Les équilibres de Cournot et de Stackelberg sont des

CORRECTION D’EXAMEN
CONTROLE CONTINU n°1
Question de cours
Question 1 :
Les équilibres de Cournot et de Stackelberg sont des équilibres de situation de duopole sur un
marché non coopératif d’un bien homogène.
L’équilibre de Cournot résulte de l’intersection des fonctions de réactions de chaque entreprise
lorsqu’elles fixent de manière simultanée leurs quantités.
L’équilibre de Stackelberg résulte du choix du leader de la quantité q qui maximise son profit
sous la contrainte de la fonction de réponse optimale à la Cournot du suiveur.
A l’équilibre de Stackelberg, le bien-être du leader est plus grand et celui du suiveur moins grand,
qu’à l’équilibre de Cournot. La quantité de bien vendue en Stackelberg est plus grande chez le
leader et moins importante chez le follower qu’en Cournot.
La fonction de réponse optimale (ou fonction de réaction) indique la meilleure action possible de
l’entreprise (en terme de profit), pour une anticipation donnée de l’action de sa rivale.
Graphiquement, on obtient les équilibres de Cournot et Stackelberg, respectivement au point C et
S lorsque la firme 1 est dominante.
Graphique 1 : Détermination des équilibres de Cournot et Stackelberg lorsque l’entreprise 1 est
la firme dominante (extrait de « Eléments de Microéconomie », Pierre Picard, 2002)
Question 2 :
a) La relation entre l’indice de Lerner et la part de marché est la suivante :
Li = -si/ε avec si = yi/Y
Li = (p-ci)/p
Avec ε , l’élasticité de la demande par rapport au prix
b) Démonstration de la relation entre l’IHH et l’indice de Lerner
L’indice de Lerner moyen est :
L = Σ i si × Li or Li = -si/ε
Alors
L = Σi si × (-si/ε) = Σi= 1(-si2/ε)
On peut sortir ε qui ne dépend pas de i d’où :
L= (-1/ε) Σi si2 or Σi si2 = IHH
D’où L= -IHH / ε
Question 3 :
Si les firmes qui ont des contraintes de capacité de production, on emploie l’indice IHHadj au lieu
de l’IHH pour calculer le degré de concentration du secteur.
Les entreprises du secteur de l’électricité sont soumises à des contraintes de capacité et c’est donc
pour ce secteur, par exemple, que nous employons cet indice.
Question 4 : Jeu « Pierre, Feuille, Ciseaux »
a) Le jeu « Pierre, Feuille, Ciseaux » est un jeu un jeu simultané « à somme nulle » (conflit pur),
en information complète (bimatrice connue des 2 joueurs) mais avec incertitude endogène sur le
choix de l’autre. Le jeu sous forme normale se présente de la manière suivante :
Pierre
Joueur
Feuille
A
Ciseaux
Joueur B
Pierre
(0,0)
(1,-1)
(-1,1)
Feuille
(-1,1)
(0,0)
(1,-1)
Ciseaux
(1,-1)
(-1,1)
(0.0)
Ce jeu est un jeu à somme nulle dans le sens où tout ce qui est un gagné par l'un est perdu par
l'autre. En d'autres termes, nous avons déjà vu que nous pouvions parler dès lors de jeux
"strictement compétitifs".
Le jeu sous forme extensive est le suivant (facultatif) :
b) Un équilibre de Nash est un état dans lequel aucun joueur ne souhaite modifier sa stratégie
étant donné les stratégies adoptées par les autres joueurs.
Chaque stratégie est une meilleure réponse aux stratégies des autres joueurs.
MRA (Pierre)= Feuille
MRA (Feuille)= Ciseaux
MRA (Ciseaux)= Pierre
MRB (Pierre) = Feuille
MRB (Feuille) = Ciseaux
MR B (Ciseaux)= Pierre
En stratégie pure, il n’y a pas d’équilibre de Nash.
La raison pour laquelle on n’a pas d’équilibres est la suivante : la notion d’équilibre de Nash en
stratégies pures suppose que chaque joueur connaisse les stratégies des autres joueurs. Or, nous
sommes dans des jeux ou chaque joueur a intérêt à cacher sa stratégie, ou à bluffer. En effet, dans
les jeux ”pile ou face” ou ”tirer un penalty”, ou ”bluff au poker”, on n’utilise pas toujours la
même stratégie, et on ne connaît stratégie pas non plus à l’avance celle de l’adversaire.
Stratégie (pure) = instruction exhaustive donnée à un représentant pour jouer à votre place.
Chaque joueur a 3 stratégies. Exemple: “jouer pierre”.
c) Définition : Une issue i réalisable qui n'admet aucune "amélioration" est appelée un "optimum
de Pareto" (O.P.) et est définie rigoureusement par :
La "pareto-optimalité" est à comprendre comme une condition sine qua non, sans lequel le
concept de solution d'un jeu coopératif que nous cherchons à élaborer devrait être
automatiquement rejeté.
C'est-à-dire que si dans un jeu, un couple d'issues est telle qu'il est impossible d'améliorer le score
de l'un des deux joueurs sans diminuer le score de l'autre, nous disons que ces issues sont "paretooptimales" ou "pareto-efficientes".
