer qu’on a la formule suivante:
det(JR f ) = | det(JC f )|2 .
2
Td no 2
Thèmes : Théorèmes de prolongements, variétés complexes, variétés projectives, éclatements.
Exercice 10 – Théorème d’extension de Riemann L2 .
Soit D un domaine de Cn , A un ensemble analytique (strict) de D, ef f : D \ A → C une
fonction holomorphe qui soit localement dans L2 près de A. On veut montrer qu’alors f s’étend à
D tout entier.
1. Traiter d’abord le cas unidimensionnel.
2. Se ramener au cas où l’ensemble analytique est égal aux zéros d’un polynôme de Weierstrass.
3. Considérer la fonction
F : (z 0 , zn ) 7→
1
2iπ
Z
|ζ|=δn
f (z 0 , ζ)dζ
ζ − zn
sur un domaine approprié. Montrer que F = f hors de A; conclure.
4. En déduire que D \ A est connexe.
Exercice 11 – Applications holomorphes propres.
Soit Ω ⊂ Cn un ouvert avec n > 2. Montrer qu’il n’existe pas d’application holomorphe propre
f : Ω → W où W ⊂ C est un domaine du plan complexe.
Exercice 12 Montrer que toute quadrique projective non dégénérée dans P2 est isomorphe à
Q = {[x : y : z] ∈ P2 , xz = y 2 }, puis que Q est biholomorphe à P1 .
Exercice 13 – Éclatements.
Le but de l’exercice est de compléter la preuve du cours montrant que l’application d’éclatement
ne dépend pas des coordonnées. Il reste à prouver l’énoncé suivant:
Soient U, U 0 deux voisinages de 0 ∈ Cn , π : Û → U (resp. π 0 : Û 0 → U ) l’application
d’éclatement de 0 ∈ U (resp. 0 ∈ U 0 ) et A ∈ GLn (C). Montrer que A se relève en une application
biholomorphe  : Û → Û 0 telle que A ◦ π = π 0 ◦ Â.
Exercice 14
e = BlZ (X). Montrer que π : X
e −→
Soit X une variété complexe, Z ⊂ X une sous-variété, et X
X induit un isomorphisme au niveau des espaces de fonctions holomorphes.
Exercice 15 – Tores complexes de dimension 1.
1. Soit Γ un réseau de C. Montrer qu’il existe τ ∈ H = {z ∈ C, Im z > 0} tel que C/Γ est
isomorphe à C/Λτ , où Λτ := C/(Z + τ Z).
a b
+b
2. Soit τ ∈ H , g =
∈ SL2 (Z) et τ 0 = g · τ := aτ
cτ +d . Montrer que les tores C/Λτ et
c d
C/Λτ 0 sont isomorphes.
3. Soient τ, τ 0 ∈ H , et f : C/Λτ −→ C/Λτ 0 un biholomorphisme. Montrer qu’il existe
g ∈ SL2 (Z) tel que τ 0 = g · τ .
Exercice 16 – Eclatements de courbes.
3
e la transformée stricte de X par
1. Soit X = {y 2 = x3 } la courbe cuspidale dans C2 , et X
l’éclatement de C2 en l’origine. Montrer que l’application d’éclatement induit une bijection
e puis que X
e est isomorphe à C.
entre les X et X,
2. Soit X = {x3 = y 2 +x4 +y 4 } ⊂ C2 . Montrer que la transformée stricte de X par l’éclatement
de C2 en l’origine est lisse. Faire de même pour la courbe {xy = x6 + y 6 }.
Exercice 17 – Eclatements de surfaces.
1. Éclater en l’origine la surface X = {x2 + y 3 + z 3 = 0} ⊂ C3 . Déterminer la transformée
stricte de la surface, puis l’intersection de cette dernière avec le diviseur exceptionnel.
2. Pour n > 1, on note An la surface de C3 donnée par x2 + y 2 + z n+1 = 0. On éclate
l’origine de C3 , et on note Xn la transformée stricte de An puis E le diviseur exceptionnel
de l’éclatement. Déterminer les équations locales de Xn , décrire Xn ∩ E, puis montrer que
X1 est lisse.
Exercice 18 – Point double ordinaire.
