Sujets de bac : Suites

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Sujets de bac : Suites
Sujet n°1 : Antilles – Guyane – juin 2006
Partie A
On considère les suites de points et définies pour tout entier naturel de la manière suivante : sur un axe
orienté ; donné en annexe, le point a pour abscisse 0 et le point a pour abscisse 12.
Le point est le barycentre des points pondérés ; 2 et ; 1 et le point est le barycentre des points
pondérés ; 1 et ; 3.
1) Sur le graphique, placer les points , , et .
2) On définit les suites et des abscisses respectives de points et . Montrer que .
On admet de même que .
Partie B
1) On considère la suite définie, pour tout entier naturel , par .
a. Montrer que la suite est géométrique. En préciser la raison.
b. Donner l’expression de en fonction de .
c. Déterminer la limite de la suite . Interpréter géométriquement ce résultat.
2)
a. Démontrer que la suite est croissante (on pourra utiliser le signe de ).
b. Etudier les variations de la suite .
3) Que peut-on en déduire quand à la convergence des suites et ?
Partie C
1) On considère la suite définie pour tout entier naturel par 3
Montrer que la suite est constante.
2) Déterminer la limite des suites et .
4 .
Sujet n°2 : Asie – juin 2007
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ; ; . L’unité graphique est 4 "#.
Soit $ un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit, pour tout entier naturel , la suite % de nombres complexes par :
% 0
(
&
% $% '
On note ) le point d’affixe % .
1) Calcul de % en fonction de et $.
a. Vérifier les égalités : % ' ; % $ 1' ; % $ $ 1'
b. Démontrer que, pour tout entier positif ou nul, % * +
,
*+
'
2) Etude du cas $ '.
a. Montrer que % 0.
b. Pour tout entier naturel , exprimer % en fonction de % .
c. Montrer que ) est l’image de ) par une rotation dont on précisera le centre et l’angle.
d. Représenter les points ) , ) , ) , ) et ) dans le repère ; ; .
3) Caractérisation de certaines suites % .
a. On suppose qu’il existe un entier naturel - tel que $. 1.
Démontrer que, pour tout entier naturel , on a l’égalité %. % .
b. Réciproquement, montrer que s’il existe un entier naturel - tel que, pour tout entier naturel , on ait
l’égalité %. % alors $. 1.
Sujet n°3 : Centres étrangers – juin 2005
1ère partie
On appelle / et 0 les deux fonctions définies sur l’intervalle 10; ∞1 par
/3 ln1
3 3 et 03 ln1
1) Etudier les variations de / et 0 sur 10; ∞1.
2) En déduire que pour tout 3 9 0, 3 :;
< ln1
3 < 3.
2ème partie
On se propose d’étudier la suite de nombres réels définie par :
3
1
et =1
>.
2
2
1) Montrer par récurrence que ? 0 pour tout entier naturel 9 1.
2) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel 9 1 :
1
1
ln ln =1
> ln =1
> @ ln =1
2
2
3) On pose A @
@
;
B
et C ;
B
.
A l’aide de la première partie, montrer que :
3
.
2
3 3
1
>
2
1
A C < ln < A
2
4) Calculer A et C en fonction de . En déduire les limites de A et C en ∞.
5) Etude de la convergence de la suite .
a. Montrer que la suite est strictement croissante.
b. En déduire que est convergente. Soit D sa limite.
c. On admet le résultat suivant : si deux suites et E sont convergentes et telles que < E
pour tout entier naturel , alors limHI < limHI E .
J
Montrer alors que K < lnD < 1 et en déduire un encadrement de D.
Sujet n°4 : France – septembre 2007
1) La suite est définie par : 2 et M
3
suite .
L
pour tout entier naturel .
a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan en annexe la droite d’équation
L
et le point de coordonnées 2; 0. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la
b. Démontrer que si la suite est convergente alors sa limite est D N.
c. Démontrer que pour tout entier naturel , on a : 9 .
N
2)
d. Etudier la monotonie de la suite et donner sa limite.
a. Soit un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :
O
.P
1
1
1
1
=1 > c'est‐à‐dire .
