Intégration TD4 Espaces Lp (1)

Intégration TD4
Espaces Lp (1)
Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan.
e-mail : [email protected]
1
Construction et complétude :
Soit (X, µ) un espace mesuré, et f : X → C mesurable. Pour 1 ≤ p < +∞, on définit :
Z
kf kp :=
p
p1
|f | dµ
,
kf k∞ := inf{M > 0; |f | ≤ M p.p.},
X
1
en convenant que (+∞) p = +∞ et inf ∅ = +∞. On définit :
L p (µ) := {f : X → C mesurable ; kf kp < ∞},
L ∞ (µ) := {f : X → C mesurable ; kf k∞ < ∞}
Exercice 1 :
Soit p ∈ [1, ∞], pour quelles valeurs de a, b ∈ R a-t-on :
fa,b (x) :=
1
1[e,+∞[ (x) ∈ L p (R)?
xa ln(x)b
On traitera les différents cas qui se présentent, et on pourra utiliser pour certains d’entre eux :
!
d ln1−β t
1
d
1
=
,
(ln(ln t)) =
.
β
dt 1 − β
dt
t ln t
t ln t
Remarque : Dans le cas d’une intégration sur ]0, 1[, on se ramène au cas précédent par inversion de la
variable.
Théorème : (Inégalité de Hölder) [2], p.155
Soient f, g : X → R mesurables, et p, q ≥ 1 tels que
1
p
+
1
q
= 1. Alors :
kf gk1 ≤ kf kp kgkq .
Si ces quantités sont finies, il y a égalité si et seulement si |f |p = λ|g|q pour un certain λ ∈ R+ .
Exercice 2 : Inégalité d’interpolation
Soit 1 ≤ p < q < ∞ et f ∈ L p (µ) ∩ L q (µ).
1. Montrer que, pour tout r ∈]p, q[
f ∈ L r (µ) et kf kr ≤ kf kθp kf k1−θ
q
1
θ 1−θ
= +
.
r
p
q
2. Soit f : R → R mesurable. Que peut-on dire de la nature géométrique et topologique de l’ensemble :
{p ∈ [1, ∞[; f ∈ L p (R)} ?
Où θ ∈]0, 1[ est défini par
Théorème : (Inégalité de Minkowski) [2], p.157
Soit p ∈ [1, +∞[, f, g ∈ L p (µ). Alors :
(a) f + g ∈ L p (µ) et kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
(b) De plus :
- si p > 1, il y a égalité si et seulement si g = 0 µ-p.p. ou f = λg pour un certain λ ∈ R+ .
- si p = 1, il y a égalité si et seulement si f g ≥ 0 µ-p.p.
1
L’inégalité de Minkowski prouve (entre autre !) que L p (µ) est un espace vectoriel. Il faut travailler encore
un peu plus pour obtenir la structure d’EVN : k · kp n’est pas une norme sur L p (µ).
On définit donc une relation d’équivalence sur L p :
f ∼ g ⇐⇒ f = g µ-p.p.
Cette relation est compatible avec l’addition et la multiplication par un scalaire, on peut donc munir
l’ensemble des classes d’équivalence :
Lp (µ) := L p (µ)/ ∼
d’une structure de C-espace vectoriel. Comme f ∼ g ⇒ kf kp = kgkp , on peut définir k · kp sur Lp (µ), et
cela en fait un espace vectoriel normé.
Théorème : (Riesz-Fisher) Soit 1 ≤ p ≤ ∞. (Lp (µ), k · kp ) est un espace de Banach.
Exercice 3 : [1], p.82
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Riesz-Fischer.
1. Traiter le cas p = ∞.
2. Soit 1 ≤ p < ∞ et (fn )n∈N une suite de Cauchy de Lp (µ).
(a) Justifier l’existence d’une sous-suite (fnk )k∈N telle que pour tout k ∈ N :
kfnk+1 − fnk kp ≤
(b) On pose gk (x) :=
k
X
1
2k
|fni+1 (x) − fni (x)|. Montrer que (gk (x))k∈N∗ converge presque sûrement
i=1
vers une limite finie g(x) et montrer que la fonction g ainsi définie presque partout appartient
à Lp (µ).
(c) En déduire que (fnk (x))n converge presque sûrement vers une limite f (x), que celle-ci définit
un élément de Lp (µ), limite de (fn )n dans cet espace.
Au cours de la preuve on a établi le théorème suivant :
Théorème :(Réciproque partielle du théorème de convergence dominée)
Soit 1 ≤ p ≤ ∞ et (fn )n∈N une suite de Lp (µ) qui admet une limite f dans ce même espace. Alors il
existe g ∈ Lp (µ) et une sous-suite (fnk )k∈N telle que :
fnk −→
k→∞
∀k ∈ N |fnk | ≤
f
µ-p.p.
|g|
µ-p.p.