Soit X = {xy = zt} ⊂ C4 . Soit π1 : X1 → X (resp. π2 : X2 → X) l’éclatement de X en 0 (resp.
le long du plan {y = z = 0}). Montrer que X1 et X2 sont lisses, et calculer le lieu exceptionnel de
π1 et π2 . Que remarque-t-on?
4
Td no 3
Thèmes : Ensembles analytiques.
Exercice 19 – Fonctions entières dans Lp .
1. Que peut-on dire d’une fonction holomorphe f : Cn → C telle que f ∈ Lp (Cn ) pour un
certain 1 6 p < +∞?
2. Et dans le cas p = +∞?
Exercice 20 – Arithmétique sur les anneaux de fonctions holomorphes.
1. Montrer que l’anneau des fonctions entières O(C) n’est pas noethérien. En particulier, O(C)
n’est donc pas factoriel.
2. Soit f (z, w) = z 2 − w2 (1 − w); montrer que f est irréductible dans C[z, w] mais pas dans
l’anneau C{z, w} des série convergentes (en 0).
Exercice 21 – Exemples d’ensembles analytiques.
On définit les ensembles analytiques suivants: A1 = {(z, w) ∈ C2 ; z 2 − w3 = 0}, A2 = {(z, w) ∈
C ; zw = 0}, B = {(z1 , z2 , z3 )) ∈ C3 ; z32 − z1 z2 = 0}, puis C = {(z, w) ∈ C2 \ ({0} × C) ; w = e1/z }.
2
1.
2.
3.
4.
5.
Déterminer le lieu singulier de chacun de ce ces ensembles analytiques.
Montrer que A1 est homéomorphe à C.
Utiliser l’exercice 22 pour montrer que B est irréductible.
Montrer que B n’est pas localement euclidien en 0.
Déterminer l’adhérence C de C dans C2 .
Exercice 22 – Un critère d’irréductibilité.
1. Soient A et B des composantes irréductibles d’un ensemble analytique X. Montrer que tous
les points de A ∩ B sont des points singuliers de X.
2. En déduire qu’un ensemble analytique dont l’ensemble des points réguliers est connexe est
irréductible.
5
Td no 4
Thèmes : Éclatements, polynômes de Weierstrass minimaux, théorème de prolongement CR.
Exercice 23 – Résolution du cusp.
e la transformée stricte de X par
Soit X = {y 2 = x3 } la courbe cuspidale dans C2 , et X
2
−1
e
l’éclatement de C en l’origine (ie X := π (X \ {0}) si π : Bl0 (C2 ) → C2 est l’application
d’éclatement).
e puis que X
e est isoMontrer que l’application d’éclatement induit une bijection entre X et X,
morphe à C.
Exercice 24 – Polynôme de Weierstrass minimal d’une hypersurface.
Soit H = {h = 0} une hypersurface complexe dans Dn (0, r) = Dn−1 (0, r0 ) × D(0, rn ). Le but
de l’exercice est de montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire Pmin (z) en zn à coefficients
holomorphes sur Dn−1 (0, r0 ) tel que toute fonction holomorphe f s’annulant sur H est un produit
de Pmin et d’une fonction holomorphe sur Dn (0, r).
1. Soit F l’ensemble des polynômes de Weierstrass unitaires nuls sur H. Trouvez un candidat
naturel Pmin ∈ F , puis justifiez qu’il suffit de prouver l’énoncé pour f qui soit un polynôme
P ∈ F.
2. On travaille désormais dans l’anneau des polynômes en zn à coefficients dans le corps M des
fonctions méromorphes sur ∆n−1 (0, r0 ) (définies comme les quotients de fonctions holomorphes). Montrez que le polynôme R unitaire défini comme le plus grand commun diviseur de
P et Pmin ) est à coefficients holomorphes bornés en dehors d’un certain ensemble analytique
A ⊂ ∆n−1 (0, r0 ).
3. En déduire que R ∈ F , puis conclure.
Exercice 25 – Théorème de prolongement CR.