90
10
10
10
1
10
@
1
1
1
=1 >
10
90
10
b. La suite est définie par 1,2777 … 7 avec décimales consécutives égales à 7.
Ainsi 1,2 ; 1,27 et 1,277.
En utilisant le , démontrer que la limite de la suite est un nombre rationnel [ (c’est-à-dire le quotient de deux
entiers).
3) La suite et la suite sont-elles adjacentes ? Justifier.
On considère la suite définie par 5 et pour tout entier dans ], :+
^ +
.
^ On considère la fonction / définie sur _2; ∞1 par /3 : et alors on a / pour ` ].
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction / ainsi que la droite a d’équation M 3.
1)
a. Sur l’axe des abscisses, placer puis construire , et en laissant apparents les traits de
construction.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variations et sur la convergence de la suite ?
2)
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a 1 ? 0.
b. Valider par une démonstration les conjectures de la question 1b.
3) Pour tout entier naturel , on ose .
^ +
terme.
a. Démontrer que la suite est une suite arithmétique donc vous préciserez la raison et le premier
b. Exprimer puis en fonction de pour tout ` ].
c. En déduire la limite de la suite .
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
Sujet n°6 : Nouvelle Calédonie – novembre 2004
On considère les deux suites et définies, pour tout entier naturel , par :
4
3
(
(
b
b
2
2
1) Calculer ; ; et .
2) Soit la suite E définie pour tout entier naturel par E .
a. Montrer que la suite E est une suite géométrique de raison .
b. Exprimer E en fonction de et préciser la limite de la suite E .
3) Après avoir étudié le sens de variation des suites et , démontrer que ces deux suites sont
adjacentes. Que peut-on en déduire ?
4) On considère à présent la suite c définie, pour tout entier naturel , par c a. Démontrer que la suite c est constante.
b. En déduire la limite des suites et .
d ^
.
Correction sujets de bac : Suites
Sujet n°1 : Antilles-Guyane – juin 2006
Partie A
1)
A0
0
1
2
3
A1
4
5
A2
7
6
2) Par définition de , nous avons 2
3
1
2 3 3
B2
8
B1
9
10
B0
12
11
13
14
et en passant aux abscisses :
Partie B
1)
a. Pour ` ] :
5
3 2 3 9 8 4 5 5
5
12 4
3
12
12
12
J
Donc la suite est géométrique de raison et de premier terme 12.
J J b. Pour ` ] : , fg 12 , fg
2)
c. La raison de est strictement comprise entre 1 et 1 donc elle converge vers 0.
a. Pour ` ] :
+
d
or ? 0 car c’est une suite géométrique de raison et de premier terme
positif. Donc est croissante.
b. Pour ` ]
3
h0
4
4
4
Donc la suite est décroissante.
3) est croissante, est décroissante et la différence a pour limite 0 donc les suites et
sont adjacentes. On peut en déduire qu’elles convergent et qu’elles ont la même limite.
Partie C
1) Pour ` ] :
3 4 2 3 3 4 Donc la suite est constante et toujours égale à 3 4 48.
2) On note i la limite commune de et . Alors la suite converge vers 7i. Par unicité de la limite,
nous avons 7i 48 d’où i N
L
Sujet n°2 : Asie – juin 2007
1)
a. % $% ' '
% $%
% $%
' $'
' $$
' $
1'
1'
' $
$
1'
b. Par récurrence sur , on va montrer que % * +
,
*+
'.
Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang 0, c’est-à-dire que % Or $ 1 0 donc on a bien l’égalité.
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un rang , c’est-à-dire que % On veut montrer qu’elle est vraie au rang 1 c’est-à-dire que % *kl +
,
*+
*j +
*+
* +
,
*+
'. Or :
, '.
'.
% $%
'
$$ 1
,'
$1
'm
$ – $
$1
1o , ' $ – $ $ 1
$ 1
,' ,'
$1
$1
Conclusion : d’après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout , c’est-à-dire : % 2) Dans cette question $ '.
a. % *p +
,
*+
* +
*+
,'.
