Université Kairouan ISMAI Corrigé de l`examen Janvier 2013

Université Kairouan ISMAI
Corrigé de l'examen Janvier 2013 - Série temporelle
2ieme année mastère Ingénierie Financière
Exercice 1 :
Xt = −0.8Xt−1 + 0.1Xt−2 + t
1) Le processus Xt est un processus AR(2), donc il est stationnaire ssi :

 φ1 + φ2 < 1
φ2 − φ1 < 1

|φ2 | < 1

 φ1 + φ2 = −0.8 + 0.1 = −0.7 < 1
φ2 − φ1 = 0.1 − (−0.8) = 0.9 < 1
or

|φ2 | = 0.1 < 1
donc Xt est stationnaire.
2) Le processus Xt est un processus AR(2), donc il est inversible (un processus AR est toujours
inversible) et puisqu'il est stationnaire, donc il admet une représentation moyenne mobile innie :
Xt =
∞
X
ψj t−j = Ψ(L)t où L est l'opérateur retard.
j=0
avec Ψ(L) = ψ0 + ψ1 L + ψ2 L2 + . . . + ψj Lj + . . .
or Xt = φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + t ⇒ (1 − φ1 L − φ2 L2 )Xt = t ⇒ Φ(L)Xt = t ⇒ Xt = Φ(L)−1 t .
Donc Φ(L)−1 = Ψ(L) ⇒ 1 = Φ(L)Ψ(L) = (1 − φ1 L − φ2 L2 )(ψ0 + ψ1 L + ψ2 L2 + . . .)
Soit 1 = ψ0 + (ψ1 − φ1 ψ0 )L + (ψ2 − φ1 ψ1 − φ2 ψ0 )L2 + (ψ3 − φ1 ψ2 − φ2 ψ1 )L3 + . . .
Par identication, on obtient : ψ0 = 1, ψ1 − φ1 ψ0 = 0 ⇒ ψ1 = φ1 ψ0 = −0.8
et ψj − φ1 ψj−1 − φ2 ψj−2 = 0 ⇒ ψj = φ1 ψj−1 − φ2 ψj−2 , pour tout j = 2, 3, 4, . . ..
Ainsi, on obtient :
j
ψj
0
1
2
3
4
5
1 −0.8 0.74 −0.672 0.611 −0.556
Remarque : Avec R, on retrouve le résultat en tapant la ligne de commande suivante :
> ARMAtoMA(ar=c(-0.8,0.1), lag.max=5)
[1] -0.80000 0.74000 -0.67200 0.61160 -0.55648
3) La fonction d'auto-corrélation (ACF) d'un processus AR(p) vérie la relation suivante :
ρ(k) = φ1 ρ(k − 1) + φ2 ρ(k − 2) + . . . + φp ρ(k − p)
avec ρ(0) = 1 et ρ(−k) = ρ(k)
D'où, ρ(1) = φ1 ρ(0) + φ2 ρ(1) =⇒ ρ(1) =
ρ(2) = φ1 ρ(1) + φ2 ρ(0) = 0.811.
φ1
= −0.888.
1 − φ2
De la même manière, on calcul les autres coecients.
k
0
ρ(k) 1
1
2
3
4
5
-0.888 0.811 -0.737 0.6713 -0.6108
1
La fonction d'auto-corrélation partielle (PACF) d'un processus AR(p) s'annule à partir du
retard k = p + 1. Donc φkk = 0 pour tout k = 3, 4, . . .. Il nous reste donc, à calculer φkk pour
k = {1, 2}.
La PACF se calcule à l'aide de la relation suivante : φ11 = ρ(1) et φkk =



R(k) = 

|R∗ (k)|
avec
|R(k)|

· · · ρ(k − 1)
· · · ρ(k − 2) 


..
..
..
...