Soit D un domaine borné dans Cn , n > 2. On suppose que le bord ∂D du domaine est d’une
part connexe, et d’autre part de classe C 1 , et on se donne une fonction f ∈ C 1 (∂D) satisfaisant les
conditions de Cauchy-Riemann (CR): cela signifie que pour tout champ de vecteur v ∈ T 0,1 (∂D),
on a v(f ) = 0. Rappelons que si r est une fonction définissant localement le P
bord de D, alors
n
T 0,1 (∂D) ⊂ T 0,1 (Cn ) est défini comme l’ensemble des champs de vecteurs v = i=1 ai ∂/∂ z̄i tels
que dr(a) = 0. Le but de l’exercice est d’étendre f en une fonction continue sur ∂D et holomorphe
sur D.
1. Prouver l’énoncer dans le cas où f est la restriction d’une fonction holomorphe définie sur
un voisinage du bord.
2. Montrer qu’on peut étendre f en une fonction f˜ définie sur un voisinage U de ∂D satisfaisant
∂¯f˜(z) = 0 pour tout point z ∈ ∂D.
3. En utilisant le noyau de Bochner-Martinelli, montrer que f peut être continûment étendue
en une fonction holomorphe sur D. On pourra dans un premier temps appliquer la formule
de BM pour une fonction constante bien choisie, puis utiliser l’estimée suivante admise:
Z
|BM (ζ, z + εnz ) − BM (ζ, z − εnz )| dσ(ζ) 6 C
∂D
6
où on a choisi z un point du bord, nz un vecteur normal à ∂D en z, et la constante C ne
dépendant pas du point z choisi ni de ε > 0 tant que z reste dans un petit voisinage d’un
point du bord donné et que ε n’est pas trop grand.
Exercice 26 – Encore des éclatements.
Soit X = {x3 = y 2 + x4 + y 4 } ⊂ C2 . Montrer que la transformée stricte de X par l’éclatement
de C2 en l’origine est lisse. Faire de même pour la courbe plane {xy = x6 + y 6 }.
Exercice 27 – Résolution des cônes affines.
Soit p : Cn+1 \ {0} −→ Pn la surjection canonique. A toute variété projective X ⊂ Pn , on
associe le cône affine C(X) = p−1 (X) ∪ {0} ⊂ Cn+1 .
1. On se donne X projective lisse. Montrer que l’éclaté du cône C(X) en 0 est lisse.
2. Identifier le lieu exceptionnel de l’éclatement.
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Td no 5
Thème : Courants.
Exercice 28 – Équation de Lelong-Poincaré en dimension 1.
1. Montrer que, au sens des courants, ∂ log |z|2 = dz/z sur C.
i
2. En déduire que 2π
∂ ∂¯ log |z|2 = δ0 .
Exercice 29 – Calcul du Monge-Ampère de log ||z||2 .
¯ est positif. On suppose que ϕ est lisse en dehors de l’origine
Soit ϕ ∈ L1loc (Cn ) telle que i∂ ∂ϕ
et que ϕ tend vers +∞ en l’infini. Pour tout r ∈ R, on note B(r) = {z ∈ Cn ; ϕ(z) < r}. Soit
χ : R → R une fonction lisse convexe et croissante.
¯ ◦ ϕ) est positif.
1. Montrer que i∂ ∂(χ
2. On introduit χε la fonction continue étant affine de pente χ0 (r − ε) sur ] − ∞, r − ε] et valant
χ sur [r − ε, +∞[. En utilisant la formule de Stokes, montrer que
Z
Z
¯ ◦ ϕ))n > χ0 (r − ε)n
¯ n
(i∂ ∂(χ
(i∂ ∂ϕ)
B(r)
B(r−ε)
3. En déduire que
Z
¯ ◦ ϕ))n = χ0 (r)n
(i∂ ∂(χ
B(r)
4. Conclure que
i
¯
2π ∂ ∂ log ||z||
2 n
Z
¯ n
(i∂ ∂ϕ)
B(r)
= δ0 .
Exercice 30 – Courants à petit support.
Soit U ⊂ Rn un ouvert, et T un courant de degré p sur U tel que T et dT soient d’ordre 0 et à
support dans une sous-variété S de codimension réelle m. Montrer que:
1. Si m > p, alors T = 0.
2. Si m = p, alors T est de la forme T = a[S] où a est une fonction L1loc sur S. Si de plus
dT = 0, alors a est localement constante.
Exercice 31 – Courants résiduels.
Soit Y ⊂ D(0, 1) une hypersurface du polydisque unité de Cn donnée par {h = 0}, où h est
une fonction holomorphe sur D telle que ∂h ne s’annule pas sur Y . On note dVY la mesure sur Y
induite par la forme volume de Y ⊂ (D, | · |eucl ).