' d’après la question précédente et $ ' 1 donc % 0
b. Pour ` ] :
$
1
$ , $ 1
$ 1
% ,' ,' , ' % car $ 1
$1
$1
$1
c. Pour ` ] :
% $% ' r % '% '
) est l’image de ) par la rotation de centre Ω d’affixe t et d’angle u r % t v wx % t
Par identification, on doit donc avoir : v wx ' et t v wx t '
On en déduit u y
w
12z_ et t +w
+w
.
M2
) est l’image de ) par la rotation de centre Ω d’affixe 3)
w
1 M1
y
et d’angle .
A
a. On suppose que $. 1. Pour tout ` ] :
M3
M0
$
1
$ , $. 1
$ 1
0
,' ,' , ' %
%. $1
$1
$1
b. On suppose maintenant que pour tout ` ], %. % .
$. 1
$ 1
%. % r
,' , ' r $. 1 $ 1 car $ { 1
$1
$1
r $ |$. 1} 0 r $ 0 ou $. 1
Comme cette égalité est vraie pour tout ` ], elle est vraie en particulier pour 1 et alors la première possibilité
.
$ 0 est fausse. Finalement, $. 1 .
Sujet n°3 : Centres étrangers – juin 2005
1ère partie
1) / est la somme de deux fonctions définies et dérivables sur 10; ∞1 donc elle est dérivable sur 10; ∞1 et :
1
1 1 3
3
/ 3 1 1 3
1 3
1 3
Le dénominateur est clairement positif sur 10; ∞1 alors que le numérateur est clairement négatif. Donc /3 est
négatif pour tout 3 ` 10; ∞1 et / est décroissante.
0 la somme de deux fonctions définies et dérivables sur 10; ∞1 donc elle est dérivable sur 10; ∞1 et :
1
1 1 3 3 3
3
0 3 1 3 1 3
1 3
1 3
Le dénominateur et le numérateur sont clairement positif sur 10; ∞1 donc 03 est positif et 0 est croissante.
2) /0 0 et / est décroissante sur 10; ∞1 donc / est négative sur 10; ∞1.
00 0 et 0 est croissante sur 10; ∞1 donc 0 est positive sur 10; ∞1.
Ceci signifie que, pour tout 3 9 0,
ln1
3 3 < 0 et ln1
3 3
3
3
9 0 ou encore 3 < ln1
2
2
3 < 3
2ième partie
1) Montrons par récurrence sur ? 0 pour tout entier naturel 9 1.
Initialisation : montrons que la propriété est vraie au rang 1, autrement dit que ? 0.
Or donc la propriété est vérifiée au rang 1.
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un rang 9 1, autrement dit ? 0.
1
Montrons qu’elle est vraie au rang Or ? 0 et 1
kl
1, c’est-à-dire que 9 1.
9 1 donc, en multipliant membre à membre les deux inégalités (ce qui est autorisé car tout est
positif), on obtient : ? 0.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, ? 0 pour tout entier naturel 9 1.
2) Montrons par récurrence que ln ln f1
g
g
;
ln f1
@
ln f1
g
pour 9 1.
Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang 1, c’est-à-dire que ln ln f1
Or donc ln ln fg ln f1
g.
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un rang 9 1, c’est-à-dire
ln ln f1
ln ln f1
1
>
2
g
g
ln f1
ln f1
g
;
g
;
@
@
ln f1
ln f1
g et
g
montrons qu’elle est vraie au rang ln f1
kl
g.
1, c’est-à-dire
g Or
1
1
1
1
> @ ln =1
> ln =1
> ln ln =1
> ln m =1
2
2
2
2
ln Conclusion : d’après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout 9 1.
ln =1
ln =1
1
2
>o
3) En appliquant la 1ère partie pour 3 puis pour 3 ; , … et enfin pour 3 , on trouve :
1
1
1 1 1 = > < ln =1
><
2
2
2 2 2
1 1 1 1
1
= > < ln =1
>< 2
2 2
2
2
…
1 1 1 1
1
= > < ln =1
>< 2
2 2
2
2
En additionnant terme à terme toutes ces inégalités, on trouve :
1 1
1 1 1
1
1
1 1
1
@
= @
> < ln <
@
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
Ou encore :
1
A C < ln < A
2
4) A est la somme des 1er termes de la suite géométrique de 1er terme et de raison .