.
.
.
ρ(k − 1) ρ(k − 2) · · ·
ρ(0)
ρ(0)
ρ(1)
ρ(1)
ρ(0)
et R∗ (k) est la matrice obtenueaprès le remplacement
de la dernière colonne de R(k) par (ρ(1), ρ(2), . . . , ρ(k))t .
φ11 = ρ(1) = −0.888 et φ22
ρ(0)
ρ(1)
ρ(0)
ρ(1)
= ρ(1)
ρ(2)
ρ(1)
ρ(0)
ρ(0)ρ(2) − ρ(1)2
=
= 0.1.
ρ(0)2 − ρ(1)2
0.5
1.0
Le corrélogramme et le corrélogramme partielle sont représentés comme suit :
●
●
0.0
●
●
●
●
3
4
5
−0.5
PACF
−0.5 0.0
●
−1.0
ACF
0.5
●
●
●
0
1
2
3
4
5
●
1
2
Retards
Retards
Remarque : An de déterminer les coecients d'auto-corrélations théoriques avec R, on exécute
les lignes de commande suivantes :
# ACF
> ARMAacf(ar=c(-0.8,0.1), lag.max=5)
0
1
2
3
4
5
1.0000000 -0.8888889 0.8111111 -0.7377778 0.6713333 -0.6108444
# PACF
> round(ARMAacf(ar=c(-0.8,0.1), lag.max=5,pacf=T),6)
[1] -0.888889 0.100000 0.000000 0.000000 0.000000
Exercice 2 :
rt = 0.01rt−1 + 0.1rt−2 + t
où t ∼ BB(0, 0.02)
1) Le processus rt est un processus AR(2) de moyenne nulle. Donc E(rt ) = 0.
Remarque : D'une manière générale, pour un processus AR(p) :
Xt = µ + φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + . . . + φp Xt−p + t
2
on a E(Xt ) =
µ
où Φ(L) = 1 − φ1 L − φ2 L2 − . . . − φp Lp .
Φ(1)
La variance du processus peut être déduite à partir les équations de Yule-Walker :
γ(1)
γ(2)
γ(0) − φ1 γ(1) − φ2 γ(2) = σ =⇒ γ(0) 1 − φ1
− φ2
= σ2
γ(0)
γ(0)
2
(1)
=⇒ σ 2 = γ(0) [1 − φ1 ρ(1) − φ2 ρ(2)]
Or, ρ(k) − φ1 ρ(k − 1) − φ2 ρ(k − 2) = 0, ∀ k = 1, 2, . . ., d'où ρ(1) − φ1 ρ(0) − φ2 ρ(1) = 0
φ1
1 − φ2
(2)
φ21
− φ2
1 − φ2
(3)
=⇒ ρ(1) =
et ρ(2) − φ1 ρ(1) − φ2 ρ(0) = 0
=⇒ ρ(2) =
D'après (1), (2) et (3), on aura :
γ(0) = 1 −
φ21
φ2 φ2
− 1
+ φ22
1 − φ2 1 − φ2
−1
σ2
−1
(0.01)2 (0.01)2 0.1
2
−
+ (0.1)
Soit γ(0) = 1 −
× 0.02 =⇒ γ(0) = V (rt ) = 0.0198.
0.9
0.9
3) Soit rbt+1 = E(rt+1 /rt−1 , rt−2 , . . . , r0 ) = 0.01rt + 0.1rt−1
D'où rb101 = 0.01r100 + 0.1r99 = 0.0019 et rb102 = 0.01r101 + 0.1r100 = −0.000981.
4) L'erreur de prévision est donnée par : et+h = rt+h − rbt+h = t+h .
D'où e101 = 101 =⇒ V (e101 ) = V (101 ) = 0.02.
Et e102 = r102 − rb102 = φ1 (r101 − rb101 ) + 102 = φ1 101 + 102 .
Donc, V (e102 ) = φ21 V (101 ) + V (102 ) = 0.02(1 + 0.012 ) = 0.020.
Exercice 3 :
1) Simulation de 300 réalisations d'un processus AR(1) avec φ1 = 0.8 se fait en tapant la ligne de
commande suivante :
X<-arima.sim(list(ar=0.8),n=300,sd=1)
2) Calcul et représentation graphique des coecients d'auto-corrélations et d'auto-corrélations
partielles empiriques :
acf(X,lag.max=30) # ACF
pacf(X,lag.max=30) # PACF
Remarque : Pour le calcul des coecients AC et ACP théoriques, on utilise la fonction ARMAacf
(voir Exercice 1).
Exercice 4 :
Le processus Xt est un processus ARM A(1, 1). Donc il est stationnaire si |φ| < 1 et inversible si
|θ| < 1.
3
1) Puisque |φ| < 1 et |θ| < 1, donc le processus est stationnaire et inversible. Ainsi, il admet une
représentation moyenne mobile innie :
(Xt − φXt−1 ) = Zt − θZt−1 =⇒ (1 − φL)Xt = (1 − θL)Zt
1 − θL
Zt = Ψ(L)Zt
=⇒ Xt =
1 − φL
=⇒ 1 − θL = (1 − φL)(ψ0 + ψ1 L + ψ2 L2 + . . .)
=⇒ 1 − θL = ψ0 + (ψ1 − φψ0 )L + (ψ2 − φψ1 )L2 + (ψ3 − φψ2 )L3 + . . .
Par identication, on obtient : ψ0 = 1, ψ1 − φψ0 = −θ =⇒ ψ1 = φ − θ,
et ψj − φψj−1 = 0, ∀ j = 2, 3, . . .
Donc on a
ψ0 = 1, ψ1 = φ − θ
ψj = φψj−1 = φj−1 (φ − θ) j = 2, 3, . . .
4