1. Montrer que localement, on peut se ramener à la situation Y = {z1 = 0} et h = f z1 où f
est une fonction holomorphe sur D ne s’annulant pas sur Y .
2. Montrer que la fonction 1/h est localement intégrable.
3. Montrer que
i∂h ∧ ∂h
dVY
[Y ] =
|∂h|2
8
4. Établir la formule suivante :
∂¯
∂h
1
dVY .
= 2π
h
|∂h|2
Exercice 32 – Métrique de Poincaré.
On note D∗ := D \ {0} le disque unité épointé de C, et on note X = (D∗ )n . On considère la
fonction ϕ définie sur X par
n
X
1
ϕ(z) = −
log log2
|zk |2
k=1
1. Montrer que ϕ est psh.
¯ Montrer que ω s’étend en un courant positif fermé sur Dn .
2. Calculer ω := i∂ ∂ϕ.
3. Montrer que i∂ ∂¯ log det(ωij ) = ω sur X.
9
Td no 6
Thème : Fonctions sous-harmoniques.
Exercice 33 – Le cercle n’est pas polaire.
Montrer que S1 = {z ∈ C, |z| = 1} n’est pas l’ensemble des pôles d’une fonction sousharmonique sur C.
Exercice 34 – Détermination presque partout.
Soit u une fonction sous-harmonique sur un ouvert de Rn . Montrer que u est entièrement
déterminée par sa donnée presque partout. Autrement dit, deux fonctions sous-harmoniques égales
presque partout sont égales.
Exercice 35
Soit u une fonction sous-harmonique sur un ouvert Ω de Rn . Montrer que la distribution ∆u
est une mesure de Radon positive, et que de plus pour tous compacts K, L de Ω tels que K ⊂ L̊,
il existe une constante C indépendante de u telle que
||∆u||K 6 C||u||L1 (L)
Exercice 36 – Théorème de Liouville pour les fonctions sous-harmoniques.
Soit u une fonction sous-harmonique sur C. Montrer que si u est majorée, alors nécessairement
u est constante (indication: on pourra introduire la fonction u − ε log |z| et appliquer judicieusement le principe du maximum).
Exercice 37 – Potentiel de Newton.
Soit n > 3 un entier. Calculer au sens des distributions sur Rn le laplacien de la fonction
x 7→ |x|2−n .
10
Td no 7
Thèmes : Fonctions harmoniques et sous-harmoniques.
Exercice 38 – Exposant d’intégrabilité.
Soit F une famille de fonctions sous-harmoniques sur un domaine Ω de R2 . On suppose que
F est bornée dans L1loc , et on se donne un compact K b Ω. On veut montrer qu’il existe des
constantes α > 0 et C > 0 dépendant seulement de K telles que
Z
eα|u| dV 6 C pour toute u ∈ F
K
1. Montrer qu’on peut supposer que Ω est borné, que la masse de ∆u est inférieure à 1 et que
toutes les u ∈ F sont négatives.
R
1
log |x − y| dµ(y). Montrer que u − uµ est harmonique et
2. Soit µ = ∆u, et uµ : (x) = 2π
y∈Ω
bornée sur K uniformément.
R
3. Borner uniformément l’intégrale x∈K |x − y|−1 dV et conclure.
Exercice 39 – Enveloppe supérieure.
Soit Ω ⊂ Rn un ouvert, et u une fonction sur Ω. On définit
u∗ (z) := lim sup u
ε→0 B(0,ε)
1. Montrer que u∗ est la plus petite fonction scs qui est supérieure à u.
2. Soit (un ) une suite de fonctions sous-harmoniques localement uniformément majorées sur
Ω, et u := sup un . Montrer que u∗ est sous-harmonique et égale à u presque partout.
Exercice 40 – Prolongement des fonctions sous-harmoniques localement majorées.
Soit Ω un ouvert de Rn , A un ensemble polaire fermé de Ω, et u une fonction sous-harmonique
définie sur Ω \ A et localement majorée près de A.
1. Montrer que u se prolonge de manière unique à Ω (on pourra utiliser l’exercice 39).
2. En déduire qu’une fonction holomorphe sur Ω\A et localement bornée près de A se prolonge
en une unique fonction holomorphe sur Ω.