1 1 1 1 f2g
1
1 A ,
, m1 = > o , 2 1 = >
1
2
2
2
2
12
C est la somme des premiers termes de la suite géométrique de 1er terme et de raison .
1 1 1 f4g
1
1 4
1
1 C ,
, m1 = > o , m1 = > o
1
4
4
4
3
3
2
14
fg est le terme général d’une suite géométrique de raison qui est strictement compris entre 0 et 1 donc la limite
de fg en ∞ est 0.
On en déduit que A converge vers 1 et que C converge vers .
5) Pour 9 1 :
=1
1
2
> ,
1
2
Or, d’après les questions précédentes ? 0 et comme 2 ? 0, nous pouvons dire que est
strictement positif donc est strictement croissante.
D’après les questions précédentes, ln < A pour tout 9 1, or A 1 fg < 1 donc ln < 1 et comme
la fonction exponentielle est strictement croissante, < v.
La suite est donc croissante et majorée par v donc elle converge.
On utilise la propriété énoncée avec A C < ln < A et on trouve :
5
1 1
1 , < lnD < 1 ou encore < lnD < 1
2 3
6

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, nous avons v < D < v
1)
a. Voir la courbe
b. On suppose que la suite converge et on note D sa limite.
Comme, pour tout ` ], L, en passant à la limite, nous obtenons : D , D
1
23
2
23
23 3
23
r D
rD
, rD
D ,D
3
27
3
27
27 2
18
Donc, si est convergente alors sa limite ne peut être que
N
.
L
Or :
.
c. Par récurrence sur entier positif, nous allons montrer que 9 N.
Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie pour 0, c’est-à-dire que 9 N.
Or 2 et 2 ? N donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie au rang , c’est-à-dire que 9 N et on veut montrer que la
propriété est vraie au rang 23
1
1 23
1
23 23
r 9 ,
r 9
18
3
3 18
3
27 54
Donc la propriété est vraie au rang 1 .
9
1, c’est-à-dire que 9 N. Or :
23
23
r 9
27
54
23 , 2
69
23
r 9
r 9
54
54
18
Conclusion, d’après le principe de récurrence, 9 N pour tout entier naturel .
d. Pour ` ] :
1
23
23 2
23
2
2 23
2
23
Or 9
et donc < ,
ou encore < 3
27
27 3
18
3
3 18
3
27
Et donc < 0 et ceci montre que la suite est décroissante.
La suite est donc décroissante, minorée par N donc elle converge et d’après la question , sa limite est N.
2)
a. On considère la suite E géométrique, de 1er terme E ; et de raison . Nous avons donc, pour
tout entier naturel : E E , fg ; , k; .
O
.P
1
1
.
10
10
1
10
@
1
E
10
E
@
E+
Il s’agit donc de la somme des premiers termes d’une suite géométrique :
1 1
1
f
g
1 10
1
1
1
10
1
1
1
10
O . E ,
,
, =1 > =1 >
1
9
10
10
10
9
10
90
10
1 10
.P
10
L
L
L
L

.7 1,2
..
b. Pour ` ], 1,2 777.
;
B
p
kl donc :
chiffres
1
1
1
6
1
1
7= ..
>
7 , =1 >
10
10
10
5
90
10
10 ? 1 donc la limite de 10 en ∞ est égale à ∞ (c’est le terme général d’une suite géométrique de raison 10
1,2
strictement supérieur à 1 donc la suite diverge vers ∞). Donc :
6 7
1
6 7
6 , 18 7 115
23
=1 > HI
HI 5
90
10
5 90
90
90
18
est une suite décroissante d’après la question 1d. Pour ` ] :
1
1
1
1
1,2
77. .7 1,2
77. .7 1,2 7 = .
