Université de Paris I Licence dLEconomie, TroisiMme année Cours

Université de Paris I
Licence d’Economie, Troisième année
Cours de Microéconomie
Année universitaire 2016-2017
Exercices du chapitre 1 (Théorie des jeux)
L’équilibre de Nash en stratégie pure
Exercice 1
A. Déterminer tous les équilibres de Nash éventuels des deux jeux suivants:
I=II
C
D
A
B
6,0 0,6
3,2 6,0
I=II
C
D
A
B
0,1 0,2
2,2 0,1
B. Félix et Oscar doivent déterminer le nombre d’heures que chacun d’eux consacre
au ménage dans leur appartement commun. Chacun peut choisir de consacrer 3, 6 ou
9 heures. La propreté de l’appartement dépend du nombre total d’heures de ménage:
l’appartement reste sale si le nombre d’heures de ménage est strictement inférieur à 9.
Il est "habitable" si le nombre d’heures est égal à 9 et il est propre si le nombre d’heures
est supérieur ou égal à 12 heures. Un appartement habitable assure un "gain" de 2
aux deux joueurs. Un appartement propre rapporte un gain de 10 à Félix mais de 4 à
Oscar. Un appartement sale assure un gain de 10 à Félix et 5 à Oscar. Par ailleurs
une heure de ménage est un gain de 1 pour chaque joueur. Déterminer la solution de
ce jeu en procédant par élimination itérée des stratégies strictement dominées.
Exercice 2
Quatre joueurs doivent se rendre du point A au point B (voir graphique ci-joint).
Deux itinéraires sont possibles: l’itinéraire "est" ou l’itinéraire "ouest". Chaque itinéraire comprend deux segments. Les temps de trajet pour chaque segment dépendent
du nombre de joueurs qui utilisent le segment et sont égaux aux valeurs suivantes (le
premier terme de la parenthèse correspond au temps de trajet pour un joueur si un
seul joueur utilise le segment, le deuxième terme au temps de trajet pour un joueur si
deux joueurs utilisent le segment etc.):
Segment E1 : (4; 5; 8; 20)
Segment E2 : (1; 2; 4; 8)
Segment O1 : (1; 2; 4; 8)
Segment O2 : (4; 5; 8; 20)
Chaque joueur choisit simultanément son itinéraire. L’objectif d’un joueur est de
minimiser le temps de trajet.
1. Déterminer l’équilibre de Nash de ce jeu.
Un pont est construit et permet a priori de raccourcir le temps de trajet. Les temps
de trajet sur le pont sont nuls. Le pont est à sens unique et permet donc un nouvel
itinéraire: O1 pont E2:
1
2. Déterminer le nouvel équilibre de Nash. Que peut-on dire des temps de trajet
après construction du pont? Commenter.
Exercice 3
Deux candidats se présentent à une élection. Un nombre m d’électeurs préfèrent
B à A et un nombre k d’électeurs préfèrent A à B: Le nombre total d’électeurs est à
égal à m + k = n: Si un électeur vote, le gain en fonction du résultat de l’élection est
le suivant: 2 c si son candidat gagne, c si le candidat adverse gagne et 1 c en cas
d’égalité (avec 0 < c < 1). Si l’électeur s’abstient, le gain est respectivement égal à 2;
0 et 1:
1. Quel est l’équilibre de Nash si m = k = 1?
2. Si k = m;
(i) existe-t-il un équilibre où tous les électeurs votent?
(ii) existe-t-il un équilibre où les deux candidats sont à égalité et où tous les électeurs
ne votent pas?
(iii) existe-t-il un équilibre où un candidat gagne avec une voix d’écart?
(iv) existe-t-il un équilibre où un candidat gagne avec deux voix ou plus d’écart?
3. Quel est l’équilibre de Nash si k < m?
Exercice 4
Deux entreprises sont en concurrence. Chaque …rme i (i = 1; 2) choisit la quantité,
qi ; qu’elle va produire. Le prix unitaire de vente dépend de la quantité totale vendue.
On suppose que ce prix unitaire est égal à M ax(
q1 q2 ; 0): Le coût unitaire de
production est nul mais chaque …rme supporte un coût …xe égal à f > 0: Déterminez
l’équilibre de Nash de ce jeu.