Exercice 41 – Théorème de Radó.
Soit f une fonction continue sur un ouvert Ω ⊂ Cn . On suppose que f est holomorphe sur
l’ouvert U := {z ∈ Ω, f (z) 6= 0}. Montrer qu’alors f est holomorphe sur Ω tout entier (indication:
on pourra commencer par montrer que log |f | est sous-harmonique sur Ω).
Exercice 42 – Théorème d’Osgood.
Soit Ω un domaine de Cn et f : Ω → Cn une application holomorphe injective. On veut prouver
∼
que f est un biholomorphisme Ω −→ f (Ω).
1. Montrer qu’il suffit de prouver que le déterminant de la jacobienne complexe n’est jamais
nul.
2. Montrer que ce déterminant n’est pas identiquement nul.
11
3. Montrer que quitte à restreindre le domaine, on peut supposer que f est propre.
4. Conclure (indication : on pourra utiliser le théorème de Radó, cf. exercice 41).
Exercice 43 – Inégalité de Harnack.
Soit Ω un ouvert de Rn , et u une fonction harmonique sur Ω. On se donne une boule B̄(0, r) ⊂ Ω.
Par ailleurs, on note µS (u, 0, r)R la moyenne de u sur la sphère S(0, r) munie de sa mesure normalisée, ie µS (u, 0, r) = σn−11rn−1 S(0,r) u(x)dσ(x), où dσ est la mesure de Lebesgue de la sphère, et
σn−1 est le volume (ou surface) de la sphère unité dans Rn .
1. Si u > 0 sur B(0, r), montrer que pour tout x ∈ B(0, r), on a
u(x) 6
rn−2 (r + |x|)
µS (u, 0, r)
(r − |x|)n−1
2. Si u 6 0 sur B(0, r), montrer que pour tout x ∈ B(0, r), on a
u(x) 6
rn−2 (r − |x|)
µS (u, 0, r)
(r + |x|)n−1
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Td no 8
Thèmes : Convexité holomorphe, fonctions psh, estimées de Hörmander.
Exercice 44 – Les ensembles de sous-niveau sont holomorphiquement convexes.
Soit X une variété pseudoconvexe de dimension n, et u une fonction exhaustive strictement psh
et lisse sur X. On veut montrer que pour tout c ∈ R, le compact {u 6 c} est holomorphiquement
convexe. Pour cela, on commence par fixer a ∈ X tel que u(a) > c.
1. Montrer qu’il existe une fonction v sur X, lisse en dehors de a, telle que v = 2n log |z − a|2
dans un (petit) voisinage ouvert de a trivialisant X et vérifiant que la fonction ϕ := v + Au
est psh sur X pour A suffisamment grand.
2. Conclure en utilisant les estimées de Hörmander avec le poids e−ϕ .
Exercice 45 – Approximation par des fonctions globalement définies.
Soit X une variété pseudoconvexe de dimension n, et K un compact holomorphiquement convexe de X. On veut montrer que pour toute fonction holomorphe f sur un voisinage de K et tout
ε > 0, il existe une fonction holomorphe fε définie sur X tout entier telle que
sup |f − fε | 6 ε
K
Pour ce faire, on considère un polyèdre analytique P contenant K, associé à une fonction
F = (f1 , . . . , fN ) et tel que f soit définie sur P . Pour tout δ > 0 suffisamment petit, on définit
Pδ := {z ∈ P, maxj |fj (z)| < 1 − δ}.
P
1. Montrer que pour tout γ > 0, la fonction ϕ := log(1 + j (1 − 2δ)−γ |fj |γ ) est psh sur X.
2. Soit ρ une fonction lisse à support dans P et valant 1 sur Pδ . En appliquant les estimées de
¯ = ∂(ρf
¯ ), conclure.
Hörmander avec le poids e−ϕ pour l’équation ∂h
Exercice 46 – Fonctions psh ne dépendant que de la partie réelle.
Soit u(z) une fonction psh sur Cn que ne dépend que de x = Re(z). Montrer que via l’injection
naturelle Rn → Cn , u|Rn : x 7→ u(x) est une fonction convexe.