.
>
1,2
7
=
10
10
10
10
chiffres
chiffres
lim lim
L
k;
? 0 donc la suite est croissante.
Comme sa limite est
,
N
ceci montre que, pour tout ` ], <
1
..
10
1
>
10
.
N
Nous avons donc : décroissante, croissante et 9 pour tout ` ].
23 23
De plus lim 0
HI
18 18
Donc les suites et sont adjacentes.
4
1)
3
a. Voir le graphique
b. Il semble que la suite soit décroissante et
2
qu’elle converge vers 1.
2)
1
a. Initialisation : on veut montrer que la propriété est
vraie au rang 0, c’est-à-dire que 1 ? 0 or 5 donc
1 4 ? 0.
-1
0
1
2
3
4
5
6
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , la propriété est
-1
vraie, c’est-à-dire que 1 ? 0.
On veut montrer que la propriété est vraie au rang 1, c’est-àdire que 1 ? 0. Pour cela, nous allons étudier les variations de / sur _2; ∞1.

/ est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition et / 3 :;. Donc / est positive
sur _2; ∞1 donc / est strictement croissante sur cet intervalle. Par hypothèse de récurrence, ? 1 et comme /
est croissante sur 11; ∞1, on a / ? /1, autrement dit ? 1.
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , 1 ? 0 .
b. Etude des variations de : on va montrer par récurrence que est décroissante, autrement
dit que : h est vraie pour ` ].
Initialisation : on veut montrer que , c’est-à-dire que h or ,J+
J

et L
5 donc on a bien
h .
Hérédité : on suppose que pour un entier naturel , est vraie, c’est-à-dire h .
On veut montrer que est vraie , c’est-à-dire h .
Comme 1 h h et que / est croissante sur 11; ∞1 alors / h / autrement dit h .
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel , h donc est décroissante.
Convergence de : est une suite décroissante minorée par 1 donc elle converge. Si on note D sa limite, alors
comme / et que / est continue sur 11; ∞1 alors D /D.
4D 1
D /D r D r D 2D 4D 1 0 r D 2D 1 0 r D 1 0 r D 1
D 2
Donc la seule limite possible est 1 et donc converge vers 1.
3)
a. Pour ` ] :
1
1
1
1
2
1
2
3
1 1 4 1 1 1 4 1 2 1 3 3 3 3
2
1
1
3 1 3
Donc la suite est arithmétique de raison et de premier terme .
J+
b. Pour ` ] : , 1
1
1
12
r 1 r 1 donc 1
3 4
c.
4 15
4
lim lim
lim
1
HI
HI 4
HI 4
3
Donc la suite converge bien vers 1.
1
15 4
3 4
Sujet n°6 : Nouvelle Calédonie – novembre 2004
1)
7
7 15
7
2 4 15 1
15
2 4
29
59
; , ; 2
2
2
2
2
2
2 2
4
8
16
2)
a. Pour tout ` ] :
1 2 1
,
E
E 2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
Donc E est une suite géométrique de raison .
b. Pour ` ] : E E , fg avec E 4 3 1 donc : E E est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 1 et 1 donc elle converge vers 0.
3) Pour ` ] :
E
2
2
2
Or E ? 0 pour tout entier naturel donc est croissante.
1
1
1
1
E
2
2
2
2
4
4
2
4
4
Or E ? 0 donc est décroissante.
est croissante, est décroissante et l’écart entre et converge vers 0 car E converge vers 0 donc
et sont adjacentes. On en déduit qu’elles convergent et qu’elles ont la même limite.
4)
a. Pour ` ] :
2 2 2
c c
3
3
3
3
3
dj ^j
Donc la suite c est constante et toujours égale à c .
d ^

b. Notons i la limite des suites et alors c converge vers car il s’agit d’addition
de limite et de multiplication d’une limite par un nombre non nul. Par unicité de la limite, nous avons :
i 2i 11
11
ou encore i 3
3
3