CCP Maths 1 PSI 2001 — Corrigé

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CCP Maths 1 PSI 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Desreux (ENS Ulm) et Nicolas Andraud
(Mines de Paris) ; il a été relu par Vincent Perrier (ENS Lyon) et David Lecomte
(ENS Cachan).
Cette épreuve, composée de deux problèmes indépendants, demande peu de connaissances techniques ; de surcroît, le travail est très bien guidé par des questions précises
et progressives.
En revanche, on a souvent besoin de faire appel aux résultats de questions déjà
traitées et il est essentiel de prendre un peu de recul vis-à-vis de l’énoncé pour comprendre où il nous mène. En outre, plusieurs questions exigent beaucoup de rigueur.
C’est donc un excellent entraînement aux épreuves écrites.
• Le premier problème propose l’étude de la série des restes d’une série convergente. Après une mise en jambe facile, on montre à la question II.1 une identité
que l’on utilise ensuite pour l’étude : d’une suite, des restes des séries à termes
positifs, des restes de la fonction ζ et enfin des restes d’une série entière.
• Le second problème propose de calculer le déterminant de la matrice de terme
général

 1 Cp si i + j est pair (i + j = 2p)
2p
wi,j = 22p

0
sinon
Z π
À cette fin, on exprime wi,j en fonction d’une intégrale de la forme
cosk t dt
0
(qui doit faire penser aux intégrales de Wallis), ce qui introduit une étude de
nature euclidienne au moyen du produit scalaire (usuel)
Z
1 π
hf | gi =
f (t)g(t) dt
π 0
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Indications
Premier problème
I.1.1 La série est géométrique.
I.2.1 Utiliser le théorème des séries alternées.
I.2.2.2 Utiliser le théorème de convergence dominée.
I.2.2.5 Utiliser à nouveau le théorème de convergence dominée.
n
P
II.1 Remarquer que Rk = Rn +
up pour tout k ∈ [[ 0 ; n ]] ou raisonner par
p=k+1
récurrence.
II.2 Poser uk = (−1)k+1 /k et utiliser la question précédente sous la forme −
n
P
k uk = . . .
k=1
II.3.1 Remarquer (à l’aide de la question II.1) que
n
P
k uk est compris entre 0 et
k=1
∞
P
Rk .
k=0
II.3.2 Encadrer (n + 1)Rn en remarquant que
∀k > n + 1
(n + 1) uk 6 k uk
II.4 Utiliser la question II.3.3.
II.5.1 Une série entière est dérivable terme à terme sur son intervalle (ouvert) de
convergence.
II.5.3.1 Remarquer que (ak ) est bornée, ou trouver un équivalent.
II.5.3.2 Passer en complexes.
Deuxième problème
I.3.2 Intégrer Jm+2 par parties (m + 2 = 1 + (m + 1)).
I.3.3 Construire une formule empirique et la compléter en ajoutant les termes
pairs.
II.1 Linéariser le produit de cosinus.
II.2 La famille est orthonormale, donc. . .
II.3 Utiliser la formule d’Euler puis la formule du binôme.
II.4 Montrer que em peut s’écrire comme combinaison des vk , 0 6 k 6 m.
II.5 Utiliser le théorème de projection orthogonale et le fait que la famille (ei )
est une base orthonormale de Hm (e).
II.6.1 Remarquer que la matrice Qn est triangulaire.
II.6.2 Reconnaître une matrice de Gram.
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Premier problème
L’énoncé a choisi d’utiliser une notation qui peut prêter à confusion :
P
une série est notée
un (x)
n>0
tandis que sa somme est notée
∞
P
un (x)
n=0
Afin de faciliter votre lecture, nous avons choisi de conserver la notation de
l’énoncé. Toutefois, le jour du concours, vous pourriez sans problème utiliser
P
la notation (standard)
un (x) pour une série dans votre copie.
Partie I
I.1.1.1 La série de terme général (−x)k est géométrique de raison −x ; elle converge
si et seulement si | − x| ∈ [ 0 ; 1 [ , et dans ce cas sa somme est 1/(1 − (−x)) .
P
(−1)k xk converge sur I = ] −1 ; 1 [
k>0
et
∞
P
∀x ∈ I
(−1)k xk =
k=0
1
1+x
+∞
I.1.1.2 La convergence sur I de la série
P
(−x)k assure l’existence du reste
k>0
pour tout x ∈ I et tout n ∈ N.
Rn (x) =
∞
P
P
(−x)k
k=n+1
(−x)k
k=n+1
= (−x)n+1
∞
P
(−x)k
k=0
Rn (x) =
La série
P
(−x)n+1
1+x
Rn (x) est donc géométrique, de premier terme −x/(1 + x) et de rai-
n>0
son −x ; elle converge si et seulement si | − x| ∈ [ 0 ; 1 [, c’est-à-dire x ∈ I, et sa somme
est
S(x) =
−x
(1 + x)2
I.2.1 La suite (1/k)k∈N∗ est positive, décroissante et de limite nulle, donc la série
P
alternée
(−1)k+1 /k est convergente, ce qui justifie l’existence de ses restes pour
k>1
tout n ∈ N∗ .
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I.2.2.1 Commençons par vérifier l’identité proposée (l’existence des restes a été
justifiée à la question I.1.2) :
m
P
(−x)k =
k=n
∞
P
(−x)k −
k=n
∞
P
(−x)k = Rn−1 (x) − Rm (x)
k=m+1
Chacun des termes du membre de droite peut être majoré par 1 :
∀x ∈ [ 0 ; 1 [ ∀p ∈ N
|Rp (x)| =
xp+1
1
6
61
1+x
1+x
L’inégalité triangulaire fournit donc le résultat :
m
P
k
∀m, n > m ∀x ∈ I0
(−x) 6 |Rn−1 (x)| + |Rm (x)| 6 2
k=n
On peut en fait obtenir une majoration plus fine sans effort particulier :
m
m
∞
P
P
P
1
k
∀x ∈ [ 0 ; 1 [
(−x) 6
|xk | 6
xk =
61
1+x
k=n
k=n
k=0
I.2.2.2
La question précédente semble un peu parachutée et, de surcroît, son résultat
n’est guère passionnant : on peut donc se douter qu’il ne s’agit que d’une étape
dans un enchaînement plus vaste, en l’occurrence l’hypothèse essentielle du
théorème de convergence dominée.
Appliquons le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions (fm )m>n (n
est fixé) définies par :


 I0 −→ R
m
fm :
P

(−1)k xk
 x 7−→
k=n
• Chaque fonction fm est continue (comme somme finie de fonctions qui le sont)
sur I0 ;
• la suite (fm ) converge simplement vers Rn−1 sur I0 ;
• Rn−1 est continue sur I0 ;
• chaque fm est majorée sur I0 par la fonction constante à la valeur 2 d’après la
question précédente ;
• la fonction constante à la valeur 2 est continue et intégrable sur I0 .
D’après le théorème de convergence dominée, la fonction Rn−1 est intégrable sur I0
(ce que l’on pouvait prouver de manière plus élémentaire avec la question I.1.2) et
(surtout)
Z
Z
lim fm (x) dx = lim
fm (x) dx
+
I0 m→ ∞
m→+∞
I0
ce qui se réécrit
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