Exercice 47 – Fonctions psh à symétrie radiale
On appelle fonction radiale sur le polydique D(0, r) ⊂ Cn une fonction dont la valeur en
z = (z1 , . . . , zn ) ne dépend que des modules |z1 |, . . . , |zn |.
Soit maintenant ϕ une fonction psh radiale sur D(0, r). En utilisant l’exercice 46, montrer qu’il
existe une fonction f convexe et croissante en chacune de ses variables, définie sur ] − ∞, log r[n
telle que pour tout z = (z1 , . . . , zn ) ∈ D(0, r), on ait
ϕ(z) = f (log |z1 |, . . . , log |zn |)
Exercice 48
1. Soit Ω ⊂ Cn un ouvert connexe. Montrer qu’une fonction u est psh sur Ω si et seulement si
elle est sous-harmonique, et si u ◦ A le demeure au voisinage de 0 pour toute transformation
∗
complexe affine
telle que A(0) ∈ Ω (indication : on pourra utiliser, pour tout σ ∈ C , la
Λ
matrice
où Λ ∈ Cn \ {0}, et B ∈ Mn−1,n (C)).
σB
13
2. Trouver une fonction sous-harmonique u et une transformation linéaire A tels que u ◦ A ne
soit pas sous-harmonique.
Exercice 49 – Comportement de la moyenne sur les sphères.
Soit u une fonction psh sur un polydisque D ⊂ Cn centré en 0. On définit, pour un n-uplet
(convenable) (r1 , . . . , rn ) de réels positifs:
M (r1 , . . . , rn )
=
m(r1 , . . . , rn )
=
Z 2π
1
u(r1 eiθ1 , . . . , rn eiθn ) dθ1 · · · dθn
(2π)n 0
sup
u(z)
z∈D(r1 ,...,rn )
R 2π
1
En considérant les fonctions de z suivantes: (2π)
u(ez1 eiθ1 , . . . , ezn eiθn ) dθ1 · · · dθn ainsi que
n
0
z1
zn
sup|wk |61 u(e w1 , . . . , e wn ), montrer que M et m sont des fonctions convexes et croissantes (en
chacune de leurs variables) de (log r1 , . . . , log rn ). On pourra utiliser l’exercice 46.
14
Td no 9
Thèmes : Pseudoconvexité, fonctions psh, estimées de Hörmander.
Exercice 50 – Convexité et pseudoconvexité.
Soit Ω un ouvert convexe borné de Cn .
1. Montrer qu’une fonction convexe sur Ω est également psh.
2. En déduire que Ω est pseudoconvexe.
3. Montrer que la fonction u : z 7→ − log(d(z, ∂Ω) n’est pas psh pour le domaine Ω = C2 \ {0}.
Exercice 51 – Théorème d’Ohsawa-Takegoshi.
Le but de cet exercice est de montrer le résultat d’extension suivant:
Soit X une variété de Stein, et Y ⊂ X une sous-variété stricte définie par des équations {g1 =
· · · = gr = 0} pour des fonctions gi holomorphes sur X, et enfin f une fonction holomorphe définie
sur un voisinage (ouvert) U de Y dans X. Alors il existe F une fonction holomorphe sur X telle
que F|Y = f .
1. Montrer que f admet un prolongement f˜ ∈ C ∞ (X).
2. Montrer qu’il existe une fonction psh ψ sur X telle que {ψ = −∞} = Y , ψ est lisse en
dehors de Y , et e−ψ n’est pas intégrable au voisinage des points de Y .
3. Conclure en résolvant une équation ∂¯ bien choisie.
Exercice 52 – Cohérence des idéaux multiplicateurs.
Soit ϕ une fonction psh sur le polydisque unité D de Cn . On considère l’idéal I des fonctions
holomorphes sur D telles que f e−ϕ ∈ L2loc (D), ainsi que le sous-espace J ⊂ I des fonctions
holomorphes sur D telles que f e−ϕ ∈ L2 (D). On veut montrer que I = J .
1. En utilisant le lemme de Krull (exercice 53), montrer qu’il suffit de vérifier pour tout x ∈ D
et tout entier s qu’on a l’égalité
Jx + Ix ∩ ms+1
= Ix
x
R
2. Soit x ∈ D et u une fontion holomorphe sur D telle que D |u|2 /|z − x|−2(n+s) dV < +∞.
Montrer que u ∈ ms+1
x .