Exercice 5
Deux entreprises investissent pour tenter d’emporter un marché dont la valeur est
estimée à K euros. Le montant, en euros, de l’investissement de la …rme i (i = 1; 2) est
noté ai 0: La …rme qui investit le plus remporte le marché. En cas d’égalité chaque
…rme remporte la moitié du marché (d’une valeur de K2 euros). Les …rmes choisissent
simultanément les montants investis.
Montrer qu’il n’existe pas d’équilibre en stratégie pure.
2
"ouest": O1 O2
"est: E1 E2
Exercice 6
On considére le modèle de concurrence électorale avec deux candidats développé en
cours. Le pays est divisé en deux états. On suppose un mode d’élection indirect de type
Nord-Américain dans lequel les électeurs élisent les grands électeurs qui votent ensuite
pour l’un ou l’autre des candidats. L’état 1 est plus peuplé que l’état 2 et dispose donc
de plus de grands électeurs. Par ailleurs un candidat vainqueur dans un état remporte
tous les grands électeurs (en cas d’égalité chacun obtient la moitié). En…n, la position
médiane des électeurs (mi ) est telle que m1 < m2 :
Déterminer les localisations d’équilibre de chacun des deux candidats.
3
Les stratégies mixtes
Exercice 1
Les feux d’un carrefour sont en panne. N individus passent au carrefour au même
moment et constatent la panne. Chaque individu peut alors soit téléphoner au service
de voirie soit passer et ne pas téléphoner. Téléphoner a un coût c > 0 pour l’individu
qui téléphone. Si les feux sont réparés, le béné…ce retiré par chaque individu est égal
à B > c:
1. Montrer qu’il existe un équilibre en stratégie pure.
2. Déterminer un équilibre en stratégie mixte dans lequel chaque individu téléphone
avec une probabilité :
3. Calculer la probabilité, à l’équilibre en stratégie mixte, que les services de voirie
ne soient pas informés de la panne. Comment varie cette probabilité si N augmente?
Exercice 2
Déterminer tous les équilibres de Nash des deux jeux suivants:
I=II
C
D
A
B
6,0 0,6
3,2 6,0
I=II
C
D
A
B
0,1 0,2
2,2 0,1
Exercice 3
Un général A a pour objectif de défendre son territoire protégé par des montagnes.
Il dispose de trois divisions.
Un général B souhaite attaquer le territoire du général A. Il dispose pour cela de
deux divisions. Deux cols permettent de pénétrer dans le territoire de A: Le général A
gagne une bataille à un col s’il aligne au moins autant de division que B et il parvient
à défendre son territoire s’il gagne aux deux cols.
1. Expliciter le jeu sous forme stratégique.
2. Montrer que le général B met une seule division à un col avec probabilité zéro.
3. En déduire que la stratégie d’équilibre de B consiste à concentrer les divisions à
un col avec équi-probabilité.
4. Conclure en déterminant un équilibre de Nash.
Exercice 4
On considère le jeu suivant (les points désignent les gains non spéci…és).
I=II A B
C
A
.,2 3,3 1,1
B
.,. 0,. 2,.
C
.,4 5,1 0,7
Montrer que les deux stratégies mixtes suivantes constituent un équilibre de Nash:
Joueur I: ( 34 ; 0; 14 ) et Joueur II : (0; 13 ; 32 ):
4
Exercice 5
Deux athlètes, A1 et A2; participent à une épreuve sportive. Deux actions sont
possibles: se doper (d) ou ne pas se doper (n): Si un seul athlète se dope, l’athlète dopé
est certain de gagner l’épreuve et gagne 1 alors que l’athlète non dopé perd et gagne
1. Si les deux athlètes se dopent ou si aucun athlète se dope, un athlète n’est pas sur
de gagner et le gain de chaque athlète est de 0.
1. Déterminer l’équilibre de Nash de ce jeu.
Une agence est en charge du contrôle anti-dopage mais ne peut contrôler qu’un seul
athlète. Si elle contrôle un athlète positif, elle gagne en réputation et son gain est de 1.
Si elle contrôle un athlète négatif, son gain est de 0. Un athlète contrôlé positif perd
l’épreuve et son gain est donc de (1 + b) avec b > 0.
2. Déterminer les stratégies d’équilibre des joueurs si l’agence joue une stratégie
pure en contrôlant avec probabilité 1 l’athlète Ai avec i = 1; 2.