Exercice 4 : La convergence presque partout n’est pas « topologisable » [2] p.163 et p.184
1. Construire une suite (fn )n∈N de L1 (]0, 1[) qui converge dans cet espace, mais pas presque partout.
2. En déduire qu’il n’existe pas de topologie sur l’espace des fonctions telle que la convergence au sens
de cette topologie coïncide avec la convergence presque partout.
2
2
Quels liens entre les espaces Lp ?
Exercice 5 : Inclusions
1. Démontrer que si µ(X) < ∞ alors les espaces Lp (µ) s’injectent continûment par ordre décroissant
d’exposant.
2. Pour p 6= q ∈ [1, ∞], démontrer que Lp (R) ⊂ Lq (R) n’est jamais vrai. Que dire dans le cas des
`p (N) ?
Exercice 6 : Topologie
Constuire une suite de de L1 (R)∩L2 (R) convergente dans L1 (R) et pas dans L2 (R), une autre convergente
dans L2 (R) et pas dans L1 (R).
Remarque : De manière plus générale, pour p < q, les deux normes k · kp et k · kq ne définissent jamais la
même topologie sur Lp (R) ∩ Lq (R).
Exercice 7 : Pourquoi la notation L∞ ?
Soit Ω un ouvert borné de Rn .
1. Soit f ∈ L∞ (Ω) ∩ Lp (Ω), pour tout p ≥ 1. montrer que :
kf k∞ = lim kf kp .
p→∞
Remarque : Ce résultat s’étend bien sûr au cas d’une mesure finie quelconque.
2. Montrer que si il existe C tel que kf kp ≤ C pour tout p ∈ [1, ∞[, alors f ∈ L∞ .
3. En utilisant la fonction ln sur ]0, 1[, montrer que le résultat précédent n’est plus vrai si l’on suppose
simplement que f ∈ Lp (Ω) pour tout p ∈ [1, ∞[.
3
Sous-espaces denses dans les Lp (Ω) :
On rappelle le :
Lemme fondamental d’approximation : [2], p.71
Soit f : (X, A ) → R, R ou C, mesurable. Il existe une suite (fn )n≥1 de fonctions étagées, telle que,
pour tout x ∈ X, lim fn (x) = f (x). En outre,
n→+∞
(a) Si f ≥ 0, on peut choisir la suite (fn )n≥1 croissante et positive.
(b) Si f est bornée, on peut choisir la suite (fn )n≥1 de sorte qu’il y est convergence uniforme sur X.
Remarque : L’essentiel de la démonstration repose sur l’approximation d’une fonction mesurable positive
par les sommes :
n
n2
−1
X
k=0
k
1 k
k+1 (x) + n1{f (x)≥n} (x)
2n { 2n ≤f (x)< 2n }
Exercice 8 : Densité des fonctions en escaliers et des fonctions continues [2], p.165
Soit p ∈ [1, ∞[.
1. Vérifier que l’ensemble des fonctions étagées de Lp (R) est dense dans Lp (R).
2. On souhaite prouver la densité des fonctions en escaliers (combinaisons linéaires finies d’indicatrices
d’intervalles).
(i) Prouver qu’il suffit d’approcher les indicatrices 1A , avec A mesurable de mesure finie.
(ii) Soit 1A une telle indicatrice, en utilisant la régularité extérieure de la mesure de Lebesgue,
approcher 1A par une suite (1On )n∈N d’indicatrices d’ouverts bornés. Approcher ensuite cellesci par des indicatrices d’intervalles (penser aux composantes connexes..) et conclure.
3. En déduire que l’ensemble des fonctions continues à support compact est également dense dans
Lp (R).
Remarque 1 :
On peut obtenir les mêmes résultats dans Rd . D’autre part, on peut démontrer directement la densité des
fonctions Lipschiztiennes, voir [2], p.177.
3
Remarque 2 :
En réalité il existe un résultat de densité beaucoup plus puissant : Cc∞ (Ω), l’ensemble des fonctions
infiniment dérivables et à support compact dans un ouvert Ω ⊂ Rd , est non vide (ce qui n’est trivial
a priori !) et dense dans tous les Lp (Ω), pour p < ∞. L’outil fondamental permettant d’aboutir à ces
résultats est la convolution.
Exercice 9 : Applications
1. Soit f ∈ Lp fixée. Montrer que kτy f − f kp −→ 0, où τy f (x) = f (x − y).
y→0
2. Soit f ∈ L (R), et fˆ sa transformée de Fourier. Montrer que :
1
lim fˆ(ξ) = 0.
|ξ|→∞
Références
[1] W. Rudin. Analyse réelle et complexe (3ième édition).
[2] Marc Briane, Gilles Pagès. Théorie de l’intégration (4ième édition).
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