3. Conclure en utilisant une fonction tronquante appropriée ainsi que les estimées de Hörmander avec un poids de type A log |z − x|.
Exercice 53 – Lemme de Krull.
Soit A un anneau local noethérien (”local” signifie que A a un unique idéal maximal m).
1. [Lemme de Nakayama] Soit E un A-module de type fini tel que mE = E. Montrer que
E = {0}. (indication: on pourra raisonner par récurrence sur le nombre de générateurs)
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2. [Lemme de Krull] Soit F un A-module de type fini, et E un sous-module. Montrer que
∩k>0 mk F = {0} puis que plus généralement,
\
(E + mk F ) = E.
k>0
Exercice 54 – Idéaux multiplicateurs dans le cas monomial.
Soient α ∈ R,Pet (αj ) des nombres réels strictement positifs. Caractériser les fonctions holomorphes f (z) = aβ z β sur D(0, 1)n ⊂ Cn telles que
Z
I=
D(0,1)n
(|z1 |2α1
|f (z)|2
dV (z) < +∞
+ · · · + |zp |2αp )α
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Td no 10
Thème : Dynamique autour d’un point fixe, ergodicité.
Exercice 55 – Théorème de Böttcher.
Soit f : (C, 0) → (C, 0) un germe d’application holomorphe tel que
f (z) = z p (a0 + a1 z + · · · ) = z p (a0 + F (z))
avec a0 6= 0 et p > 2. On veut montrer qu’il existe un germe d’application holomorphe inversible
h : (C, 0) → (C, 0) tel que h ◦ f ◦ h−1 (z) = z p .
1. Montrer qu’on peut se ramener au cas où a0 = 1.
2. Soit W le disque de centre 1 et de rayon 1/2. Soit z 1/N la branche principale de la racine
N -ième sur W , N > 1. Montrer qu’on a
|z 1/N − 1| <
1
N
pour tout z ∈ W .
3. Construire des germes gn sur un même disque D tels que
gn (0) = 1
et gn (z)p
n+1
= 1 + F (f n (z)).
4. Montrer que les produits hn (z) = zg0 (z) · · · gn (z) convergent uniformément sur D vers une
fonction holomorphe h satisfaisant
h(f (z)) = h(z)p .
Conclure.
Exercice 56 – Ergodicité
Soit f : C → C un polynôme de degré d > 2. On considère une mesure de probabilité ν à
support compact dans C et invariante par f . Montrer l’équivalence entre les points suivants:
1. ν est ergodique.
2. ν(B) ∈ {0, 1} pour tout borélien B totalement invariant.
3. Pour tous boréliens A et B, on a
N −1
1 X
ν(f −n (A) ∩ B) = ν(A)ν(B).
N →+∞ N
n=0
lim
4. Toute fonction ϕ dans L1 (ν) (resp. L2 (ν), L∞ (ν) ou mesurable) vérifiant ϕ◦f = ϕ ν-presque
partout, est constante ν-presque partout.
5. Pour toutes fonctions ϕ, ψ dans L2 (ν) (resp. bornées, continues ou lisses), on a
Z
Z
N −1 Z
1 X
(ϕ ◦ f n )ψdν =
ϕdν
ψdν .
N →+∞ N
n=0
lim
17
Exercice 57
Soient D un ouvert connexe de C, K un compact de D, et f une fonction holomorphe injective
sur D. Montrer qu’il existe une constante C > 0 indépendante de f telle que:
diam(f (K)) 6 C· aire(f (D))1/2 .
Exercice 58
Soit k > 2 un réel. Montrer que l’ensemble des λ sur le cercle unité vérifiant
lim inf nk |λn − 1| = 0
n→+∞
est de mesure de Lebesgue nulle.
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Td no 11
Thème : Ergodicité.
Exercice 59
Soit ν une mesure sur un domaine de Cn à potentiels locaux bornés (resp. continus). Si ν 0
est une mesure plus petite ou égale à ν, montrer que les potentiels locaux de ν 0 sont bornés (resp.
continus).
Exercice 60 – Théorème ergodique de Birkhoff.
Le but de l’exercice est de démontrer le théorème suivant:
Soit f un polynôme de degré d > 2 sur C, et ν une mesure invariante ergodique de probabilité.