3. L’agence décide d’adopter une stratégie mixte en contrôlant un athlète avec
probabilité 21 et l’autre athlète avec probabilité 21 : Montrer que les deux athlètes jouent
la stratégie n: Montrer que la stratégie mixte de l’agence est une meilleure réponse aux
stratégies des athlètes. Conclure.
Exercice 6
Il s’agit de la suite de l’exercice 3 de la partie 1. On suppose m k:
1. Montrer qu’il existe un équilibre de Nash avec les stratégies suivantes:
Les partisans de A votent avec probabilité p.
k partisans de B votent avec probabilité 1 et m k s’abstiennent.
2. Quel est l’e¤et d’une baisse de k ou d’une hausse de c sur la probabilité p de
voter? Expliquer.
5
Les jeux dynamiques et l’équilibre parfait en sous-jeux
Exercice 1
L’armée 1 doit décider d’attaquer l’armée 2 qui occupe une île. En cas d’attaque,
l’armée 2 doit décider de se retirer sans combattre en empruntant un pont ou de
combattre. Une armée préfère occuper l’île sans combattre à se retirer et préfère se
retirer à combattre.
1. Représenter le jeu sous forme dynamique et en déduire l’équilibre parfait en
sous-jeux.
2. Au tout début du jeu l’armée 2 la possibilité de détruire le pont qui lui permet
de se retirer. Ce choix vous semble-t-il judicieux?
Exercice 2
Deux individus doivent choisir quelle politique publique commune mener. Trois
politiques sont possibles: X; Y et Z: Les préférences de 1 sont les suivantes: X
Y
Z: Les préférences de 2 sont les suivantes: Z Y
X: Le processus de décision
se déroule de la manière suivante: 1 met son véto sur une politique. S’il reste plus
d’une politique, 2 met son véto sur une politique. S’il reste plus d’une politique, 1 met
son véto sur une politique. Ainsi de suite jusqu’à ce qu’une seule politique subsiste.
Déterminer le ou les équilibres de Nash ainsi que l’équilibre sous-jeux parfait.
Exercice 3
Un groupe très hiérarchisé de n lions se disputent une proie. Le premier lion a deux
actions possibles: il mange la proie ou il ne mange pas la proie. S’il ne mange pas la
proie, elle est perdue pour tous les lions et le jeu s’arrête. S’il mange la proie il devient
si gros qu’il devient sans défense. Dans ce dernier cas, le deuxième lion a deux actions
possibles: soit il mange le premier lion soit il ne le mange pas. S’il mange le premier
lion, il devient lui-même gros et sans défense et peut être alors mangé par le troisième
lion. S’il ne mange pas le premier lion le jeu s’arrête et ainsi de suite. Un lion préfère
manger que ne pas manger mais préfère ne pas manger qu’être mangé.
Déterminer le ou les équilibres parfaits en sous-jeux de ce jeu.
Exercice 4
Deux projets de loi X et Y sont en concurrence. Le projet qui obtient la majorité
de K (K impair) députés est adopté. Deux groupes de pression s’opposent. Le groupe
X soutient le projet de loi X: Le groupe Y soutient le projet Y . Le groupe de pression
X peut verser une somme xi au député i et le groupe Y une somme yi : Un député vote
pour le projet qui lui promet le plus (en
PKcas d’égalité, il vote pour Y ). Le surplus
PK du
groupe de pression X est égal à X
x
si
le
projet
X
est
adopté
et
i=1 i
i=1 xi
sinon où le paramètre X (X > 0) représente le surplus brut du groupe X si le projet
X est adopté. DePla même façon,
PK le surplus du groupe Y en cas d’adoption du projet
K
Y est égal à Y
y
et
i=1 i
i=1 yi sinon. L’objectif de chacun des deux groupes est
de maximiser le surplus obtenu. Le jeu se déroule séquentiellement. Le groupe X fait
des o¤res aux K députés. Le groupe Y observe ces o¤res et fait, à son tour, des o¤res
aux K députés. En…n, dans une troisième étape les députés votent.
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1. Pour quels niveaux des xi ; Y parvient-il à faire adopter le projet Y ?
2. Quels sont les paiements e¤ectués par X qui permettent au projet X d’être
adopté ?
3. En déduire l’équilibre parfait en sous jeux selon les valeurs de X et Y:
4. Combien dépense Y ? Le projet le mieux valorisé est-il toujours adopté ?
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