Lycée Technique de Taza CPGE de Taza FILIÈRE MP Feuille d

Lycée Technique de Taza
FILIÈRE MP
CPGE de Taza
0
Feuille d’exercices n= 7
Algébre bilinéaire
???
Exercice 1. — Rang et signature des formes quadratiques suivantes :
1. Q((x, y, z)) = 3x2 + 3y2 + 3z2 − 2xy − 2xz − 2yz.
2. Q((x, y, z, t)) = x2 + (4 + λ)y2 + (1 + 4λ)z2 + λt2 + 4xy + 2xz + 4(1 − λ)yz + 2λyt + (1 − 4λ)zt.
X
3. Q((x1 , .., xn )) =
i jxi x j .
1≤i,j≤n
Exercice 2. — Soit ϕ application définie sur E = R[X] par ϕ(P, Q) = P(1)Q(0).
1. Vérifier que ϕ est une forme bilinéaire .
0
2. Donner MatB (ϕ) et MatB0 (ϕ) pour les bases suivantes : B = (1, X, .., Xn ) , B = (Xk (1 − X)n−k )0≤k≤n
Exercice 3. — On considére E = Rn [X] et on pose ϕ(P, Q) =
n
X
P(k)Q(k).
k=0
1. Vérifier que ϕ définie une forme bilinéaire symetrique et que q sa forme quadratique associée est
définie positives.
2. Donner une base q−orthogonale de E.
Exercice 4. — Soit q la forme quadratique sur E = R2 [X] définie par : P 7−→ q(P) = P(0)P(1).
1. Trouver la forme polaire de q.
2. Donner la matrice de q dans la base B = (1, X, X2 ).
3. Appliquer la méthde de Gauss à q.Quel est le rang de q.
4. Trouver une base orthogonale .Quel est le noyau de q.
Exercice 5. — Soit E un R−espase vectoriel de dimension finie et q une forme quadratique sur E. Si q est
définie ,montrer que q soit positive soit négative.
Exercice 6. — Etude des formes quadratiques sur R2 . Dans la base canonique B = (e1 , e2 ) de R2 .
1. Donner l’expression d’une forme quadratique q.
On note M = MatB (q)
2. En déduire les résultat suivants q.
(a) q non dégénérée ⇔ rgq = 2 ⇔ detM , 0.
(b) q définie ⇔ detM > 0.
(c) q définie positive ⇔ detM > 0 et trM > 0.
(d) q non définie , non dégénérée ⇔ detM < 0.
(e) q positive dégénérée ⇔ detM = 0 et trM ≥ 0
Exercice 7. — On demande le cône isotrope de q(x, y, z) = (x − y)2 + (y − z)2 − (z − x)2 dans R3 .
Exercice 8. — Rn muni de sa structure euclidien canonique et soit a un vecteur de norme1.On définit q
par :
q(x) = hx, ai2 + α kxk2 α ∈ R
1. Vérifier que q est une forme quadratique sur E et donner sa forme polaire.
1
M.El KATI
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2. Donner la signature de q selon α.
Exercice 9. — Déterminer le noyau des formes quadratiques suivantes , donner leurs rang et dire si elles
sont dégénérée lorsque c’est possible :
1. Soit a ∈ R,la forme quadratique q de R[X] dans R définie par q(P) = P(a)2 .
2. La forme quadratique de R3 définie par q(x, y, z) = (x − y)2 + z2 .
Exercice 10. — Les formes quadratiques suivantes sont-elles positives ?définies positives ? et donner leurs
signature .
1. q((x, y, z)) = 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2(xy + xz + yz).
2. q((x, y, z)) = x2 + 3y2 + 6z2 − 2xy − 6yz + 2xz.
Exercice 11. — Soit ϕ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K− espace vectoriel E de
dimension n.Soit F un sous-espace vectoriel de E.
1. Montrer que F⊥ est un espace vectoriel de dimension n − dimF.
2. Vérifier que F⊥⊥ = F.
3. Montrer que F ⊕ F⊥ = E si et seulement si la restriction de ϕ sur F est non dégénérée.
X
Exercice 12. — Soit sur Rn la forme quadratique définie par q((x1 , .., xn )) =
xi x j .
1≤i, j≤n i, j
Donner le rang de q.
Exercice 13. — q désigne une forme quadratique positive sur un R-espace vectoriel de dimension finie E
de forme polaire ϕ.
1. Quelle est la signature de q.
2
2. Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ∀x, y ∈ E ϕ(x, y) ≤ q(x)q(y).
Et si deplus q est définie , il y a égalité si et seulement si x et y sont liées.
3. Montrer que Cq = Kerq En déduire que q est définie si et seulement si elle est non dégénérée.
p
p
p
4. Montrer l’inégalité de Minkowsky : ∀x, y ∈ E q(x + y) ≤ q(x) + q(y)
Exercice 14. — Soient un E un R− espase vectoriel de dimension finie n ≥ 1 u un endomorphisme de E et
q une forme quadratique sur E de forme polaire ϕ.On dit que u conserve q si ∀x ∈ E q(u(x)) = q(x).
On dit que u conserve ϕ si ∀x, y ∈ E ϕ(u(x), u(y)) = ϕ(x, y).
On dit que ϕ (resp q) est non dégénérée si : ∀x ∈ E − {0} ∃y ∈ E , ϕ(x, y) , 0.
1. Montrer que u conserve ϕ si et seulement si u conserve q.
2. Montrer que ϕ non dégénérée si et seulement si rgϕ = n.
3. On suppose que q est non dégénérée et u ∈ GL(E) avec u conserve q.
Montrer que detu ∈ {−1, 1}.
4. Que dire de O(q) = {u ∈ GL(E) / u conserve q.
5. Déterminer tous les endomorphisme de R2 qui conserve la forme quadratique définie par
q((x, y)) = xy.
Exercice 15. — Soient f1 , f2 , ..., fn n fonctions continues sur [a, b] à valeurs dans R. Pour (i, j) ∈ [1, n]2 , on
Z b
X
pose bi, j =
fi (t) f j (t)dt puis pour (x1 , ...xn ) ∈ Rn , Q((x1 , ..., xn )) =
bi, j xi x j .
a
1≤i, j≤n
1. Montrer que Q est une forme quadratique positive.
2. Montrer que Q est définie positive si et seulement si la famille ( f1 , ..., fn ) est libre.
3. Ecrire la matrice de Q dans la base canonique de Rn dans le cas particulier :
∀i ∈ [1, n] , ∀t ∈ [a, b], fi (t) = ti−1
?
?
2
?
M.El KATI