Soit ϕ ∈ L1 (ν); alors pour ν-presque tout z ∈ C, on a
Z
N −1
1 X
n
ϕ(f (z)) −→ ϕdν
N n=0
PN −1
Pour ce faire, on pose Φ0 = 0 et ΦN = n=0 ϕ(f n (z)) pour tout N > 1.
1. Montrer qu’on peut se ramener au cas où ϕ est bornée. On définit alors
ψ ∗ := lim sup
N →+∞
ΦN
N
∗
2. Montrer que
R ψ est constant ν-presque partout, et expliquer pourquoi il suffit de montrer
∗
que ψ = ϕdν.
3. A présent, on raisonne par l’absurde, et on translate ϕ d’une constante à déterminer par la
suite. On pose ΨN = max{Φ0 , . . . , ΦN }, et AN = {ΨN > 0}. Montrer que ϕ > ΨN −ΨN ◦f
sur AN , et conclure.
Exercice 61 – Quelques applications.
On se convaincra au préalable que le théorème de Birkhoff vaut pour toute transformation
f : X → X d’un espace de probabilité (X, ν) où ν est ergodique et f -invariante.
1. Montrer que pour presque tout x ∈ [0, 1], le nombre moyen de zéros dans l’écriture décimale
de x est 1/10 (indication: on pourra commencer par comprendre ce qu’il se passe en base
deux)
2. Soit ν une mesure ergodique comme dans l’exercice (60) et A un borélien.
Pour tout z ∈ C
et tout N ∈ N, on note TN (z, A) = # k ∈ J0, N − 1K; f k (z) ∈ A . Montrer que pour
ν-presque tout z ∈ C, on a
TN (z, A)
lim
= ν(A)
N →+∞
N
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Td no 12
Thème : Ergodicité, entropie.
Exercice 62 – Minoration de l’exposant de Lyapounov.
Soit f un polynôme de degré d > 2 sur C, et µ la mesure d’équilibre associée. Le but de
l’exercice est de montrer l’inégalité
Z
log |f 0 | dµ > log d
1. En utilisant un changement de coordonnées, montrer qu’on peut supposer f unitaire.
2. A l’aide du théorème de Böttcher, exhiber une application holomorphe inversible h d’un
voisinage de l’infini vers un voisinage de l’origine telle que h ◦ f ◦ h−1 (w) = wd . En déduire
la fonction de Green de f .
3. Pour r proche de 0, on pose Gr = min(G, − log r). Calculer ddc Gr .
4. En déduire que
Z
Z
X
0
log |f | dµ =
Gr (c) + (d − 1) log r + log |f 0 | dµr
c critique
où µr est la mesure de Haar sur le cercle {|w| = r} dans la coordonnée w = h(z). Conclure
en faisant tendre r vers 0.
5. Caractériser les applications f dont l’exposant de Lyapounov est minimal égal à log d.
Exercice 63 – Rotations ergodiques.
Soit a un nombre complexe de module 1, et f : z 7→ az agissant sur le disque unité de C. La
mesure de Lebesgue du disque est-elle ergodique pour la transformation f ?
Exercice 64 – Mesure d’équilibre.
Déterminer la mesure d’équilibre associée à f : z 7→ z d , avec d > 2.
Exercice 65 – Dynamique du shift.
P
Soit X = {0, 1}N , qu’on munit de la distance d(x, y) = n>1 2−n |xn − yn |.
1. Montrer que (X, d) est un espace métrique compact.
2. On définit T : X → X par T (x)n := xn+1 pour tout n > 1. Montrer que T est continue,
puis montrer que l’entropie topologique de (X, T ) est égale à log 2.
3. Soit µ la mesure sur X définie par µ({xp = εp , . . . , xq = εq }) = 2−(q−p+1) pour tous q > p
et εi ∈ {0, 1} arbitraires. Montrer que µ est invariante par T . Montrer que l’entropie hµ (T )
est minorée par log 2. Conclure.
4. Soit π : X → S1 l’application définie par
!
+∞
X
xn
π(x) = exp 2iπ
2n
n=1
Montrer que π conjugue T à z 7→ z 2 .
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Exercice 66
Soit f : D → D un automorphisme du disque unité de C n’admettant pas de point fixe. Montrer
que f n converge localement uniformément vers une constante de module 1.
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