moments quadratiques particuliers

synthèse
ETUDE DES CONSTRUCTIONS
Notion(s) abordées(s) en
Notion(s) requise(s) en
CI 6 / RDM : moment quadratique et quadratique polaire
CI 6 / statique
1) FORMULES GENERALES.
r
Moment quadratique / axe (G, y ) :
r
Moment quadratique / axe (G, z ) :
I Gy = ∫ z 2 ds
Unité :
unité de longueur 4 ( mm4 )
I Gz = ∫ y 2ds
I 0 = ∫ ( y 2 + z 2 )ds = I Gy + I Gz
Moment quadratique polaire en G :
2) FORMULAIRE POUR QUELQUES SECTIONS SIMPLES.
Figure 1 : sections simple de poutres
1.1) Section circulaire :
r
Moment quadratique / axe (G, y ) :
I Gy
π d4
=
64
π d4
=
64
r
Moment quadratique / axe (G, z ) :
I Gz
Moment quadratique polaire en G :
I 0 = I Gy + I Gz =
Section ciculaire
r
y
d
r
z
π d4
32
G
Section elliptique
r
y
1.2) Section elliptique :
r
Moment quadratique / axe (G, y ) :
I Gy
r
Moment quadratique / axe (G, z ) :
I Gz
Moment quadratique polaire en G :
b
π ab3
=
4
π ba 3
=
4
I 0 = I Gy + I Gz =
r
z a
G
π ab(a + b )
4
2
2
Section
rectangulaire
1.3) Section rectangulaire :
r
Moment quadratique / axe (G, y ) :
I Gy
hb 3
=
12
bh 3
=
12
r
Moment quadratique / axe (G, z ) :
I Gz
Moment quadratique polaire en G :
I 0 = I Gy + I Gz =
r
y
r
z
G
bh(b 2 + h 2 )
12
h
b
1.4) Section demi-circulaire :
r
Moment quadratique / axe (G, y ) :
r
Moment quadratique / axe (G, z ) :
Moment quadratique polaire en G :
Lycée Catherine et Raymond JANOT / Sens
π d4
I Gy =
128
d4 π 8
I Gz =
( − )
16 8 9π
d4 π 8
I 0 = I Gy + I Gz =
( − )
16 4 9π
Section
demi-circulaire
r
z
r
y
d/2
G
2d
3π
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ETUDE DES CONSTRUCTIONS
Notion(s) abordées(s) en
Notion(s) requise(s) en
CI 6 / RDM : moment quadratique et quadratique polaire
CI 6 / statique
2) DETERMINATION D’UN MOMENT D’INERTIE
QUADRATIQUE DANS UNE SECTION COMPLEXE.
Figure 2 : section décalé
r
u
2.1) Théorème de Huygens.
r
r
On établit le moment d’inertie quadratique par rapport à un axe (O, u )
r
à partir du moment d’inertie quadratique par rapport à l’axe (G, u ), de
r
la surface de la section considérée et de la distance séparant (G, u ) et
r
(O, u ) :
r
Moment quadratique / axe (O, u ) :
O
r
u
d
G
I O u = I G u + Sd 2
2.2) Méthode pour la détermination d’un moment d’inertie quadratique d’une section complexe.
2.2.1) Décomposer
la
section
complexe
en
plusieurs
sections
simples.
Deux
méthodes peuvent être
utilisées.
Figure 3 : section décomposée
= S1 +
S
=
2.2.2) Positionner les centres de
gravité de chaque section
simple.
Exprimer
les
distances les séparant de
l’axe considéré passant par
le centre de gravité de la
section complexe.
S2
+
+ S3
d1
S2
S3
-
-
Méthode 2 : Soustraction
r
y
r
y
Paramètres
associés pour
le calcul
S1
=
+
Méthode 1 : Addition
2.2.3) Exprimer
le
moment
d’inertie quadratique de
chaque section simple par
rapport à l’axe considéré
passant par le centre de
gravité de chacune d’elles.
=
S
d3
G2
G1
G3
G2 = G
G1 = G
G3
2.2.4) Déterminer par le théorème de Huygens, les moments d’inertie quadratiques de chaque section simple, par
rapport à l’axe considéré et passant par le centre de gravité de la section complexe.
2.2.5) Déterminer le moment d’inertie quadratique de la section complexe en effectuant :
La somme des moments déterminés au
2.2.4) pour la méthode par addition de
surface.
La différence des moments déterminés au
2.2.4) pour la méthode par soustraction de
surface.
I Gy ( S ) = I Gy ( S1 ) + I Gy ( S 2 ) + I Gy ( S 3 )
I Gy ( S ) = I Gy ( S1 ) − I Gy ( S 2 ) − I Gy ( S 3 )
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