Dans notre jeu, toutes les issues sont des optima de Pareto.
Exercice 1 :
1)
Fonction de demande inverse : P= 200 – 2(Q1) – 2(Q2)
Fonction de réaction de l’entreprise 1 : (Q1)= 100/3 – (Q2)/3
Fonction de réaction de l’entreprise 2 : (Q2)= 40 – 2/5 (Q1)
2)
Equilibre : résolution du système formé des deux fonctions de réaction :
(Q1*)= 300/13
(Q2*)= 400/13
P*= 1200/13
3)
Maximiser le profit joint par rapport à (Q1) et (Q2):
π = p((Q1) + (Q2)) ((Q1)+(Q2)) – C(Q1) – C(Q2)
Résoudre le système formé des deux équations.
4)
L’entreprise 1 en monopole connait la fonction de demande inverse : P= 200 – 2(Q1)
La maximisation du profit conduit à l’équilibre suivant :
(Q1*)= 100/3
P*= 400/3
Exercice 2
Partie 1
a)
( P1+P2) /2
|________|____________|____________|___|
0
P1
P2 1
b)
En rouge, ils votent pour P1 car ils sont plus proches de P1. Il y a donc du fait de la distribution
uniforme : (P1 – 0) + ((P1+P2)/2 – P1) = (P1+ P2) / 2 électeurs de P1.
En noir, ils votent pour P2 car ils sont plus proche de P2. Il y a donc du fait de la distribution
uniforme : (1- P2) + (P2- ((P1+P2)/2) = 1 – (P1+P2)/2 électeurs de P2.
Nota bene : une distribution uniforme sur un segment [a, b] signifie qu’il y a (b-a) individus sur la
segment [a, b].
c)
On suppose que P2 reste fixé. Si P1 dévie tout près de P2, il reçoit presque (P1 + P2)/2 voix en
plus.
Avant déviation : (en rouge, ceux qui votent pour P1, en noir ceux qui votent pour P2)
( P1+P2) /2
|________|____________|____________|___|
0
P1
P2 1
Après déviation : (en rouge, ceux qui votent pour P1, en noir ceux qui votent pour P2)
(P1+P2)/2
|________|_____________________|_|_|___|
0
P1
P1 P2 1
Conclusion : cette déviation de P1 vers P2 lui est profitable en termes d’électeurs.
d)
Un équilibre de Nash pour le parti politique P1 est une stratégie telle qu’il n’existe pas d’autre
stratégie qui fournirait un paiement plus élevé (plus d’électeurs) au parti politique 1 quelle que
soit la stratégie du parti P2.
On voit bien que la stratégie du c) fournit plus d’électeurs au parti 1 que la stratégie b) ; la
stratégie du b) n’est donc pas un équilibre de Nash. Toute stratégie de la partie 1 n’est donc pas
un équilibre de Nash, puisque que quand P1 ≠ P2, il existe toujours une déviation profitable pour
un parti étant donné la position de l’autre : se rapprocher la plus possible de la position de l’autre
parti.
Partie 2 :
a)
|________|__________|__________________|
0
P1
0,5
1
=P2
= (P1+P2)/2
Nota bene : Le signe mathématique union : U signifie “ou”. On a donc P1 appartient à [0 ; 0,5[ ou
]0,5 ; 1] ; de même pour P2 avec P1=P2.
b)
Il est dit dans l’énoncé que si les deux partis occupent la même position, ils se partagent les
électeurs. Dans ce cas, chaque parti reçoit la moitié des électeurs. Soit P1=1/2 et P2=1/2.
c)
On suppose P2 fixé. P1 a intérêt à dévier vers le centre. Il aura dans ce cas plus d’électeurs.
Avant deviation:
|________|__________|__________________|
0
P1
0,5
1
=P2
= (P1+P2)/2
Après déviation :
( P1+P2)/2
|________|____|___|___|__________________|
0
P2
P1 0,5
1
Dans cette configuration P2 a (P1+P2)/2 voix.
Dans cette configuration P1 a 1- P1 + P1 – (P1+P2)/2 = 1 – (P1+P2)/2 > 1/2 voix
P1 a donc intérêt à faire cette déviation, il préfère la situation c) à la situation b) car il a plus
d’électeurs.
d)
La situation de la partie 2 n’est pas un équilibre de Nash puisque quand P1=P2≠0,5 alors chaque
parti a intérêt à dévier unilatéralement de manière à gagner plus de voix, à avoir un paiement
supplémentaire.
Partie 3 :
En conclusion le seul équilibre de Nash possible du jeu est P1=P2=0,5. Dans ce cas chaque parti
reçoit la moitié des voix. Et si un parti dévie il reçoit tous les votes entre lui et l’extrémité du
segment plus la moitié des ceux qui sont entre P1 et P2. Cela fait moins que 1/2. Il n’a donc
jamais intérêt à dévier. Cette solution est un équilibre de Nash.
Avant deviation:
|___________________|__________________|
0
P1
1
= P2
= (P1+P2)/2
= 0,5
Après déviation :
(P1+P2)/2
|___________________|____|_____|_________|
0
P2
P1
1
= 0,5
Après déviation, le parti P1 a moins de voix donc il n’a pas intérêt à dévier. Donc cette situation
est un équilibre de nash.